포화 집합 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서, '''포화 집합'''({{llang|en|saturated set}})은 (임의의 수의) [[열린집합]]들의 [[교집합]]인 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\operatorname{Open}(X))</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 '''포화화'''({{llang|en|saturation}}) <math>\operatorname{sat}(S)</math>는 <math>S</math>의 모든 [[근방]]들의 [[교집합]]이다.
:<math>\operatorname{sat}(S)=\bigcap\mathcal N_S</math>
여기서 <math>\mathcal N_S</math>는 <math>S</math>의 [[근방 필터]]이다. 이 정의에서 <math>\mathcal N_S</math>는 <math>S</math>의 임의의 [[국소 기저]]로 대체할 수 있다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\operatorname{Open}(X))</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>S</math>를 '''포화 집합'''이라고 한다.
* (열린집합들의 교집합) <math>S=\bigcap\mathcal U</math>인 [[열린집합]]들의 집합 <math>\mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>가 존재한다.
* (스스로의 포화화와 일치) <math>\textstyle S=\operatorname{sat}(S)</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\operatorname{Open}(X))</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''재귀 집합'''({{llang|en|recurrent set}})이라고 한다.
* (모든 포화 집합과 겹침) <math>S\cap T=\varnothing</math>인 포화 집합 <math>T\subseteq X</math>은 [[공집합]]밖에 없다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
정의에 따라, 모든 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]은 자명하게 포화 집합이다. 모든 재귀 집합은 자명하게 [[조밀 집합]]이다.

=== 콤팩트 공간과의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.
* 포화화 <math>\operatorname{sat}(S)</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.

임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 모든 점 <math>x\in X</math>는 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[국소 기저]]를 갖는다.
* 모든 점 <math>x\in X</math>는 [[콤팩트 집합|콤팩트]] 포화 [[국소 기저]]를 갖는다.

[[차분한 공간]]에서, [[콤팩트 공간|콤팩트]] 포화 집합들의 [[하향 집합]]의 [[교집합]]은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 포화 집합이다.<ref name="Martin" />{{rp|381, Theorem 2.28}}

=== 베르 공간과의 관계 ===
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[베르 공간]]이다.
* 모든 재귀 집합은 [[베르 공간]]이다.
* [[베르 공간|베르]] 재귀 집합을 갖는다.

== 예 ==
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 모든 [[부분 집합]]은 포화 집합이다.
* 재귀 집합이 스스로밖에 없다.
* [[T1 공간]]이다.

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Martin">{{저널 인용
|이름1=Keye
|성1=Martin
|제목=Nonclassical techniques for models of computation
|언어=en
|저널=Topology Proceedings
|권=24
|호=Summer
|쪽=375–405
|날짜=1999
|issn=0146-4124
|mr=1876383
|zbl=1029.06501
|url=http://topology.nipissingu.ca/tp/reprints/v24/tp24219.pdf
|형식=PDF
|보존url=https://web.archive.org/web/20210510085554/http://topology.nipissingu.ca/tp/reprints/v24/tp24219.pdf
|보존날짜=2021-05-10
|access-date=2022-07-09
|url-status=live
}}</ref>{{rp|380}}
* <math>X</math> 위에 [[스콧 위상]]을 가하였을 때, <math>S</math>는 포화 집합이다.
* <math>S</math>는 [[상집합]]이다.
{{증명}}
[[스콧 열린집합]]들은 [[상집합]]이므로, 그 [[교집합]] 역시 [[상집합]]이다. 반대로, 만약 <math>S</math>가 [[상집합]]이라면,
:<math>S=\bigcap_{x\in X\setminus S}X\setminus\mathop\downarrow x</math>
이며, 각 <math>X\setminus\mathop\downarrow x</math>는 [[스콧 열린집합]]이다.
{{증명 끝}}

[[초른 보조정리]]에 따라, [[닫힌 원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math> 위에 [[스콧 위상]]을 주었을 때, [[극대 원소]]들의 집합 <math>\max X\subseteq X</math>은 재귀 집합을 이룬다.<ref name="Martin" />{{rp|397, Proposition 5.6}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=saturated set|제목=Saturated set}}

[[분류:일반위상수학]]