포크 공간 문서 원본 보기

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{{양자장론}}
[[양자역학]]에서 '''포크 공간'''(Фок空間, {{llang|en|Fock space}})은 임의의 수의 자유입자의 상태를 나타내는 [[힐베르트 공간]]이다. [[소련]]의 물리학자 [[블라디미르 포크]]가 1932년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|저널=Zeitschrift für Physik|날짜=1932-09|권=75|호=9-10|쪽=622–647|제목=Konfigurationsraum und zweite Quantelung|쪽=622–647|doi=10.1007/BF01344458|이름=Vladimir|성=Fock|저자링크=블라디미르 포크|언어=de}}</ref>

수학적으로, 다음과 같이 정의한다. 단입자 [[힐베르트 공간]]을 ''H''라고 하자. ''S''는 입자가 [[보손]]이면 공간을 대칭화하는 연산자, [[페르미온]]이면 반대칭화하는 연산자라고 하자. 그렇다면 포크 공간 <math>F(H)</math>은 다음과 같이 단입자 힐베르트 공간의 [[텐서곱]]의 [[가군]] [[직합]]의 [[완비 거리 공간|완비화]]로 나타낸다.
:<math>F(H)=\overline{\bigoplus_{n=0}^{\infty}SH^{\otimes n}}</math>
만약 여러 종류의 입자가 존재할 경우 이에 대해 자연스럽게 확장할 수 있다.

== 하크 정리 ==
포크 공간은 자유입자만을 나타낼 수 있다. 즉 상호작용하는 입자는 포크 공간으로 나타낼 수 없다. 이를 '''하크 정리'''(Haag's theorem)이라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=Haag’s theorem and its implications for the foundations of quantum field theory|url=http://philsci-archive.pitt.edu/2673/1/earmanfraserfinalrevd.pdf|이름=John|성=Earman|공저자=Doreen Fraser|저널=Erkenntnis|권=64|호=3|쪽=305–344|날짜=2006-05|doi=10.1007/s10670-005-5814-y|언어=en|확인날짜=2013-10-26|보존url=https://web.archive.org/web/20130709014305/http://philsci-archive.pitt.edu/2673/1/earmanfraserfinalrevd.pdf|보존날짜=2013-07-09|url-status=dead}}</ref> 이 사실은 독일의 [[루돌프 하크]]가 1955년에 지적하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Rudolf|성=Haag|저자링크=루돌프 하크|제목=On quantum field theories|저널={{lang|da|Matematisk-fysiske Meddelelser}}|권=29|호=12|연도=1955|url=http://www.sdu.dk/media/bibpdf/Bind%2020-29%5CBind%5Cmfm-29-12.pdf|access-date=2013-01-10|archive-date=2013-10-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20131029193948/http://www.sdu.dk/media/bibpdf/Bind%2020-29%5CBind%5Cmfm-29-12.pdf|url-status=dead}}</ref>

== 바르그만 표현 ==
포크 공간은 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 만약 1입자 힐베르트 공간 <math>V\cong\mathbb C^n=\{(z^1,\dots,z^n)\}</math>이 1차원이라고 하면, '''바르그만-포크 공간'''({{llang|en|Bargmann–Fock space}}) <math>\mathcal F^2(V)</math>는 다음 성질을 만족시키는 함수 <math>f\colon V\to\mathbb C</math>들의 집합이다.
* <math>f</math>는 [[정칙함수]]다. 즉, <math>\bar\partial_if=0\forall i=1,\dots, n</math>이다.
* 또한, [[노름]] <math>\Vert f\Vert^2=(1/\pi^n)\int_{\mathbb C^n}|f(\mathbf z)|^2\exp(-|\mathbf z|^2)\,d^n\mathbf z</math>이 유한하다.
이 공간에 다음과 같은 [[노름]]을 주어, [[힐베르트 공간]]으로 만들 수 있다.
:<math>\langle f|g\rangle=(1/\pi^n)\int_V\bar f(\bar{\mathbf z})g(\mathbf z)\,d^n\mathbf z</math>
이 경우, 다음이 성립함을 보일 수 있다.
:<math>\langle f|\partial_ig\rangle=\langle z^if|g\rangle</math>
또한,
:<math>[\partial_i,z^j]=\delta_i^j</math>
이므로, 다음과 같이 대응시키면 이 공간이 포크 공간과 동형임을 알 수 있다.
{| class="wikitable"
|-
! 이름 !! 포크 공간 !! 바르그만-포크 공간
|-
| 진공 || <math>|0\rangle</math> || 1
|-
| 생성 연산자 || <math>a_i^\dagger</math> || <math>z^i</math>
|-
| 파괴 연산자 || <math>a_i</math> || <math>\partial_i</math>
|-
| 다입자 상태 || <math>\left(\prod_{i=1}^n(a_i^\dagger)^{n_i}/\sqrt{n_i!}\right)|0\rangle</math> || <math>\prod_{i=1}^nz_i^{n_i}/\sqrt{n_i!}</math>
|}
만약 1입자 상태 <math>V</math>가 무한 차원 힐베르트 공간일 경우, <math>\mathcal F(\mathbb C^n)</math>들의 [[귀납적 극한]]을 취하여 바르그만-포크 공간을 정의할 수 있다.

바르그만-포크 공간은 발렌티네 바르그만({{llang|de|Valentine Bargmann}})이 1961년 정의하였다.<ref>{{저널 인용|last=Bargmann|first=V|title=Remarks on a Hilbert space of analytic functions|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|날짜=1962-02-01|권=48|호=2|쪽=199–204|doi=10.1073/pnas.48.2.199|issn=0027-8424|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Stochel|first=Jerzy B.|title=Representation of generalized annihilation and creation operators in Fock space|journal=Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica|날짜=1997|권=34|쪽=135–148|url=http://www.emis.de/journals/UIAM/actamath/PDF/34-135-148.pdf|확인날짜=2013-10-14|보존url=https://web.archive.org/web/20130617074558/http://www.emis.de/journals/UIAM/actamath/PDF/34-135-148.pdf|보존날짜=2013-06-17|url-status=dead}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[폭 상태]]
* [[텐서 대수]]
* [[윅 정리]]
* [[비가환 기하학]]
* [[큰 바른틀 앙상블]]
== 각주 ==
{{각주}}
* Michael C. Reed, Barry Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II", Academic Press 1975. 328쪽.

[[분류:양자역학]]
[[분류:양자장론]]