폰트랴긴 쌍대성 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[조화해석학]]과 [[위상군|위상군론]]에서 '''폰트랴긴 쌍대성'''(Понтрягин雙對性, {{llang|en|Pontryagin duality}})은 [[국소 콤팩트]] [[아벨 군]] 사이의 쌍대성이다. 이는 일반적으로 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수의 [[푸리에 변환]]이 다른 국소 콤팩트 아벨 군 위에 정의된 함수라는 사실에서 기인한다.

== 정의 ==
[[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 콤팩트]] [[아벨 군|아벨]] [[위상군]] <math>G</math>가 주어졌을 때, <math>G</math>에서 [[원군]](circle group) <math>U(1)</math>로 가는 연속 [[군 준동형]] 사상 <math>\gamma: G \to U(1)</math>를 <math>G</math>의 '''지표'''({{llang|en|character}})로 정의한다. <math>G</math>의 지표들은 모든 점에서의 곱셈(pointwise product)을 통해 [[군 (수학)|군]]을 이루는데, 이를 <math>G</math>의 '''지표군'''({{llang|en|character group}}) <math>\hat G</math>이라고 정의한다. 지표군은 [[아벨 군]]이며, 여기에 [[콤팩트-열린집합 위상]]을 주면 <math>\hat G</math>은 [[국소 콤팩트]] 아벨 [[위상군]]을 이룬다.

지표군의 지표군 <math>\hat{\hat G}\cong G</math>은 원래 군과 [[동형]]임을 보일 수 있다. 구체적인 동형사상 <math>\iota\colon G\to\hat{\hat G}</math>은 다음과 같다.
:<math>\iota\colon g\mapsto(\gamma\mapsto\gamma(g))</math>
따라서, 국소 콤팩트 아벨 군과 그 지표군이 서로 [[쌍대 관계]]를 이루는 것을 알 수 있다. 이를 '''폰트랴긴 쌍대성'''이라고 한다.

== 성질 ==
폰트랴긴 쌍대성 아래, 하우스도르프 아벨 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 쌍대이다. 다시 말해, <math>G</math>가 왼쪽 조건을 만족시킨다는 것과 <math>\hat G</math>이 오른쪽 조건을 만족시킨다는 것이 서로 동치이다.
:{| class=wikitable
! 군 <math>G</math>의 조건 !! 군 <math>\hat G</math>의 조건
|-
| [[국소 콤팩트]] || [[국소 콤팩트]]
|-
| 콤팩트 || [[이산 공간|이산]]
|-
| 콤팩트 [[거리화 가능]] || 이산 [[가산 집합|가산]]
|-
| 콤팩트 [[연결 공간|연결]] || 이산, [[꼬임 부분군]]이 자명군
|-
| 콤팩트 [[경로 연결 공간|경로 연결]] || 이산 [[화이트헤드 문제|화이트헤드 군]]
|-
| 유한 차원 실수 [[벡터 공간]] || 유한 차원 실수 [[벡터 공간]]
|-
| 이산 유한 || 이산 유한
|-
| [[제2 가산 공간]] || [[제2 가산 공간]]
|-
| [[거리화 가능]] || [[시그마 콤팩트 공간|시그마 콤팩트]]
|}
물론, <math>\hat{\hat G}\cong G</math>이므로 위 조건을 맞바꿀 수 있다.

이 표는 다음과 같이 [[범주의 동치]]로도 적을 수 있다.
:<math>\operatorname{HausLocCompAb}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{HausLocCompAb}</math>
:<math>\operatorname{HausCompAb}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{Ab}</math>
:<math>\vdots</math>
여기서 <math>\operatorname{HausLocCompAb}</math>는 하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군과 [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]의 범주이며, <math>\operatorname{HausCompAb}</math>는 하우스도르프 콤팩트 아벨 위상군과 연속 군 준동형의 범주이며, <math>\operatorname{Ab}</math>는 아벨 군의 범주이다. (모든 아벨 군에는 자명하게 [[이산 위상]]을 줄 수 있으며, 두 이산 공간 사이의 임의의 함수는 항상 연속 함수이다.)

== 푸리에 변환 ==

국소 콤팩트 아벨 위상군 위에서 [[푸리에 변환]]을 정의하면 그 결과는 폰트랴긴 쌍대군 위에서의 함수로 나타나게 된다.

우선 국소 콤팩트 아벨 위상군 <math>G</math> 위에 [[하르 측도]] <math>\mu</math>를 정의한다. (만약 <math>G</math>가 콤팩트하지 않다면, 하르 측도 <math>\mu</math>의 크기를 골라야 한다.)

그렇다면, <math>G</math> 위의 적분 가능 함수 <math>f\in L^1(G)</math>의 '''푸리에 변환''' <math>\hat f\colon\hat G\to\mathbb C</math>은 다음과 같다. 모든 <math>\hat g\in\hat G</math>에 대하여,
:<math>\hat f(\hat g)=\int_Gf(g)\overline{\hat g(g)}\,d\mu(g)</math>
마찬가지로, <math>\hat f\in L^1(\hat G)</math>의 '''역 푸리에 변환'''은 다음과 같다.
:<math>f(g)=\int_{\hat G}\hat f(\hat g)\hat g(g)\,d\hat\mu(\hat g)</math>
여기서 <math>\hat\mu</math>은 쌍대군 <math>\hat G</math> 위에 정의된 [[하르 측도]]이다. 역 푸리에 변환이 푸리에 변환의 역이 되게 하는 <math>\hat\mu</math>는 <math>G</math>의 측도 <math>\mu</math>에 의해 유일하게 결정되는데, 이를 <math>\mu</math>의 '''쌍대 측도'''({{llang|en|dual measure}})라고 한다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] 군의 경우, 통상적으로 군의 부피가 1이 되게 (<math>\operatorname{vol}(G)=1</math>) 하는 측도를 사용하며, [[이산 공간|이산]]군의 경우 이산 측도를 사용한다. 콤팩트성과 이산성은 서로 쌍대적이며, 군의 부피가 1이 되는 측도의 쌍대 측도는 이산 측도이다. 콤팩트 이산군이라면 두 측도 다 정의되며, 이는 ([[자명군]]을 제외하면) <math>\#G</math>배만큼 다르다. 예를 들어, [[순환군]] <math>\mathbb Z/n</math>의 경우, 군의 부피가 1이 되게 정의하면 <math>\mu(S)=\#S/n</math>이지만, 이산 측도는 <math>\mu(S)=\#S</math>이다.

보다 일반적으로, [[조절 분포]]를 ([[슈바르츠 함수]]의 일반화인) {{임시링크|슈바르츠-브뤼아 함수|en|Schwartz–Bruhat function}}를 사용하여 정의할 수 있다.

== 예 ==
다음과 같은 폰트랴긴 쌍대군들이 존재한다.
:{| class="wikitable"
|-
! 위상군 !! 쌍대 위상군
|-
| 표준 위상의 실수 덧셈군 <math>\mathbb R</math> || 표준적 위상의 실수 덧셈군 <math>\mathbb R</math>
|-
| 이산 위상의 [[순환군]] <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> || 이산 위상의 [[순환군]] <math>\tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z\cong\mathbb Z/n\mathbb Z</math>
|-
| 표준 위상의 [[p진수]] 덧셈군 <math>\mathbb Q_p</math> || 표준 위상의 [[p진수]] 덧셈군 <math>\mathbb Q_p</math>
|-
| [[수체]] <math>K</math>의 아델 환 <math>\mathbb A_K</math>의 덧셈군 || [[수체]] <math>K</math>의 아델 환 <math>\mathbb A_K</math>의 덧셈군
|-
| 표준 위상의 [[원군]] <math>\operatorname U(1)\cong\mathbb R/\mathbb Z</math> || 이산 위상의 정수 덧셈군 <math>\mathbb Z</math>
|-
| [[이산 위상]]의 [[유리수]] 덧셈군 ℚ || <math>\mathbb A_{\mathbb Q}/\mathbb Q</math><ref>{{저널 인용|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/characterQ.pdf|제목=The character group of '''Q'''|이름=Keith|성=Conrad|확인날짜=2013-05-11|보존url=https://web.archive.org/web/20130203112642/http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/characterQ.pdf|보존날짜=2013-02-03|url-status=dead}}</ref>, [[아델 환]]의 표준 위상의 몫위상
|-
| 이산 위상의 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math> || 정수환의 [[사유한 완비]] <math>\hat{\mathbb Z}</math>
|-
| [[이산 위상]]의 [[수체]] <math>K</math>의 덧셈군 || <math>\mathbb A_K/K</math>, [[아델 환]]의 표준 위상의 몫위상
|-
| [[이산 위상]]의 [[프뤼퍼 군]] <math>\mathbb Z(p^\infty)</math> || 표준 위상의 [[p진 정수]] 덧셈군 <math>\mathbb Z_p</math>
|-
| 유한 차원 실수 벡터 공간 <math>V</math> || [[쌍대 공간]] <math>V^*</math>
|-
| <math>G\times H</math> || <math>\hat G\times\hat H</math>
|-
| [[직합]] <math>\bigoplus_iG_i</math> || [[직접곱]] <math>\prod_i\hat G_i</math>
|}

따라서, U(1) 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 ℤ 위에 정의된 함수([[수열]])이다. 이는 [[주기함수]]의 [[푸리에 급수]]에 해당한다. 또한, [[순환군]] 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 [[이산 푸리에 변환]]에 해당한다.

=== 유한 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군 ===
순환군 <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>의 폰트랴긴 쌍대군은 <math>\tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z</math>이며, 이는 물론 원래 군과 동형이다. 이 경우 폰트랴긴 쌍대성에 의하여 존재하는 군 준동형은 다음과 같다.
:<math>(\mathbb Z/n\mathbb Z)\times(\tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z)\to\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>
:<math>([a],[b])\mapsto\exp(2\pi iab)</math>
모든 유한 아벨 군은 순환군들의 [[직합]]으로 나타낼 수 있으므로, 모든 유한 아벨 군의 쌍대군은 순환군들로 분해한 뒤 각 성분을 위와 같이 쌍대화하여 얻을 수 있다.

=== 유한 차원 실수 벡터 공간의 폰트랴긴 쌍대군 ===
<math>V</math>가 표준적인 위상을 갖춘 실수 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하면, 그 덧셈군의 폰트랴긴 쌍대군은 [[쌍대 공간]] <math>V^*</math>의 덧셈군이다. 이 경우 <math>V</math>와 <math>V^*</math> 사이에는 동형이 존재하지만, 이는 표준적이지 않다. 구체적으로, 폰트랴긴 쌍대성은 다음과 같다.
:<math>V\times V^*\to\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>
:<math>(u,v)\mapsto\exp(2\pi iu\cdot v)</math>

무한 차원 실수 벡터 공간은 일반적으로 [[국소 콤팩트 공간]]이 아니므로 해당되지 않는다. 마찬가지로, 예를 들어 유리수 위의 벡터 공간의 경우, 유리수의 표준적 (실수 부분 집합으로의) 위상을 잡으면 국소 콤팩트 공간이 되지 않는다.

=== p진수의 폰트랴긴 쌍대군 ===
유리수의 각 [[위치 (수론)|위치]] <math>\nu\in\{0,2,3,5,7,\dots\}</math>에 대하여, 다음과 같은 위상 아벨 군의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\mathbb Z_\nu\to\mathbb Q_\nu\to\mathbb Q_\nu/\mathbb Z_\nu\to0</math>
여기서 <math>\nu=0</math>일 경우, 이 완전열은 무한 순환군과 원군을 다음과 같이 연결한다.
:<math>0\to\mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z=\operatorname U(1)\to0</math>
<math>\nu=p</math>일 경우, 이 완전열은 [[p진 정수]]와 [[프뤼퍼 군]]을 연결한다.
:<math>0\to\mathbb Z_p\to\mathbb Q_p\to\mathbb Q_p/\mathbb Z_p=\mathbb Z(p^\infty)\to0</math>
이 완전열은 폰트랴긴 쌍대성에 대해서 대칭이다. 다시 말해, 가운데 원소 <math>\mathbb Q_\nu</math>는 스스로의 폰트랴긴 쌍대군과 동형이며, <math>\mathbb Z_\nu</math>와 <math>\mathbb Q_\nu/\mathbb Z_\nu</math>는 서로 폰트랴긴 쌍대이다.

=== 수체의 폰트랴긴 쌍대군 ===
유리수의 덧셈군에, (실수의 부분 공간으로서의) 표준 위상을 부여하면 이는 [[국소 콤팩트 공간]]을 이루지 않지만, 대신 [[이산 위상]]을 부여하면 이는 국소 콤팩트 공간을 이룬다. 이산 위상을 부여한 유리수 덧셈군의 폰트랴긴 쌍대군은 유리수의 [[아델 환]] <math>\mathbb A_{\mathbb Q}</math>의 덧셈군의 [[몫군]] <math>\mathbb A_{\mathbb Q}/\mathbb Q</math>이다. 구체적으로, 이는 아델 환
:<math>\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\operatorname{\prod'}_p\mathbb Q_p</math>
에서, 대각선 포함 사상
:<math>\mathbb Q\hookrightarrow\mathbb A_{\mathbb Q}</math>
:<math>q\mapsto(q,q,q,\dots)</math>
에 대한 몫환이다. 보다 일반적으로, [[대수적 수체]] <math>K/\mathbb Q</math>의 덧셈군에 이산 위상을 주었을 때, 그 폰트랴긴 쌍대군은
:<math>\hat K\cong\mathbb A_K/K</math>
이다. 즉, 짧은 완전열
:<math>0\to K\to\mathbb A_K\to\mathbb A_K/K\to0</math>
은 폰트랴긴 쌍대성에 대하여 대칭이다.

== 역사 ==
[[레프 폰트랴긴]]이 1934년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=L.S.|성=Pontrjagin|제목=The theory of topological commutative groups|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1934-04_35_2/page/n169|저널=Annals of Mathematics|권=35|호=2|날짜=1934-04|쪽=361–388|jstor=1968438|언어=en}}</ref> [[에흐베르튀스 판 캄펀]] (1935)<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=van Kampen|저자링크=에흐베르튀스 판 캄펀|제목=Locally bicompact Abelian groups and their character groups|저널=Ann. of Math.|권=36|날짜=1935|쪽=448–463|jstor=1968582|언어=en}}</ref>과 [[앙드레 베유]] (1940)<ref>{{서적 인용|이름=A.|성=Weil|저자링크=앙드레 베유|제목=L’intégration  dans  les  groupes  topologiques  et ses  applications|출판사=Hermann|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1940|판=1|언어=fr}}</ref>가 이를 일반적인 [[국소 콤팩트]] [[아벨 군]]에 대하여 확장하였다.

이후, 1950년에 [[존 테이트]]가 박사 학위 논문에서 [[유체론]]을 사용하여 [[아델 환]] 및 [[대수적 수체]]의 폰트랴긴 쌍대성을 분석하였고, [[이와사와 겐키치]]도 독자적으로 사실상 같은 이론을 거의 동시에 개발하였다. 이 이론을 '''테이트 학위 논문'''({{llang|en|Tate’s thesis}}) 또는 '''테이트-이와사와 이론'''({{llang|en|Tate–Iwasawa theory}})이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[페터-바일 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pontryagin duality}}
* {{매스월드|id=PontryaginDuality|title=Pontryagin duality}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Pontrjagin+dual|제목=Pontrjagin dual|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2014-05-23|보존url=https://web.archive.org/web/20140501061500/http://ncatlab.org/nlab/show/Pontrjagin+dual|보존날짜=2014-05-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Pontryagin+duality|제목=Pontryagin duality|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2014-05-23|보존url=https://web.archive.org/web/20140719011534/http://ncatlab.org/nlab/show/Pontryagin+duality|보존날짜=2014-07-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/04/06/the-fourier-transform/|제목=245C, Notes 2: The Fourier transform|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테렌스 타오|웹사이트=What’s New|언어=en|확인날짜=2014-05-23|보존url=https://web.archive.org/web/20140424154200/http://terrytao.wordpress.com/2009/04/06/the-fourier-transform/|보존날짜=2014-04-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week273.html|제목=Week 273|웹사이트=This Week's Finds in Mathematical Physics|날짜=2008-12-14|이름=John|성=Baez|언어=en|확인날짜=2015-04-30|보존url=https://web.archive.org/web/20160908075437/http://math.ucr.edu/home/baez/week273.html|보존날짜=2016-09-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/11/variations_on_pontryagin_duali.html|제목=Variations on Pontryagin duality|이름=John|성=Baez|웹사이트=The <math>n</math>-Category Café: A Group Blog on Math, Physics and Philosophy|날짜=2008-11-08|언어=en|확인날짜=2015-05-02|보존url=https://web.archive.org/web/20150326125948/https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/11/variations_on_pontryagin_duali.html|보존날짜=2015-03-26|url-status=dead}}

[[분류:위상군]]
[[분류:조화해석학]]
[[분류:쌍대성이론]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:푸리에 해석학]]