평행 운송 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Parallel transport sphere.svg|right|섬네일|평행 운송을 통해, 서로 다른 점에서의 올 사이의 동형을 정의할 수 있다.]]
미분기하학에서, '''평행 운송'''(平行運送, {{llang|en|parallel transport}})은 [[올다발]] 속의 [[에레스만 접속]]을 사용하여 정의되는, 곡선의 양 끝점의 올 사이의 [[함수]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 실수 [[폐구간]] <math>[a,b]\subsetneq \mathbb R</math>
* 조각마다 매끄러운 연속 곡선 <math>\gamma\colon [a,b]\to M</math>
* 매끄러운 올다발 <math>E \twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 [[에레스만 접속]] (수평 다발) <math>H \subseteq \mathrm TE</math>
그렇다면, <math>\gamma</math>의 <math>E</math>로의 '''[[올림]]'''은 다음 그림이 가환하게 되는 곡선
:<math>\tilde\gamma\colon I\to E</math>
이다.
:<math>\begin{matrix}
&&I\\
&{\scriptstyle\tilde\gamma}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\gamma\\
E&\xrightarrow[\pi]{}& M
\end{matrix}</math>
<math>E</math> 위에 에레스만 접속 <math>H</math>가 주어졌다고 하자.  만약 <math>\tilde\gamma</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>H</math>에 대하여 '''수평 올림'''(水平-, {{llang|en|horizontal lift}})이라고 한다.
:<math>\frac{\mathrm d\tilde\gamma}{\mathrm dt}\in H_{\tilde\gamma(t)}\qquad\forall t\in I</math>
즉, 올림의 접벡터가 항상 수평이어야 한다 (수평 다발 <math>H</math>에 속해야 한다).

주어진 에레스만 접속 <math>H</math> 및 초기 조건 <math>\tilde\gamma(a)\in E_{\gamma(a)}</math>에 대하여, 모든 곡선은 <math>t_0</math>의 [[근방]]에서 유일한 수평 올림을 갖는다. (그러나 일반적으로 곡선의 대역적 수평 올림은 존재하지 않을 수 있다.) 즉, 이는 함수
:<math>P(\gamma)\colon E_{\gamma(a)} \to E_{\gamma(b)}</math>
를 정의한다. 이를 <math>\tilde\gamma(a)</math>의, <math>\gamma</math>를 따른 '''평행 운송'''(平行運送, {{llang|en|parallel transport}})이라고 한다.

== 예 ==
=== 벡터 다발 ===
<math>E</math>가 [[매끄러운 벡터 다발]]이며, 에레스만 접속이 <math>E</math>의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>로 주어진다고 하자. 이 경우, 평행 운송
:<math>P(\gamma) \colon E_{\gamma(a)} \to E_{\gamma(b)}</math>
는 두 [[실수 벡터 공간]] 사이의 [[실수 선형 변환]]을 이룬다.

특히, 만약 <math>\gamma</math>가 [[폐곡선]]이라면, 이는 [[일반 선형군]]의 원소를 이룬다.
:<math>P(\gamma) \in \operatorname{GL}(E_{\gamma(a)})</math>
이러한 폐곡선 평행 운송들이 구성하는 군을 '''[[홀로노미]]'''라고 한다.

=== 주다발 ===
[[리 군]] <math>G</math>에 대하여 <math>E</math>가 <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]]이며, 에레스만 접속이 <math>E</math>의 [[주접속]]이라고 하자. 이 경우, 마찬가지로 평행 운송
:<math>P(\gamma)\colon E_{\gamma(a)} \to E_{\gamma(b)}</math>
을 정의할 수 있다. 만약 <math>\gamma</math>가 [[폐곡선]]이라면,
:<math>P(\gamma) \colon E_{\gamma(a)} \to E_{\gamma(a)}</math>
는 어떤 군 원소 <math>g\in G</math>의 [[오른쪽 군 작용]]에 의하여 주어진다.
:<math>P(\gamma) = (\cdot g)</math>
즉, 이 경우 평행 운송은 <math>G</math>의 원소로 주어진다.

== 같이 보기 ==
* [[아핀 접속]]
* [[기하학적 위상]]
* [[리 미분]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Parallel transport}}
* {{매스월드|id=ParallelTransport|title=Parallel transport}}
* {{nlab|id=parallel transport|title=Parallel transport}}
* {{nlab|id=higher parallel transport|title=Higher parallel transport}}

[[분류:미분기하학]]