평행화 가능 다양체 문서 원본 보기

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[[미분위상수학]]에서 '''평행화 가능 다양체'''(平行化可能多樣體, {{llang|en|parallelizable manifold}})는 그 [[접다발]]이 자명한 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 매끄러운 다양체를 '''평행화 가능 다양체'''라고 한다.
* [[벡터 다발]]의 [[동형 사상]] <math>\mathrm TM \to M \times \mathbb R^{\dim M}</math>이 존재한다.
* [[벡터 다발]]의 [[동형 사상]] <math>\mathrm T^*M \to M \times \mathbb R^{\dim M}</math>이 존재한다.
* 어떤 <math>\dim M</math>개의 (매끄러운) [[벡터장]] <math>X_1,\dotsc,X_{\dim M} \in \Gamma^\infty (\mathrm TM)</math>에 대하여, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>X_1(x),\dotsc,X_{\dim M}(x)</math>는 [[접공간]] <math>\mathrm T_xM</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다.
* 어떤 <math>\dim M</math>개의 (매끄러운) [[1차 미분 형식]] <math>\alpha_1,\dotsc,\alpha_{\dim M} \in \Omega^1(M)</math>에 대하여, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>\alpha_1(x),\dotsc,\alpha_{\dim M}(x)</math>는 [[공변접공간]] <math>\mathrm T^*_xM</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다.

== 성질 ==
평행화 가능 다양체의 경우, 항상 [[리만 곡률]]이 0인 [[리만 계량]]을 줄 수 있다. 즉, 접다발의 기저를 잡아, 이를 [[필바인]]으로 삼으면 이는 평탄한 [[리만 계량]]을 정의한다.

모든 평행화 가능 다양체는 [[가향 다양체]]이다.

== 연산 ==
임의의 수의 평행화 가능 다양체의 [[분리합집합]]은 평행화 가능 다양체이다. 유한 개의 수의 평행화 가능 다양체의 [[곱공간]]은 평행화 가능 다양체이다.

평행화 가능 다양체의 [[열린집합]] 가운데 [[부분 다양체]]인 것은 평행화 가능 다양체이다. (그러나 평행화 가능 다양체의 [[닫힌집합]]은 평행화 가능 다양체가 아닐 수 있다.)

== 예 ==
=== 초구 ===
[[초구]] <math>\mathbb S^n</math> 가운데, 평행화 가능 다양체인 것은
:<math>n \in \{0, 1, 3, 7\}</math>
인 것 밖에 없다. 구체적으로, <math>\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H, \mathbb O \}</math>가 주어졌다고 하자 ([[실수체]], [[복소수체]], [[사원수]] 대수, [[팔원수]] 대수). 이 경우,
:<math>\mathbb S^{\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1} = \mathbb S(\mathbb K) =  \{x\in \mathbb K\colon |x|=1\}</math>
로 여길 수 있다. 이 초구의 <Math>x=1</math>에서의 접공간은
:<math>\mathrm T_1\mathbb S(\mathbb K) = \operatorname{Im}\mathbb K = \{x\in \mathbb K\colon \bar x = -x\}</math>
이며, 임의의 <math>x</math>에서의 접공간은
:<math>\mathrm T_x\mathbb S(\mathbb K) = x (\operatorname{Im}\mathbb K)= (\operatorname{Im}\mathbb K)\bar x</math>
의 꼴이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도''':
<div class="mw-collapsible-content">
어떤 매끄러운 곡선
:<math>\gamma\colon[0,1]\to\mathbb K</math>
:<math>\gamma(0) = x</math>
:<math>\gamma'(0) = v</math>
이 주어졌다고 하자. 이 경우 <math>v=\gamma'(0)</math>이 단위 초구의 접벡터일 [[필요 충분 조건]]은
:<math>0 = \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \|f(t)\|^2\right|_{t=0}
</math>
인 것이다. 그런데 <math>\|x\|^2 = x \bar x = \bar x x</math>이므로
:<math>\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \|f(t)\|^2\right|_{t=0} = 
\bar v x + \bar x v</math>
이다. 따라서, <math>\bar x v \in \operatorname{Im}\mathbb K</math>이며,  <math>x</math>가 초구 위에 있다면 <math>\bar x = x^{-1}</math>이므로
:<math>v \in x \operatorname{Im}\mathbb K = (\operatorname{Im}\mathbb K) \bar x</math>
이다.
</div></div>

=== 리 군 ===
모든 [[리 군]]은 평행화 가능 다양체이다. 구체적으로, 공변접다발의 <math>n</math>개의 단면들은 [[마우러-카르탕 형식]]에 의하여 주어진다. 특히, [[원환면]]은 [[리 군]] <math>\operatorname U(1)^n</math>의 구조를 가지므로, 항상 평행화 가능 다양체이다.

=== 낮은 차원의 다양체 ===
모든 [[가향 다양체|가향]] 3차원 [[매끄러운 다양체]]는 평행화 가능 다양체이다.

2차원 [[연결 공간|연결]] 콤팩트 [[매끄러운 다양체]] 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 [[원환면]] <math>\mathbb S^1 \times \mathbb S^1</math> 밖에 없다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
우선, <math>\Sigma</math>가 콤팩트 연결 유향 곡면의 경우를 생각하자. 이 경우, [[리만 곡률]]이 0인 [[리만 계량]]을 줄 수 있으므로, [[가우스-보네 정리]]에 따라서 그 종수가 1이다. 즉, 이는 원환면이다.
</div></div>

모든 0차원 또는 1차원 매끄러운 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

== 같이 보기 ==
* [[틀다발]]
* [[주다발]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Parallelizable manifold }}
* {{매스월드|id=Parallelizable|title=Parallelizable}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]