폐포 연산자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''폐포 연산자'''(閉包演算子, {{llang|en|closure operator}}) 또는 '''폐포 연산'''(閉包演算, {{llang|en|closure operation}})은 [[위상수학]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]와 유사한 성질들을 만족시키는 함수이다. 위상수학적 폐포와 달리 유한 [[합집합]]을 보존할 필요가 없다. [[완비 격자]]를 판단하는 데 쓰일 수 있다. [[보편 대수학]]과 [[계산 복잡도 이론]] 등에서 응용된다.

== 정의 ==
=== 폐포 연산자 ===
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math> 위의 '''폐포 연산자'''는 다음 세 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>c\colon P\to P</math>이다. 임의의 <math>x,y\in P</math>에 대하여,
* (확장성) <math>x\le c(x)</math>
* ([[증가함수|증가성]]) <math>x\le y\implies c(x)\le c(y)</math>
* ([[멱등성]]) <math>c(c(x))=c(x)</math>
[[범주론]]적으로, 폐포 연산자는 ([[범주 (수학)|범주]]로 본) [[부분 순서 집합]] 위의 [[모나드 (범주론)|모나드]]이다. 폐포 연산자 <math>c</math>가 주어진 [[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''닫힌 원소'''({{llang|en|closed element}})는 <math>x=c(x)</math>인 원소 <math>x\in P</math>이다. 이는 <math>c(x)</math> 꼴의 원소와 [[동치]]이다. 닫힌 원소들의 집합은 (<math>P</math>의 순서를 물려받았을 때) [[부분 순서 집합]] <math>c[P]</math>을 이룬다. 만약 <math>P</math>가 어떤 집합 <math>S</math>의 [[부분 집합]]들을 모은 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(S)</math>이라면, <math>c</math>는 단순히 '''<math>S</math> 위의 폐포 연산자'''라고 하고, 닫힌 원소는 '''닫힌집합'''이라고 부른다.

=== 대수적 폐포 연산자 ===
[[대수적 격자]] <math>L</math> 위의 폐포 연산자 <math>c\colon L\to L</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''대수적 폐포 연산자'''(代數的閉包演算子, {{llang|en|algebraic closure operator}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여, <math>\textstyle c(x)=\bigvee_{y\ll y\le x}c(y)</math>
여기서 <math>y\ll y</math>는 <math>y</math>가 <math>L</math>의 콤팩트 원소임을 나타낸다. 예를 들어, <math>L=\operatorname{Pow}(S)</math>가 [[멱집합]]인 경우, 콤팩트 원소는 <math>S</math>의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]이며, 대수적 폐포 연산자 조건은 임의의 집합의 폐포가 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]들의 폐포의 [[합집합]]임을 나타낸다.

== 성질 ==
=== 순서론적 성질 ===
폐포 연산자가 주어진 [[격자 (순서론)|격자]]의 닫힌 원소들의 [[부분 순서 집합]]은 [[격자 (순서론)|격자]]를 이룬다. 폐포 연산자가 주어진 [[완비 격자]]의 닫힌 원소들의 [[부분 순서 집합]]은 [[완비 격자]]를 이룬다. 대수적 폐포 연산자가 주어진 [[대수적 격자]]의 닫힌 원소들의 [[부분 순서 집합]]은 [[대수적 격자]]를 이룬다. (닫힌 원소 격자의 콤팩트 원소는 정확히 원래 격자의 콤팩트 원소의 폐포이다.) 반대로, 모든 [[완비 격자]]는 폐포 연산자가 주어진 [[멱집합]]의 닫힌 원소 격자와 [[동형]]이며, 모든 [[대수적 격자]]는 대수적 폐포 연산자가 주어진 [[멱집합]]의 닫힌 원소 격자와 [[동형]]이다.
{{증명}}
격자 <math>(L,\vee,\wedge)</math> 및 폐포 연산자 <math>c\colon L\to L</math>에 대하여, <math>c[L]</math>이 다음과 같은 이음·만남 연산에 대하여 격자를 이룸을 쉽게 보일 수 있다.
:<math>x\vee_{c[L]}y=c(x\vee y)</math>
:<math>x\wedge_{c[L]}y=x\wedge y</math>

마찬가지로, [[완비 격자]] <math>L</math> 및 폐포 연산자 <math>c\colon L\to L</math>에 대하여, <math>c[L]</math>은 다음 상한·하한에 대하여 [[완비 격자]]를 이룬다.
:<math>\bigvee\nolimits_{c[L]}S=c\left(\bigvee S\right)</math>
:<math>\bigwedge\nolimits_{c[L]}S=\bigwedge S</math>

[[대수적 격자]] <math>L</math> 및 대수적 폐포 연산자 <math>c\colon L\to L</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>c[L]</math>은 [[완비 격자]]이다. <math>x\in L</math>이 <math>L</math>의 콤팩트 원소이며, <math>\textstyle c(x)\le\bigvee\nolimits_{c[L]}S</math>라고 하자. [[대수적 격자]]의 정의 및 <math>x</math>의 콤팩트성에 따라,
:<math>x\le c(y_1)\vee\cdots\vee c(y_m)</math>
:<math>y_i\ll y_i\le\bigvee S\qquad(i=1,\dots,m)</math>
라고 하자. 다시 <math>y_i</math>의 콤팩트성에 따라
:<math>y_i\le s_{i1}\vee\cdots\vee s_{in_i}\qquad(i=1,\dots,m)</math>
인 <math>s_{ij}\in S</math>를 취할 수 있다. 이 경우
:<math>c(x)\le c(s_{11}\vee\cdots\vee s_{mn_m})=s_{11}\vee_{c[L]}\cdots\vee_{c[L]}s_{mn_m}</math>
이다. 이에 따라, <math>c(x)</math>는 <math>c[L]</math>의 콤팩트 원소이다. 반대로, <math>y\in c[L]</math>이 <math>c[L]</math>의 콤팩트 원소라고 하자. 그렇다면,
:<math>y=c(y)=\bigvee_{x\ll x\le y}c(x)</math>
이므로,
:<math>y\le c(x_1)\vee\cdots\vee c(x_n)</math>
:<math>x_i\ll x_i\le y</math>
이다. 따라서
:<math>y=c(x_1\vee\cdots\vee x_n)</math>
이며, <math>x_1\vee\cdots\vee x_n\in L</math>은 (유한 개의 콤팩트 원소의 이음이므로) 콤팩트 원소이다. 이에 따라, <math>c[L]</math>의 콤팩트 원소는 정확히 <math>L</math>의 콤팩트 원소 <math>x</math>에 대하여 <math>c(x)</math> 꼴로 나타낼 수 있는 원소이다. 대수적 폐포 연산자의 정의에 따라, <math>c[L]</math>의 모든 원소는 <math>c[L]</math>의 콤팩트 원소들의 <math>L</math>에서의 이음이며, 특히 이는 <math>c[L]</math>에서의 이음이다. 즉, <math>c[L]</math>은 [[대수적 격자]]이다.

이제, 임의의 [[완비 격자]] <math>L</math>가 주어졌다고 하자. 다음 함수를 정의하자.
:<math>c\colon\operatorname{Pow}(L)\to\operatorname{Pow}(L)</math>
:<math>c\colon S\mapsto\mathop\downarrow\bigvee S</math>
그렇다면, <math>c</math>는 <math>L</math>(의 [[멱집합]]) 위의 폐포 연산자이며, <math>L</math>과 <math>c[\operatorname{Pow}(L)]</math> 사이에 자연스러운 [[동형]]
:<math>x\mapsto\mathop\downarrow x</math>
이 존재한다.

마찬가지로, 임의의 [[대수적 격자]] <math>L</math>에 대하여,
:<math>c\colon\operatorname{Pow}(k(L))\to\operatorname{Pow}(k(L))</math>
:<math>c\colon S\mapsto\left\{x\in k(L)\colon x\le\bigvee S\right\}</math>
은 <math>L</math>의 콤팩트 원소의 집합 <math>k(L)</math> 위의 대수적 폐포 연산자이며,
:<math>x\mapsto\{y\in k(L)\colon y\le x\}</math>
는 <math>L</math>과 <math>c[\operatorname{Pow}(k(L))]</math> 사이의 [[동형]]이다.
{{증명 끝}}

닫힌 원소들이 [[대수적 격자]]를 이루는, [[대수적 격자]] 위의 폐포 연산자는 대수적 폐포 연산자일 필요가 없다.
{{증명|제목=반례}}
[[무한 집합]] <math>S\sqcup\{s\}</math>의 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(S\sqcup\{s\})</math> 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.
* 만약 <math>X</math>가 <math>S</math>의 [[진부분 집합]]이라면, <math>c(X)=X</math>
* 만약 <math>s\in X</math>이거나 <math>X=S</math>라면, <math>c(X)=S\sqcup\{s\}</math>
이는 <math>S\sqcup\{s\}</math> 위의 폐포 연산자이다. 그 닫힌집합은 <math>S</math>의 진부분 집합과 <math>S\sqcup\{s\}</math>로 이루어지며, 이들은 (<math>S</math>의 [[멱집합]]과 [[동형]]인) [[대수적 격자]]를 이룬다. 그러나 <math>s\in S\sqcup\{s\}=c(S)</math>이며, <math>s\in c(X)</math>인 <math>S</math>의 유한 부분 집합 <math>X</math>은 존재하지 않는다. (이는 <math>S</math>가 무한 집합이므로, <math>S</math>의 모든 유한 부분 집합은 진부분 집합이기 때문이다.) 따라서 <math>c</math>는 대수적 폐포 연산자가 아니다.
{{증명 끝}}

[[완비 격자]] 위의 폐포 연산자들의 (점별 순서에 의한) [[부분 순서 집합]]은 [[완비 격자]]를 이룬다. [[대수적 격자]] 위의 대수적 폐포 연산자들의 (점별 순서에 의한) [[부분 순서 집합]]은 [[대수적 격자]]를 이룬다.<ref name="Kilpack">{{arXiv 인용
|성=Kilpack
|이름=Martha Lee Hollist
|제목=The lattice of algebraic closure operators
|doi=10.48550/arXiv.1411.6497
|arxiv=1411.6497
|날짜=2014
}}</ref>{{rp|12, Theorem 4.8}} 이는 폐포 연산자 격자의 부분 격자이지만, 부분 완비 격자가 아닐 수 있다.<ref name="Kilpack" />{{rp|7, Proposition 3–4}}

=== 닫힌 원소 집합일 조건 ===
[[집합]] <math>S</math>의 [[부분 집합]]들의 집합 <math>\mathcal C\subseteq\operatorname{Pow}(S)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Burris">{{서적 인용
|이름1=Stanley N.
|성1=Burris
|이름2=Hanamantagouda P.
|성2=Sankappanavar
|제목=A course in universal algebra
|언어=en
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=78
|출판사=Springer
|날짜=1981
|isbn=978-1-4613-8132-7
|issn=0072-5285
|mr=0648287
|zbl=0478.08001
|url=https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|url-status=live
|확인날짜=2022-08-08
|보존url=https://web.archive.org/web/20220724132440/https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|보존날짜=2022-07-24
}}</ref>{{rp|21, Exercise I.5.5}}
* <math>\mathcal C</math>는 어떤 폐포 연산자 <math>c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)</math>에 대한 닫힌 원소들의 집합이다.
* (임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의 <math>\mathcal F\subset\mathcal C</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigcap\mathcal F\in\mathcal C</math>

[[집합]] <math>S</math>의 [[부분 집합]]들의 집합 <math>\mathcal C\subseteq\operatorname{Pow}(S)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Burris" />{{rp|21, Exercise I.5.6}}
* <math>\mathcal C</math>는 어떤 대수적 폐포 연산자 <math>c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)</math>에 대한 닫힌 원소들의 집합이다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** (임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의 <math>\mathcal F\subset\mathcal C</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigcap\mathcal F\in\mathcal C</math>
** (사슬의 합집합에 대한 닫힘) 임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>\mathcal F\subset\mathcal C</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigcup\mathcal F\in\mathcal C</math>

=== 타르스키 여분이 없는 기저 정리 ===
[[집합]] <math>S</math> 위의 폐포 연산자 <math>c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)</math> 및 음이 아닌 정수 <math>n\in\mathbb N</math>이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수 <math>\phi_{c,n}\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)</math>를 정의하자.
:<math>\phi_{c,n}(X)=\bigcup_{Y\subseteq X}^{|Y|<n}c(Y)</math>
이를 사용하여, 일련의 함수 <math>\phi_{c,n}^\alpha</math>들을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
* [[따름 순서수]] <math>\alpha=\beta+1</math>에 대하여, <math>\phi_{c,n}^{\beta+1}=\phi_{c,n}\phi_{c,n}^\beta</math>
* [[극한 순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, <math>\phi_{c,n}^\alpha(X)=X\cup\bigcup_{\beta<\alpha}\phi_{c,n}^\beta(X)</math>
만약 <math>c=\phi_{c,n}^\omega</math>라면, <math>c</math>가 '''계수 <math>n</math>의 폐포 연산자'''({{llang|en|closure operator of rank <math>n</math>}})라고 한다. (사실, 임의의 폐포 연산자 <math>c</math>에 대하여, <math>\phi_{c,n}^\omega</math>는 계수 <math>n</math>의 폐포 연산자이며, 점별 순서를 부여하였을 때 이는 <math>\phi_{c,n}^\omega\le c</math>를 만족하는 것들 가운데 최대이다.)

폐포 연산자 <math>c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)</math>가 주어진 [[집합]] <math>S</math>의 '''극소 생성 집합'''({{llang|en|minimal generating set}})은 다음 두 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>X\subseteq S</math>이다.
* <math>c(X)=S</math>
* 임의의 [[진부분 집합]] <math>Y\subsetneq X</math>에 대하여, <math>c(Y)\subsetneq S</math>

다음이 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>S</math>
* 음이 아닌 정수 <math>n\in\mathbb N</math>
* 계수 <math>n</math>의 폐포 연산자 <math>c\colon\operatorname{Pow}(S)\to\operatorname{Pow}(S)</math>
* 음이 아닌 정수 <math>i\le j</math>. 또한,
** 크기 <math>i,j</math>의 극소 생성 집합이 존재한다.
** 크기 <math>i<|X|<j</math>의 극소 생성 집합 <math>X</math>이 존재하지 않는다.
'''타르스키 여분이 없는 기저 정리'''({{llang|en|Tarski irredundant basis theorem}})에 따르면, <math>j\le i+n-2</math>이다. 특히, 계수 3의 폐포 연산자의 경우, 극소 생성 집합들의 크기는 연속된 정수들로 이루어진다.
{{증명}}
크기 <math>|X|=j</math>의 극소 생성 집합 <math>X</math>를 취하자. 임의의 유한 극소 생성 집합 <math>Y</math>에 대하여, <math>m(Y)</math>가 <math>Y\subseteq\phi_{c,n}^{m(Y)}(X)</math>인 최소의 음이 아닌 정수라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의 극소성에 따라 <math>Y=X</math>이거나 <math>m(Y)>0</math>이다. 이제, 다음 조건들을 만족시키는 <math>Y\subseteq S</math>를 고르자.
* <math>Y</math>는 극소 생성 집합이다.
* <math>|Y|\le i</math>
* 크기 <math>i</math> 이하의 극소 생성 집합 가운데, <math>m(Y)</math>가 최소이다.
* <math>m(-)</math> 값이 최소인, 크기 <math>i</math> 이하의 극소 생성 집합 가운데, <math>|Y\setminus\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)|</math>가 최소이다.
또한, <math>y_0\in Y\setminus\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)</math>라고 하자. <math>y_0\in\phi_{c,n}^{m(Y)}(X)</math>이므로, <math>y_0\in\phi_{c,n}(Z)</math>, <math>|Z|\le n-1</math>인 <math>Z\subseteq\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)</math>가 존재한다. 따라서
:<math>c(Y\setminus\{y_0\}\cup Z)=c(c(Y\setminus\{y_0\}\cup Z))\supseteq c(c(Y\setminus\{y_0\})\cup\phi_{c,n}(Z))\supseteq c(Y)=S</math>
이다. <math>Y\setminus\{y_0\}\cup Z</math>가 [[유한 집합]]이므로, 극소 생성 집합 <math>W\subseteq Y\setminus\{y_0\}\cup Z</math>을 취할 수 있다.
:<math>W\subseteq Y\cup Z\subseteq\phi_{c,n}^{m(Y)}(X)\cup\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)=\phi_{c,n}^{m(Y)}(X)</math>
이므로 <math>m(W)=m(Y)</math>이다. 또한, <math>y_0\in Y\setminus\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)</math>이므로,
:<math>|W\setminus\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)|\le|(Y\setminus\{y_0\}\cup Z)\setminus\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)|=|(Y\setminus\{y_0\})\setminus\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)|<|Y\setminus\phi_{c,n}^{m(Y)-1}(X)|</math>
이다. <math>Y</math>의 선택에 따라 <math>|W|>i</math>이며, 다시 <math>i</math>와 <math>j</math>에 대한 가정에 따라
:<math>j\le|W|\le|Y\setminus\{y_0\}\cup Z|\le|Y|+|Z|-1\le i+n-2</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
([[범주 (수학)|범주]]로 본) 두 [[부분 순서 집합]] <math>(P,\le_P)</math>, <math>(Q,\le_Q)</math> 사이의 [[수반 함자]]의 쌍
:<math>f\colon P\leftrightarrows Q\colon g</math>
이 주어졌다고 하자. ([[순서론]]에서 이는 [[갈루아 연결]]이라고 한다.) 그렇다면,
:<math>gf\colon P\to P</math>
:<math>fg\colon Q\to Q</math>
는 각각 <math>P</math>와 <math>Q</math> 위의 폐포 연산자를 이룬다.

폐포 연산자의 예로는 다음이 있다.
{| class="wikitable"
! 부분 순서 집합 <math>P</math> !! <math>P</math>의 콤팩트 원소 !! <math>P</math>의 대수적 격자 여부 !! 닫힌 원소들의 집합 <math>c[P]</math> !! <math>c[P]</math>의 콤팩트 원소 !! <math>c[P]</math>의 대수적 격자 여부 !! 폐포 연산자 <math>c\colon P\to P</math> !! 대수적 폐포 연산자 여부
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(X)</math> || <math>X</math>의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] || rowspan="4" | 참 || 위상수학적 [[닫힌집합]]의 격자 || [[유한 집합]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]] || 거짓일 수 있음 || 위상수학적 [[폐포 (위상수학)|폐포]] || 거짓일 수 있음
|-
| [[가환환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]] 격자 || [[유한 생성 아이디얼]] || [[반소 아이디얼]] 격자 || [[주 아이디얼]]의 [[소근기]] || 참<ref name="Banaschewski">{{저널 인용
|이름=B.
|성=Banaschewski
|제목=Ring theory and pointfree topology
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=137
|호=1-3
|쪽=21–37
|날짜=2004
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/S0166-8641(03)00196-2
|mr=2054511
|zbl=1040.06004
}}</ref>{{rp|30}} || [[소근기]]<ref name="Epstein">{{서적 인용
|이름=Neil
|성=Epstein
|편집자-이름=Christopher
|편집자-성=Francisco
|장=A guide to closure operations in commutative algebra
|제목=Progress in commutative algebra 2. Closures, finiteness and factorization
|언어=en
|쪽=1–3
|출판사=Walter de Gruyter
|위치=Berlin
|날짜=2012
|isbn=978-3-11-027859-0
|doi=10.1515/9783110278606.1
|mr=2932590
|zbl=1244.13001
|arxiv=1106.1119
}}</ref>{{rp|3, Example 2.1.2(iii)}} || 참
|-
| 부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math>의 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(A)</math> || <math>A</math>의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] || 부분 대수 격자 <math>\operatorname{Sub}(A)</math> || 유한 생성 부분 대수 || 참 || <math>S\mapsto\bigcup_{n=0}^\infty e^n(S)</math> || 참
|-
| 부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 위의 [[이항 관계]]의 집합 <math>\operatorname{Pow}(A\times A)</math> || 유한 이항 관계 || [[합동 관계]] 격자 <math>\operatorname{Cong}(A)</math> || 유한 생성 합동 관계 || 참 || <math>S\mapsto\bigcup_{n=0}^\infty f^n(S)</math> || 참
|}
여기서,
* 부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq A</math>에 대하여, {{mindent|<math>e(S)=S\cup\bigcup_{f\in F}f_A[\underbrace{S\times\cdots\times S}_{n_f}]</math>}}
* 부호수 <math>F</math>의 [[대수 구조]] <math>(A,F_A)</math> 위의 [[이항 관계]] <math>S\subseteq A\times A</math>에 대하여, {{mindent|<math>\begin{align}
f(S)={} & S\cup\{(a,a)\colon a\in A\}\cup\{(b,a)\colon(a,b)\in S\}\cup\{(a,c)\colon(a,b),(b,c)\in S\} \\
&{}\cup\bigcup_{f\in F}\{(f_A(a_1,\dots,a_{n_f}),f_A(b_1,\dots,b_{n_f}))\colon(a_1,b_1),\dots,(a_{n_f},b_{n_f})\in S\}
\end{align}</math>}}
임의의 [[군 (수학)|군]]의 [[부분군]]을 생성하는 함수는 계수 3의 폐포 연산자이다. 타르스키 여분이 없는 기저 정리에 따라, 임의의 [[군 (수학)|군]]의 극소 생성 집합의 크기의 집합은 연속된 정수들로 구성된다. 보다 일반적으로, <math>n-1</math>항 이하의 연산들로 구성된 [[대수 구조]]의 부분 대수 생성 함수는 계수 <math>n</math>의 폐포 연산자이다.

== 역사 ==
폐포 연산자에 관한 연구는 [[E. H. 무어]]의 1910년 저서 《Introduction to a form of general analysis》에 처음으로 등장한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Closure relation}}
* {{nlab|id=closure operator|제목=Closure operator}}

[[분류:폐포 연산자| ]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:대수학]]
[[분류:순서론]]