포이어바흐 정리 문서 원본 보기

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[[파일:포이어바흐 정리.jpg|섬네일|450px|포이어바흐 정리]]

'''포이어바흐 정리'''란, [[구점원]]은 [[내접원]]과 접하며, 세 [[방접원]]과도 접한다는 정리이다.


또한 '''포이어바흐 점'''이란 [[구점원]]과 [[내접원]]의 접점이다.



== 증명 ==
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| header=증명 1(기본)
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[[파일:포이어바흐 정리 증명.png|450px]]

[[내심]]을 I, [[외심]]을 O, [[수심]]을 H라 하고,

BC의 중점을 M, 각 A의 이등분선과 BC의 교점을 u, I에서 BC에 내린 수선의 발을 D,

A에서 BC에 내린 수선의 발을 H<sub>A</sub>, AH의 중점을 P, 외접원의 호 BC의 중점을 L이라 하자.

또 B, C, D를 Au에 대칭하여 B', C', D'이라 하고, MP와 B'C'의 교점을 E라 하자.

먼저 PM은 구점원의 지름이며, PM과 AO는 평행하고, AO는 B'C'과 수직이므로 PM과 AO도 수직이다.([[구점원]] 참고)

이때 [[우산 정리]]의 두 번째 정리와 [[맨션 정리]]에 의해 <math>IL^2=BL^2=Lu*LA</math>가 성립하므로,

이들을 직선 BC에 사영시킨 H<sub>A</sub>,D,u,M에 대해서도 <math>H_A M*uM=DM^2</math>(i)이 성립한다.

<math>\angle{PH_Au}=\angle{PEu}=90^\circ</math>이므로 P,H<sub>A</sub>,u,E는 한 원 위의 점으로써,

이 원에 대한 [[방멱]]은 <math>H_AM*uM=EM*PM</math>(ii)이다.

MD'의 연장선과 내접원의 교점을 T라 놓으면,

내접원에 대한 [[방멱]]에서 <math>DM^2=MD'*MT</math>(iii)

따라서 (i),(ii),(iii)에 의하여 <math>EM*PM=MD'*MT</math>

[[방멱]]정리의 역에 의하여,

P,T,D',E는 한 원 위의 점이므로 <math>\angle{MED'}=90^\circ=\angle{MTP}</math>

여기서 MP가 구점원의 지름임을 주목하면, T는 구점원 위의 점임을 알 수 있다.

또한, T'이 구점원과 내접원의 교점이라고 해도 위 증명의 과정을 역으로 따라가면 T'M과 B'C'의 교점이 D가 나오므로 이러한 점 T'은 T와 동일하며 유일하다.

따라서, 구점원과 내접원의 교점(포이어바흐 점)은 T로써 두 원의 접점이다.

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{{삼각형의 중심}}
{{토막글|기하학}}

[[분류:삼각 기하학]]