평행사변형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:parallelogram_definition.svg|180px|right|섬네일|정의에 따른 평행사변형의 그림]]
[[평면 기하]]에서 '''평행사변형'''(平行四邊形)은 두 쌍의 대변이 각각 [[평행]]한 [[사각형]]이다. [[유클리드 기하]]에서 평행사변형의 대변 또는 마주보는 두 변은 길이가 같고 대각의 크기가 같으며, 이는 유클리드 기하의 평행선 공준의 직접적인 결과이다. 3차원에서는 [[평행육면체]]가 대응된다.

== 평행사변형의 성질 ==

=== 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분 한다. ===

==== 증명 ====
<math> \triangle EAB </math> 와 <math> \triangle ECD </math>에서 <math> \overline{AB} \parallel \overline{DC} </math> 이므로
:<math> \angle EAB =  \angle ECD </math> (엇각) ……(1)
:<math> \angle EBA =  \angle EDC </math> (엇각) ……(2)
또, 평행사변형에서 대변의 길이는 같으므로
:<math> \overline{AB} = \overline{DC} </math> ……(3)
(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로
:<math> \triangle EAB \equiv \triangle ECD </math>
<math> \therefore  \overline{EA} = \overline{EC},  \overline{EB} = \overline{ED} </math>이다.라고 한다

=== 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다===

==== 증명. ====

<math> \triangle ABC </math> 와 <math> \triangle CDA </math>에서 <math> \overline{AB} \parallel \overline{DC} </math> 이고 <math> \overline{AD} \parallel \overline{BC} </math> 이므로
:<math> \angle BAC =  \angle DCA </math> (엇각) …(1)
:<math> \angle ACB =  \angle CAD </math> (엇각) …(2)
:<math> \overline{AC} </math>는 공통인 변이다. …(3)
(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로
:<math> \triangle ABC \equiv \triangle DCA </math>
따라서
:<math> \overline{AB} =  \overline{DC}, \overline{AD} =  \overline{BC} </math>
이다.

=== 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. ===

==== 증명 ====

<math> \overline{BC} </math>를 C 방향으로 연장해서 그 위의 임의의 점을 E 라고하자.
: <math> \angle D = \angle DCE = \angle B </math> (동위각, 엇각)
같은 방법으로 <math> \angle A = \angle C </math>이다.

== 넓이 ==
* 밑변의 길이를 <math>a</math> 그에 대한 높이를 <math>h</math>라 하면,
:<math>S=ah </math>
* 이웃하는 두 변을 각각 <math>a</math> , <math>b</math> 그 끼인각의 크기를 <math>\theta</math>라 하면,
:<math>S=ab \sin \theta </math>

== 특징 ==

[[파일:Parallelogram.svg|180px|right|섬네일|대각선을 그은 평행사변형]]
* 평행사변형은 [[사다리꼴]]이다.
* [[마름모]]와 [[직사각형]]은 평행사변형이다.
* 두 벡터의 합을 구할 때 평행사변형법이 사용된다. 오른쪽 그림에서, DC 벡터와 DA 벡터의 합벡터는 DB 벡터이다.
== 중건 ==

* 사각형 ABCD가 평행사변형일 필요충분조건들은 다음과 같다.
:두 쌍의 대변이 평행하다.(정의)
:두 쌍의 대변의 길이가 같다.
:두 쌍의 대각의 크기가 같다.
:두 대각선이 서로를 이등분한다.
:한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

== 여러 가지 사각형의 종류 ==
{{사각형}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[역평행사변형]]
* [[톨레미 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:사각형]]