포커르-플랑크 방정식 문서 원본 보기

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[[확률 과정]] 이론에서, '''포커르-플랑크 방정식'''(Fokker-Planck方程式, {{llang|en|Fokker–Planck equation}})은 어떤 [[이토 확률 과정]]의 [[확률 밀도 함수]]가 따르는 [[편미분 방정식]]이다. 이는 시간에 대하여 1차, 공간에 대하여 2차 [[편미분 방정식]]이다. 형식적으로, [[슈뢰딩거 방정식]]의 [[윅 회전]]의 꼴이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* <math>\Omega</math> 위의 [[위너 확률 과정]] <math>(W_t\colon\Omega\to\mathbb R^n)_{t\in[0,\infty)}</math>
* <math>W</math>에 대한, <math>\mathbb R^m</math> 값의 [[이토 확률 과정]] <math>\mathrm dX^i_t = f^i(t,X_t) \,\mathrm dt + g^i{}_j(t,X_t)\,\mathrm dW^j_t</math>. 또한, <math>f\colon \mathbb R\times\mathbb R^m \to \mathbb R^m</math>가 <math>x</math>에 대하여 1차 연속 미분 가능 함수이며, <math>g\colon\mathbb R\times\mathbb R^m \to \mathbb R^n</math>가 <math>x</math>에 대하여 2차 연속 미분 가능 함수라고 하자.

편의상, 다음 행렬을 정의하자. 이는 이토 확률 과정의 분산을 나타낸다.
:<math>D \colon \mathbb R \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n</math>
:<math>D^{ij}(x,t) = \frac12\sum_k g^i{}_k(x,t) g^j{}_k(x,t)</math>

이 경우, 이 이토 확률 과정에 대응되는 '''포커르-플랑크 방정식'''은 함수
:<math>p \colon \mathbb R \times \mathbb R^m \to \mathbb R</math>
:<math>p \colon (t,x) \mapsto p(t,x)</math>
에 대한, 다음과 같은 [[편미분 방정식]]이다.
:<math>\frac{\partial}{\partial t}p(t,x) + \frac\partial{\partial x^i}
\left(f^i(t,x)p(t,x)\right)
- \frac\partial{\partial x^i}\frac\partial{\partial x^j}
\left(D^{ij}(t,x)p(t,x)\right) = 0</math>
(편의상 [[아인슈타인 표기법]]을 사용하였다.)

== 성질 ==
이토 확률 과정의, 시간 <math>t</math>에서의 [[확률 밀도 함수]] <math>p(t,x)</math>는 포커르-플랑크 방정식을 따른다.

== 예 ==
[[위너 확률 과정]] <math>W_t</math>는 <math>f = 0</math>, <math>g^i{}_j = \delta^i_j</math>인 [[이토 확률 과정]]이다. 이 경우 포커르-플랑크 방정식은
:<math>\frac{\partial}{\partial t}p(t,x) = \frac12 \Delta p(t,x)</math>
가 된다. 이는 <math>\mathbb R^m</math> 위의 [[열 방정식]]이다.

== 역사 ==
아드리안 다니얼 포커르({{llang|nl|Adriaan Daniël Fokker}}, 1887〜1972)와 [[막스 플랑크]]가 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[볼츠만 운송 방정식]]
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fokker-Planck equation}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:확률 과정]]
[[분류:막스 플랑크]]