평행축 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[고전역학]]에서 '''평행축 정리'''(平行軸定理, {{lang|en|parallel-axis theorem}})란 서로 평행한 두 [[회전|회전축]]에 대한 [[관성 모멘트]]들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 [[관성 모멘트]]를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 [[관성 모멘트]]를 구할 수 있다.

== 스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리 ==
<math>I_{\textrm{cm}}</math>를 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성모멘트라 하고, 이 축에서 거리 <math>d</math>만큼 평행이동된 축에 대한 새로운 관성모멘트를 <math>I</math>, [[강체]]의 질량을 <math>m</math>이라 하자. 이 때, 스칼라 관성모멘트에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

:<math>I = I_{\textrm{cm}} + md^2 </math>

=== 증명 ===
먼저 두 회전축은 모두 z축에 평행하다고 하자. 이 때, <math>I_{\textrm{cm}}</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>I_{\textrm{cm}} = \sum_i m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right)</math>

[[질량 중심]]을 [[직교좌표계]]의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 <math>(a, b)</math>라 놓으면 [[피타고라스의 정리]]에 의해
:<math>d^2 = a^2 + b^2</math>

이 되고, 새로운 관성 모멘트 <math>I</math>는
:<math>I = \sum_i m_i \left[ (x_i-a)^2 + (y_i-b)^2 \right]</math>

이 된다. 3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 [[강체]] 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량항과 합에서 이를 고려해야 함에 유의하자. 이제 위 식을 전개해보자.
:<math>I = \sum_i m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right) - 2a \sum_i m_i x_i - 2 b \sum_i m_i y_i + \left( a^2 + b^2 \right) \sum_i m_i </math>
이 식의 첫 번째 항은 <math>I_{\textrm{cm}}</math>에 해당하는 항이다. 두 번째 항과 세 번째 항의 경우, 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이 된다. 마지막 항의 합은 질량들을 전부 합한 것이므로 <math>m</math>이 된다. 따라서 아래의 평행축 정리를 얻는다.
:<math>I = I_{\textrm{cm}} + md^2 </math>

점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 [[시그마]]를 [[인테그랄]]로, 질량을 질량[[무한소]]로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.

== 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리 ==
관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리도 위와 약간 유사하지만 조금 다른 형태를 가지고 있다. [[질량 중심]]을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 <math>\mathbf{I}</math>, 새로운 관성 모멘트 텐서를 <math>\mathbf{I}'</math>이라 하면 [[직교좌표계]]에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

:<math>I'_{ij}=I_{ij} + m(a^2 \delta_{ij}-a_i a_j)</math>

여기서 <math>\mathbf{a}</math>는 질량 중심으로부터 새로운 축을 가리키는 [[벡터 (물리)|벡터]]이고 <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다.

=== 증명 ===
스칼라 관성 모멘트의 경우와 마찬가지로 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다 가정하고, 좌표로 이를 표현했을 때, [[질량중심]]을 기준으로 하는 원래 좌표 <math>O</math>로부터 <math>\mathbf{a}</math>만큼 평행이동한 새로운 좌표 <math>O'</math>, 즉, 새로운 좌표의 원점이 질량중심을 기준으로 한 좌표의 원점으로부터 <math>\mathbf{a}</math>만큼 이동된 곳에 원점을 두는 좌표라 하자. 이 때, [[직교좌표계]]로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.
:<math>I'_{ij} = \sum_n m_n \left(|\mathbf{r}'_n|^2 \delta_{ij} - r'_{ni} r'_{nj} \right)</math>
여기서 <math>n</math>는 입자를 가리키는 지표, <math>i</math>와 <math>j</math>는 좌표의 성분을 나타내는 지표이다. 여기에
:<math>\mathbf{r}'_n = \mathbf{r}_n - \mathbf{a}</math>
를 대입하면
:<math>I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ |\mathbf{r}_n - \mathbf{a}|^2 \delta_{ij} - \left(r_{ni} - a_i \right) \left(r_{nj} - a_j \right) \right]</math>
조금 복잡하지만 이를 전개하면
:<math>I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ \left(|\mathbf{r}_n|^2 - 2 \mathbf{r}_n \cdot \mathbf{a} + |\mathbf{a}|^2 \right) \delta_{ij} - \left(r_{ni} r_{nj} -  r_{ni} a_j - r_{nj} a_i + a_i a_j  \right) \right]</math>
항이 많지만, <math>\mathbf{a}</math>는 상수이고, <math>O</math>는 질량중심이 원점인 좌표이므로 <math>i</math>에 관계없이
:<math>\sum_n m_n r_{ni} = 0</math>
임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라지고 몇 개의 항만이 남는다.
:<math>I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ \left(|\mathbf{r}_n|^2 + |\mathbf{a}|^2 \right) \delta_{ij} - \left(r_{ni} r_{nj} + a_i a_j  \right) \right]</math>
<math>\mathbf{r}</math>은 <math>\mathbf{r}</math>끼리, <math>\mathbf{a}</math>는 <math>\mathbf{a}</math>끼리 정리하면
:<math>I'_{ij} = \sum_n m_n \left( |\mathbf{r}_n|^2   \delta_{ij} - r_{ni} r_{nj} \right) + \sum_n m_n \left( |\mathbf{a}|^2 \delta_{ij} - a_i a_j  \right)</math>
을 얻는다. 여기서 첫 번째 합의 경우, <math>I_{ij}</math>가 되고 두 번째 항의 경우 <math>\mathbf{a}</math>는 <math>n</math>과 관계없는 벡터이기 때문에 <math>m_n</math>에 대한 합만이 되어 이부분은 전체 질량이 된다. 따라서 아래의 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리를 얻는다.
:<math>I'_{ij}=I_{ij} + m(a^2 \delta_{ij}-a_i a_j)</math>

== 같이 보기 ==
* [[크리스티안 하위헌스]]
* [[야코프 슈타이너]]
* [[관성 모멘트]]
* [[수직축 정리]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자=Hugh D. Young|공저자=Roger A. Freedman|제목=Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics|연도=2004|출판사=Addison Wesley|판=11th Edition|쪽=p. 345-6|장=9.5 Parallel-Axis Theorem}}
* 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 233-4쪽.
* {{웹 인용 |저자=Eric Weisstein|url=http://scienceworld.wolfram.com/physics/ParallelAxisTheorem.html |제목=Parallel Axis Theorem|확인날짜=2008-08-18 |웹사이트=Eric Weisstein's World of Physics }}

[[분류:고전역학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:물리학 정리]]
[[분류:크리스티안 하위헌스]]
[[분류:모멘트 (물리학)]]