폐포기체방정식 문서 원본 보기

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'''폐포기체방정식'''(肺胞氣體方程式, {{llang|en|alveolar gas equation}}, AGE)은 [[의학]], 특히 [[호흡기학]]에서 [[허파꽈리]]의 [[산소]] [[분압]]을 계산하는 데에 쓰이는 수식이다. 다양한 꼴이 있는데, 간단하게는 주로 다음처럼 나타낸다.

:<math chem>{P_A}_{\ce{O2}}={F_I}_{\ce{O2}} \times \left(P_{\mathrm{atm}} - P_{\ce{H2O}}\right) - \frac{{P_a}_{\ce{CO2}}}{R}</math>

여기서 Fi{{chem2|O2}}는 [[흡입산소농도]], P<sub>atm</sub>은 [[대기압]], P<sub>{{chem2|H2O}}</sub>는 허파꽈리에서 물의 [[증기압력]], P<sub>a</sub>{{chem2|CO2}}는 [[동맥혈]] 이산화탄소 분압, 그리고 R는 [[호흡계수]]이다. 해수면과 고도가 같고 [[실온]] 환경이며 각종 상수가 통상적인 값을 갖는다고 가정하면 대략

:<math chem>{P_A}_{\ce{O2}}=150 - 1.25 \times P_a \ce{CO2} \ (\mathrm{mmHg})</math>

이와 같이 되어, [[동맥혈 가스 분석]] 장치로 측정한 동맥혈 이산화탄소 분압을 바탕으로 허파꽈리의 산소 농도를 추정할 수 있게 된다.<ref name="Yartsev2024">{{웹 인용|성1=Yartsev|이름1=Alex |제목=The alveolar gas equation |url=https://derangedphysiology.com/main/cicm-primary-exam/respiratory-system/Chapter-134/alveolar-gas-equation |웹사이트=Deranged Physiology |날짜=2024-10-26 |확인날짜=2025-03-02}}</ref>

[[전미연구평의회]] 산하의 위원회가 1944년 기술한 바에 따르면 [[미국 국방부]] 소속 학자들이 각종 보고서에서 처음 유도하였던 것으로 보이며<ref>{{보고서 인용|저자=National Research Council, Subcommittee on Oxygen and Anoxia|제목=Handbook of Respiratory Data in Aviation|장=Essay A: Calculations Relating to the Composition of Respiratory Gases|날짜=1944|위치=Washington, D. C.|url=https://archive.org/details/35721750R.nlm.nih.gov}}</ref>, 1946년 학술지에 게재되어 널리 알려졌다.<ref>{{저널 인용|성1=Fenn|이름1=Wallace O.|성2=Rahn|이름2=Hermann|성3=Otis|이름3=Arthur B. |제목=A THEORETICAL STUDY OF THE COMPOSITION OF THE ALVEOLAR AIR AT ALTITUDE |저널=American Journal of Physiology-Legacy Content |날짜=1946-08-01 |권=146 |호=5 |쪽=637-53 |doi=10.1152/ajplegacy.1946.146.5.637 |url=https://journals.physiology.org/doi/abs/10.1152/ajplegacy.1946.146.5.637 |확인날짜=2025-03-02}}</ref> 호흡기 연구·진료에서 매우 유용하고 중요하기에 오늘날 호흡 [[생리학]]에서 반드시 가르치는 수식 가운데 하나이다.<ref name="Yartsev2024" /><ref name="Wang2020">{{저널 인용|성1=Wang|이름1=Michael C.|성2=Corbridge|이름2=Thomas C.|성3=McCrimmon|이름3=Donald R.|성4=Walter|이름4=James M. |제목=Teaching an intuitive derivation of the clinical alveolar equations: mass balance as a fundamental physiological principle |저널=Advances in Physiology Education |날짜=2020 |권=44 |호=2 |쪽=142-152 |doi=10.1152/advan.00064.2019 |url=https://journals.physiology.org/doi/full/10.1152/advan.00064.2019 |확인날짜=2025-03-02}}</ref>

== 폐포환기방정식 ==
[[파일:Gaz pressures in the alveoli and capillaries.svg|섬네일|사람 몸은 산소를 소모하고 이산화탄소를 생성하기 때문에, 대기중에 비해 산소 분압이 낮고 이산화탄소 분압이 높다. 분압차에 의해 산소는 들어오고 이산화탄소는 빠져나가서 기체의 알짜 출입량이 0이 되는 경우가 정상 상태이다. 그림에서 대기중의 P<sub>{{chem2|CO2}}</sub>가 매우 작은 것에서 볼 수 있듯이, 들숨에는 이산화탄소가 없다고 가정할 수 있다. 한편 그림에서는 동맥혈과 허파꽈리의 기체 분압이 서로 똑같은 것으로 나타내었는데, 이산화탄소에 대해서는 대략 맞는 말이지만 산소의 경우 보통 동맥혈 분압이 5-10 mmHg 정도 낮다.]]
폐포기체방정식의 전제가 되는 것은 이른바 폐포환기방정식({{llang|en|alveolar ventilation equation}})인데, 이를 유도하려면 [[허파]]의 기체 교환 기능에 문제가 없어서 [[정상 상태]]가 유지된다고 가정해야 한다. 정상 상태에서는 어떤 기체든 생성하거나 소모하는 양이 [[호흡]]을 통해 알짜로 내보내거나 유입되는 기체의 양과 꼭 같다.<ref name="Wang2020" />

[[들숨]]으로 허파꽈리에 들어오는 공기의 부피가 분당 <math>{\dot{V}_{A}}_I</math>, [[날숨]]으로 허파꽈리에서 나가는 공기의 부피가 분당 <math>{\dot{V}_{A}}_E</math>라고 하자. 그리고 대기중 기체 X의 분율을 <math>{F_I}_X</math>, 허파꽈리 속에서 기체 X의 분율을 <math>{F_A}_X</math>이라고 하자. 이때 몸 밖의 대기와 달리 허파꽈리 속의 기체는 체온 때문에 37℃로 데워져 있고 습도가 100%에 이른다. [[샤를의 법칙]]에 따르면 이런 상황에서 물의 증기압력 P<sub>{{chem2|H2O}}</sub>는 47 mmHg로 계산된다. 따라서 허파꽈리 속 나머지 기체의 분압을 합한 값이 P<sub>atm</sub>－P<sub>{{chem2|H2O}}</sub>＝760－47＝713 mmHg이어야 바깥 공기와 평형이 유지된다. 즉 들숨과 달리 날숨에는 몸에서 나온 [[수증기]]가 상당량 포함되어 있다. 따라서 <math>{\dot{V}_{A}}_E</math>는 수증기의 부피를 제외한 값으로, 분율 <math>{F_A}_X</math>는 P<sub>atm</sub>이 아니라 P<sub>atm</sub>－P<sub>{{chem2|H2O}}</sub>에 대한 상댓값으로 정의하자.<ref name="Yartsev2024" /><ref name="Wang2020" />

이상의 정의에 따르면, 분당 알짜로 들이쉬는 기체 X의 부피는

:<math>{\dot{V}_A}_I \times {F_I}_X - {\dot{V}_A}_E \times {F_A}_X</math>

이라고 생각할 수 있다. (알짜로 내쉬는 경우 이 값이 음수가 된다.) 사람은 [[세포대사]]를 통해 [[산소]]를 소모하고 이산화탄소를 생성하므로, 산소는 들이쉬는 것보다 적게 내쉬고 이산화탄소는 들이쉬는 것보다 많이 내쉬어야 균형이 맞는다. 따라서 분당 소모하는 산소 기체의 부피를 <math chem>\dot{V}_{\ce{O2}}</math>, 분당 생성하는 이산화탄소 기체의 부피를 <math chem>\dot{V}_{\ce{CO2}}</math>이라고 하면 다음이 성립한다.

:<math chem>\dot{V}_{\ce{O2}} = {\dot{V}_A}_I \times {F_I}_{\ce{O2}} - {\dot{V}_A}_E \times {F_A}_{\ce{O2}}</math>
:<math chem>\dot{V}_{\ce{CO2}} = {\dot{V}_A}_E \times {F_A}_{\ce{CO2}} - {\dot{V}_A}_I \times {F_I}_{\ce{CO2}}</math>

그런데 대기중에는 이산화탄소가 거의 없기 때문에, 근사적으로 <math chem>F_I \ce{CO2} = 0</math>이라고 생각할 수 있다. 대입하면

:<math chem>\dot{V}_{\ce{CO2}} = {\dot{V}_A}_E \times {F_A}_{\ce{CO2}}</math>

이와 같이 된다.<ref name="Wang2020" /><ref name="Cruickshank2004">{{저널 인용|성1=Cruickshank|이름1=Steven|성2=Hirschauer|이름2=Nicola |제목=The alveolar gas equation |저널=Continuing Education in Anaesthesia Critical Care & Pain |날짜=2004-02 |권=4 |호=1 |쪽=24-27 |doi=10.1093/bjaceaccp/mkh008 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1472261517300079 |확인날짜=2025-03-02}}</ref>

== 폐포기체방정식 ==
폐포기체방정식을 이끌어내려면 호흡계수

:<math chem>R=\frac{\dot{V}_{\ce{CO2}}}{\dot{V}_{\ce{O2}}} = \frac{{\dot{V}_A}_E \times {F_A}_{\ce{CO2}}}{{\dot{V}_A}_I \times {F_I}_{\ce{O2}} - {\dot{V}_A}_E \times {F_A}_{\ce{O2}}}</math>

가 조직에서 일어나는 세포대사의 양상에 따라 값이 정해지는 상수라는 사실을 이용한다.<ref name="West2012_59">{{서적 인용|성1=West|이름1=John B. |제목=Respiratory physiology: the essentials |날짜=2012 |출판사=Wolters Kluwer Health/Lippincott Williams & Wilkins |위치=Philadelphia |isbn=978-1-60913-640-6 |쪽=59 |판=9 |확인날짜=2025-03-02 |장=Chapter 5. Ventilation-Perfusion Relationships}}</ref> 예컨대 [[포도당]] [[산화]] 과정의 [[화학반응식]]은

:<chem>C6H12O6 + 6O2 -> 6CO2 + 6H2O</chem>

이므로, 소모된 산소와 생성된 이산화탄소의 분자 수는 반드시 서로 같은 것이다. 이처럼 포도당을 대사 기질로 사용하는 경우 호흡계수는 1이며, [[단백질]]의 경우 약 0.8, [[지방]]의 경우 약 0.7이 된다. 보통 서구식 식단을 따르는 사람에서는 0.8로 가정할 수 있다고 본다.<ref name="Wang2020" />

호흡계수의 식을 변형하면

:<math chem>{F_A}_{\ce{O2}} = \frac{{\dot{V}_A}_I}{{\dot{V}_A}_E} \times {F_I}_{\ce{O2}} - \frac{{F_A}_{\ce{CO2}}}{R}</math>

이므로, <math>{\dot{V}_A}_I</math>와 <math>{\dot{V}_A}_E</math>의 관계를 알면 허파꽈리의 산소 분율 <math chem>{F_A}_{\ce{O2}}</math>에 대한 식을 얻을 수 있다.

=== 간단한 형태 ===

유도 과정을 간단하게 하려면, 들숨의 부피와 수증기를 제외한 날숨의 부피가 대략 같아서 <math>{\dot{V}_A}_I = {\dot{V}_A}_E = \dot{V}_A</math>이라고 가정한다. 그러면 <math>\dot{V}_A</math>가 약분되므로 다음 관계식을 얻는다.<ref name="Cruickshank2004" />

:<math chem>{F_A}_{\ce{O2}} = {F_I}_{\ce{O2}} - \frac{{F_A}_{\ce{CO2}}}{R}</math>

양변에 P<sub>atm</sub>－P<sub>{{chem2|H2O}}</sub>를 곱해서 분율을 분압으로 변환하면,

:<math chem>{P_A}_{\ce{O2}} = {F_I}_{\ce{O2}} \times \left(P_{\mathrm{atm}} - P_{\ce{H2O}}\right) - \frac{{P_A}_{\ce{CO2}}}{R}</math>

이다. 보통 사람은 허파꽈리와 동맥혈의 이산화탄소 분압 P<sub>A</sub>{{chem2|CO2}}와 P<sub>a</sub>{{chem2|CO2}}의 값이 거의 똑같다.<ref name="West2012_18">{{서적 인용|성1=West|이름1=John B. |제목=Respiratory physiology: the essentials |날짜=2012 |출판사=Wolters Kluwer Health/Lippincott Williams & Wilkins |위치=Philadelphia |isbn=978-1-60913-640-6 |쪽=18 |판=9 |확인날짜=2025-03-02 |장=Chapter 2. Ventilation}}</ref> 대입하면

:<math chem>{P_A}_{\ce{O2}} = {F_I}_{\ce{O2}} \times \left(P_{\mathrm{atm}} - P_{\ce{H2O}}\right) - \frac{{P_A}_{\ce{CO2}}}{R}</math>

이와 같이 단순화된 폐포기체방정식을 얻는다.

=== 완전한 형태 ===
단순화된 유도 과정의 오류는 <math>{\dot{V}_A}_I \neq {\dot{V}_A}_E</math>이라는 것이다. 예컨대 호흡계수 R＝0.8이면 산소 열 분자를 소모할 때마다 이산화탄소 여덟 분자가 만들어지므로, 두 분자에 해당하는 차이만큼 날숨이 들숨보다 적을 수밖에 없다. 즉

:<math chem>{\dot{V}_A}_I = {\dot{V}_A}_E + \dot{V}_{\ce{O2}} - \dot{V}_{\ce{CO2}}</math>

이다. 완전한 형태의 폐포기체방정식을 얻으려면 이것을 호흡계수의 식에 대입해서 <math>{\dot{V}_A}_I</math>를 소거한 다음 <math>{\dot{V}_A}_E</math>를 약분하여야 한다.<ref name="Cruickshank2004" />

이에 대해 생각하는 또다른 방법은 산소와 이산화탄소를 제외한 나머지 기체에 주목하는 것이다. 공기중에 가장 흔한 기체는 [[질소]]이며, 그 밖에 [[아르곤]] 등 소량 존재하는 기체도 있겠지만 [[비활성 기체]]라는 점에서는 같으므로 모두 뭉뚱그려서 질소라고 표현하기로 하자. 앞에서와 같은 방식으로 <math chem>{F_I}_{\ce{N2}}</math>, <math chem>{F_A}_{\ce{N2}}</math>를 정의하면

:<math chem>{F_I}_{\ce{O2}} + {F_I}_{\ce{N2}} = 1</math>
:<math chem>{F_A}_{\ce{O2}} + {F_A}_{\ce{CO2}} + {F_A}_{\ce{N2}} = 1</math>

일 수밖에 없다. 또한 이들은 비활성 기체이므로 소모되지도 생성되지도 않으며, 따라서 유입량과 유출량이 같아야만 평형이 유지된다. 즉

:<math chem>{\dot{V}_A}_I \times {F_I}_{\ce{N2}} = {\dot{V}_A}_E \times {F_A}_{\ce{N2}}</math>

이다. 연립하면

:<math chem>{\dot{V}_A}_I = {\dot{V}_A}_E \times \frac{1 - {F_A}_{\ce{O2}} - {F_A}_{\ce{CO2}}}{1 - {F_I}_{\ce{O2}}}</math>

이므로, 호흡계수의 식에 대입하면

:<math chem>{F_A}_{\ce{O2}} = \frac{1 - {F_A}_{\ce{O2}} - {F_A}_{\ce{CO2}}}{1 - {F_I}_{\ce{O2}}} \times {F_I}_{\ce{O2}} - \frac{{F_A}_{\ce{CO2}}}{R}</math>

이며, <math chem>{F_A}_{\ce{O2}}</math>에 대해 정리하면

:<math chem>{F_A}_{\ce{O2}} = {F_I}_{\ce{O2}} - \frac{{F_A}_{\ce{CO2}}}{R} + {F_A}_{\ce{CO2}} \times {F_I}_{\ce{O2}} \times \frac{1 - R}{R}</math>

이다.<ref name="Wang2020" /> 앞에서와 마찬가지로 양변에 P<sub>atm</sub>－P<sub>{{chem2|H2O}}</sub>를 곱해 분율을 분압으로 변환한 후 P<sub>A</sub>{{chem2|CO2}}＝P<sub>a</sub>{{chem2|CO2}}라고 어림하면,

:<math chem>{P_A}_{\ce{O2}} = {F_I}_{\ce{O2}} \times \left(P_{\mathrm{atm}} - P_{\ce{H2O}}\right) - \frac{{P_a}_{\ce{CO2}}}{R} + {P_a}_{\ce{CO2}} \times {F_I}_{\ce{O2}} \times \frac{1 - R}{R}</math>

이다. 이것이 완전한 폐포기체방정식이다.<ref name="West2012_177">{{서적 인용|성1=West|이름1=John B. |제목=Respiratory physiology: the essentials |날짜=2012 |출판사=Wolters Kluwer Health/Lippincott Williams & Wilkins |위치=Philadelphia |isbn=978-1-60913-640-6 |쪽=177 |판=9 |확인날짜=2025-03-02 |장=Appendix A. Symbols, Units, and Equations}}</ref>

간단한 형태의 폐포기체방정식과 차이점은 마지막 항

:<math chem>{P_a}_{\ce{CO2}} \times {F_I}_{\ce{O2}} \times \frac{1 - R}{R}</math>

인데, 통상적인 경우(P<sub>a</sub>{{chem2|CO2}}＝40 mmHg, Fi{{chem2|O2}}＝0.21, R＝0.8)를 가정하면 이 항의 값은 2 mmHg에 지나지 않는다. 따라서 단순화된 폐포기체방정식은 유용한 어림이 된다.<ref name="West2012_177" />

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:호흡생리학]]