평탄 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[환론]]에서 '''평탄 가군'''(平坦加群, {{llang|en|flat module|플랫 모듈}})은 단사 [[가군 준동형]]에 텐서곱을 하여도 단사성이 보존되는 가군이다. [[대수기하학]]에서 '''평탄 사상'''(平坦寫像, {{llang|en|flat morphism}})은 [[공역]]의 [[줄기 (수학)|줄기]]가 [[정의역]]의 [[줄기 (수학)|줄기]]의 평탄 가군이 되도록 하는 [[스킴 (수학)|스킴]] 사상이다. 기하학적으로, 평탄 사상은 그 올들이 "연속적으로" 변한다는 것을 뜻한다. 임의의 스킴 사상에서는 올의 [[크룰 차원]]이나 [[힐베르트 다항식]] 등이 임의로 변할 수 있지만, 평탄성을 가정하면 이러한 성질들이 일정하다는 것을 보일 수 있다.

== 정의 ==
=== 평탄 가군 ===
(곱셈 항등원을 가진) [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 임의의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여, <math>_RM</math>과의 <math>R</math>-[[텐서곱]]으로 정의되는 [[가법 함자]]
:<math>-\otimes_RM\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>-\otimes_RM\colon N_R\mapsto N\otimes_RM</math>
는 일반적으로 [[오른쪽 완전 함자]]이지만, (양쪽) [[완전 함자]]가 아닐 수 있다. (여기서 <math>\operatorname{Mod}_R</math>는 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]들의 범주이며, <math>\operatorname{Ab}</math>는 [[아벨 군]]들의 범주이다.)

(곱셈 항등원을 가진) [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[왼쪽 가군]]을 '''평탄 왼쪽 가군'''({{llang|en|flat left module}})이라고 한다.
* <math>_RM</math>과의 <math>R</math>-[[텐서곱]]으로 정의되는 [[가법 함자]] <math>-\otimes_RM\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab}</math>는 [[완전 함자]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|122, Definition 4.0}}
* 임의의 두 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]] <math>N_R</math>, <math>N'_R</math> 및 임의의 [[단사 함수]]인 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>f\colon N\to N'</math>에 대하여, <math>f\otimes M\colon N\otimes_RM\to N'\otimes_RM</math>은 [[단사 함수]]인 [[군 준동형]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|122, Definition 4.0}} (이는 [[완전 함자]]의 정의를 그대로 풀어 쓴 것에 불과하다.)
* 임의의 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]] <math>N_R</math>에 대하여, <math>\operatorname{Tor}^R_1(N,M)=0</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{Tor}</math>는 [[Tor 함자]]이다.)
* 임의의 <math>R</math>-[[유한 생성 가군|유한 생성]] [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R=Rr_1+\cdots+Rr_k</math>에 대하여, <math>\operatorname{Tor}^R_1(\mathfrak A,M)=0</math>이다.
* 임의의 <math>R</math>-[[오른쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A</math>에 대하여, 자연스러운 포함 사상 <math>\mathfrak A\otimes_RM\to \mathfrak AM</math>은 [[아벨 군]]의 [[동형 사상]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|125, Theorem 4.12}}
* 임의의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] <math>R</math>-[[오른쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A=Rr_1+Rr_2+\cdots+Rr_k</math>에 대하여, 자연스러운 포함 사상 <math>\mathfrak A\otimes_RM\to \mathfrak AM=Rr_1M+Rr_2M+\cdots+Rr_kM</math>은 [[아벨 군]]의 [[동형 사상]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|125, Theorem 4.12}}
* <math>R</math>-[[오른쪽 가군]] <math>\hom_{\mathbb Z}(M,\mathbb Q/\mathbb Z)</math>이 <math>R</math>-[[단사 오른쪽 가군]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|125, Theorem 4.9}}<ref>{{저널 인용|이름=Joachim|성=Lambek|제목=A module is flat if and only if its character module is injective|저널=Canadian Mathematical Bulletin|권=7|호=2|날짜=1964-04|쪽=237–243|doi=10.4153/CMB-1964-021-9|언어=en}}</ref>
* [[꼬임 없는 왼쪽 가군]]이며, 임의의 [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R</math>에 대하여, <math>\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M</math>이다.<ref name="Tuganbaev">{{서적 인용 | 제목=Rings close to regular | 이름=Askar | 성=Tuganbaev | doi=10.1007/978-94-015-9878-1 | isbn=978-90-481-6116-4 | 총서=Mathematics and its Applications | 권=545 | 출판사=Springer-Verlag | 언어=en}}</ref>{{rp|84, Proposition 2.8.5}}
* [[꼬임 없는 왼쪽 가군]]이며, 임의의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R</math>에 대하여, <math>\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M</math>이다.<ref name="Tuganbaev"/>{{rp|84, Proposition 2.8.5}}
* 임의의 [[유한 표시 가군]] <math>_RN</math> 및 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>f\colon N\to M</math>에 대하여, <math>f=h\circ g</math>가 되는 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 왼쪽 가군]] <math>_RR^n</math>과 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>g\colon N\to R^n</math>과 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>h\colon R^n\to M</math>이 존재한다.<ref name="Lam"/>{{rp|Theorem 4.32}}
* (평탄성의 방정식적 조건 {{llang|en|equational criterion for flatness}}) 임의의 자연수 <math>m,n\in\mathbb N</math> 및 <math>R</math>-계수 <math>m\times n</math>-[[행렬]] <math>T\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math> 및 <math>M</math>-계수 <math>n</math>-벡터 <math>\vec u\in M^n</math>에 대하여, 만약 <math>T\vec u=\vec0\in R^m</math>이라면, <math>\vec u=U\vec u'</math>이며 <math>TU=0\in\operatorname{Mat}(m,n';R)</math>이 되는 자연수 <math>n'\in\mathbb N</math> 및 <math>M</math>-계수 <math>n'</math>-벡터 <math>\vec u'\in M^{n'}</math> 및 <math>n\times n'</math>-[[행렬]] <math>U\in\operatorname{Mat}(n,n';R)</math>가 존재한다.<ref name="Lam"/>{{rp|130, Theorem 4.24(3)}}
* (위 조건과 같지만, 항상 <math>m=1</math>인 경우)<ref name="Lam"/>{{rp|130, Theorem 4.24(2)}}
* (라자르-고보로프 조건 {{llang|en|Lazard–Govorov criterion}}) <math>R</math>-[[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 왼쪽 가군]]들의 (<math>R</math>-[[왼쪽 가군]] [[범주 (수학)|범주]] 속에서의) [[귀납적 극한]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|134, Theorem 4.34}}<ref>{{저널 인용|이름=Daniel|성=Lazard|제목=Sur les modules plats|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|권=258|쪽=6313–6316|날짜=1964|mr=0168625|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=В. Е.|성=Говоров|제목=О плоских модулях|저널=Сибирский Математический Журнал|권=6|호=2|날짜=1965-03|쪽=300–304|zbl=0156.27104|issn=0037-4474|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN394039319_0006%7CLOG_0041 | 언어=ru}}</ref>
여기서
:<math>\mathfrak AM=\{a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec a\in\mathfrak A^k,\;\vec m\in M^k\}</math>
이며, [[꼬임 없는 왼쪽 가군]] <math>_RM</math>은 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>\operatorname{Tor}^R_1(R/rR,M)=0</math>인 것이다.

마찬가지로 '''평탄 오른쪽 가군'''({{llang|en|flat right module}})의 개념을 정의할 수 있다. 그 정의는 평탄 왼쪽 가군의 정의에서  "[[오른쪽 완전 함자]]"를 제외한 나머지에서 왼쪽·오른쪽을 바뀌어 얻는다. ([[완전 함자]]에서 왼쪽·오른쪽은 [[짧은 완전열]]의 왼쪽·오른쪽에 대한 것이므로, [[왼쪽 가군]]·[[오른쪽 가군]]의 관계와 무관하다.)

위의 서로 동치인 조건들 가운데, "[[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>에 대하여 <math>\mathfrak a\otimes_RM\cong \mathfrak aM</math>"인 것은 ([[가환환]]의 경우) 다음과 같이 [[대수기하학]]적으로 해석할 수 있다.
* [[가군]] <math>M</math>은 [[아핀 스킴]] <math>X=\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[준연접층]]을 정의한다.
* [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>는 <math>X</math>의 [[닫힌 부분 스킴]] <math>Z=\operatorname{Spec}(R/\mathfrak a)\to\operatorname{Spec}R=X</math>를 정의한다.
* [[준연접층]] <math>M</math>을 [[닫힌 부분 스킴]] <math>Z</math>로 제한할 경우 얻는 [[준연접층]]은 [[몫가군]] <math>M\otimes_R(R/\mathfrak a)=M/\mathfrak aM</math>이다. (이는 임의의 가군에 대하여 성립한다.) 즉, <math>\mathfrak aM</math>은 <math>Z</math>에서 0이 되는 가군의 단면들로 생각할 수 있다.
* 일반적으로, <math>\mathfrak a\otimes_RM\to\mathfrak aM</math>은 [[전사 함수]]이지만 [[전단사 함수]]가 아니다. 즉, <math>M</math>을 <math>Z</math>로 제한할 때, <math>Z</math>에서 0이 되는 단면들은 단순히 <math>\mathfrak a\otimes_RM</math>이 아니라, 이들 사이에 추가 관계들이 발생한다.
* 즉, <math>M</math>이 [[평탄 가군]]이라는 것은 임의의 아핀 닫힌 부분 스킴 <math>Z</math>에 대하여, <math>Z</math>에서 0이 되는 단면들이 "자명한" 경우이다.

위의 서로 동치인 조건들 가운데, 평탄성의 방정식적 조건은 대략 다음과 같이 생각할 수 있다.
{{인용문2|
말하자면, [평탄 가군의 방정식적 조건]은 가군 ''P''에 존재하는 선형 관계가 항상 ''R''에 존재하는 선형 관계로부터 유도됨을 뜻한다.<br>{{lang|en|In a manner of speaking, [the equational criteria for flatness] express the fact that linear relations in [the module] ''P'' are consequences of linear relations in [the ring] ''R''.}}|<ref name="Lam"/>{{rp|130, §4C}}}}

=== 평탄 가군층 ===
평탄 가군의 개념은 '''평탄 [[가군층]]'''({{llang|en|flat sheaf of modules}}, 平坦加群層)으로 일반화된다. [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[가군층]]의 [[아벨 범주]]를 <math>\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}</math>라고 하자. <math>(X,\mathcal O_X)</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>가 주어졌을 때, 만약 [[가법 함자]]
:<math>\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}\to\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}</math>
:<math>\mathcal G\mapsto \mathcal G_{\mathcal O_X}\mathcal F</math>
가 [[완전 함자]]라면, <math>M</math>을 '''평탄 가군층'''이라고 한다.

=== 평탄 사상 ===
두 [[가환환]] <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 '''평탄 준동형'''({{llang|en|flat homomorphism}}) <math>f\colon R\to S</math>는 이로 인하여 <math>S</math>가 <math>R</math>의 평탄 가군이 되게 만드는 [[환 준동형]]이다.

두 스킴 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 '''평탄 스킴 사상'''({{llang|en|flat morphism of schemes}}) <math>f\colon X\to Y</math>는 임의의 <math>p\in X</math>에 대하여 구조층의 [[줄기 (수학)|줄기]]인 [[국소환]]의 [[환 준동형|준동형]]
:<math>f^\#_p\colon \mathcal O_{Y,f(p)}\to\mathcal O_{X,p}</math>
이 평탄 준동형인 [[스킴 사상]]이다.<ref name="ÉGA4.2">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |저자링크 = 알렉산더 그로텐디크
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1965
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 24
 |mr           = 0199181
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1965__24_
 |doi          = 10.1007/bf02684322
 |언어       = fr
 |access-date  = 2015-08-17
 |archive-date = 2016-03-03
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160303235006/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1965__24_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|5, (IV.2.1.1)}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|254}}

== 성질 ==
<math>R</math>가 (곱셈 항등원을 가진) [[가환환]]이며, <math>M</math>이 <math>R</math>-가군이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>M</math>은 평탄 가군이다.
* (평탄성의 국소성) <math>R</math>의 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, 가군의 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>M_{\mathfrak p}</math>는 <math>R_{\mathfrak p}</math>에 대하여 평탄 가군이다.

=== 함의 관계 ===
다음이 성립한다.
* 모든 [[사영 왼쪽 가군]]은 평탄 왼쪽 가군이다. 반대로, 모든 [[왼쪽 완전환]] 위의 모든 평탄 왼쪽 가군은 [[사영 왼쪽 가군]]이다.
* 모든 평탄 왼쪽 가군은 [[꼬임 없는 왼쪽 가군]]이다. 반대로, [[오른쪽 베주 환]] 위의 모든 꼬임 없는 왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다. (※왼쪽이 아니라 [[오른쪽 베주 환]]인 것에 주의)

=== 평탄 사상 ===
평탄 사상들의 [[함수의 합성|합성]]은 평탄 사상이다.<ref name="ÉGA4.2"/>{{rp|Corollaire 2.1.6}}

평탄 사상은 밑 변환에 대하여 불변이다.<ref name="ÉGA4.2"/>{{rp|(IV.2.1.4), Corollaire IV.2.2.13(i)}}<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|254, Proposition III.9.2(b)}} 즉, 평탄 사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>g\colon Y'\to Y</math>가 주어졌을 때, [[올곱]] <math>f\times g\colon X\times_YY'\to Y'</math>은 평탄 사상이다.

==== 함의 관계 ====
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:스킴 사상 ⊇ 평탄 사상 ⊇ [[국소 유한 표시 사상]] ∩ 평탄 사상 ⊇ [[매끄러운 사상]] ⊇ 평탄 사상 ∩ [[비분기 사상]] = [[매끄러운 사상]] ∩ [[비분기 사상]] = [[에탈 사상]]  ⊇ [[열린 몰입]]

==== 평탄성의 일반성 ====
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>X</math>는 [[국소 뇌터 스킴]]이다.
* <math>Y</math>는 [[정역 스킴]]이자 [[국소 뇌터 스킴]]이다.
* <math>f\colon X\to Y</math>는 [[유한형 사상]]이다.
그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="ÉGA4.2"/>{{rp|Théorème IV.6.9.1}}
* 공집합이 아닌 어떤 [[열린집합]] <math>U\subseteq Y</math>에 대하여, <math>f|_{f^{-1}(U)}\colon f^{-1}(U)\to Y</math>는 평탄 사상이다.
이를 '''평탄성의 일반성'''({{llang|en|genericity of flatness}})이라고 하며, 평탄성의 가장 중요한 성질 가운데 하나이다. 이는 [[알렉산더 그로텐디크]]가 데비사주({{llang|fr|dévissage}})를 통하여 증명하였다.

==== 올의 차원과 힐베르트 다항식의 일정성 ====
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>X</math>는 [[국소 뇌터 스킴]]이다.
* <math>Y</math>는 [[국소 뇌터 스킴]]이다.
* <math>f\colon X\to Y</math>는 평탄 사상이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="ÉGA4.2"/>{{rp|Corollaire IV.6.1.2}}
*  <math>\forall x\in X\colon\quad\dim\mathcal O_{X,x}=\dim\mathcal O_{Y,f(x)}+\dim\mathcal O_{f^{-1}(f(x)),x}</math>

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>X</math>는 [[코언-매콜리 스킴|코언-매콜리]] [[국소 뇌터 스킴]]이다.
* <math>Y</math>는 [[정칙 스킴|정칙]] [[국소 뇌터 스킴]]이다.
* <math>f\colon X\to Y</math>는 스킴 사상이다.
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="ÉGA4.2"/>{{rp|Corollaire IV.6.1.5}}
* <math>f</math>는 평탄 사상이다.
*  <math>\forall x\in X\colon\quad\dim\mathcal O_{X,x}=\dim\mathcal O_{Y,f(x)}+\dim\mathcal O_{f^{-1}(f(x)),x}</math>

따라서, 평탄성은 올의 차원이 국소적으로 일정하다는 것과 (적절한 조건 아래) 동치이다.

[[정역 스킴|정역]] [[뇌터 스킴]] <math>S</math>에 의하여 매개화되는 사영 스킴의 족 <math>X</math>를 생각하자. 즉, [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n_S</math>의 [[닫힌 부분 스킴]]
:<math>X\subseteq\mathbb P^n_S</math>
를 생각하자. 여기에 구조 사상 <math>\mathbb P^n_S\to S</math>을 합성하여,
:<math>f\colon X\to S</math>
를 정의할 수 있다. 그렇다면 <math>s\in S</math>에 대하여 <math>f^{-1}(s)</math>는 <math>\mathbb P^n_{k(s)}</math> 속의 닫힌 부분 스킴을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|261, Theorem III.9.9}}
* <math>f</math>는 평탄 사상이다.
* 모든 점에서 [[힐베르트 다항식]]들이 같다. 즉, <math>s\mapsto\operatorname{HP}f^{-1}(s)</math>는 [[상수 함수]]이다.

== 예 ==
(곱셈 항등원을 가진) [[가환환]] <math>R</math>의, 임의의 곱셈에 대하여 닫힌 부분집합 <math>S\subseteq R</math>에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>S^{-1}R</math>는 <math>R</math>-평탄 가군이다.

[[정수환]]은 [[데데킨트 환]]이므로, [[아벨 군]]이 <math>\mathbb Z</math>-평탄 가군인 것은 [[꼬임 부분군]]이 [[자명군]]인 것과 [[동치]]이다. 따라서, [[순환군]] <math>\mathbb Z/n</math>은 평탄 <math>\mathbb Z</math>-가군이 아니다. 예를 들어, <math>n\cdot\colon\mathbb Z\to\mathbb Z</math>는 단사 함수이지만, <math>\mathbb Z/n</math>과의 텐서곱을 취하면 <math>\mathbb Z/n\to\mathbb Z/n</math>은 더 이상 단사 함수가 아니다.

=== 매끄럽지 않은 평탄 사상 ===
체 <math>K</math> 위의 스킴의 족
:<math>\operatorname{Spec}K[x,y,t]/(xy-t)\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K[t]</math>
를 생각하자. 이 경우, <math>t\ne0</math>에서는 올이 아핀 [[타원 곡선]] <math>y=x/t</math>이지만, <math>t=0</math>에서 올은 두 [[아핀 직선]](x축과 y축)의 합집합으로 퇴화하게 된다. 따라서 이는 매끄러운 사상이 아니지만, 이는 평탄 사상을 이룬다.

=== 평탄 사상이 아닌 사상 ===
체 <math>K</math> 위의 스킴의 족
:<math>\operatorname{Spec}[x,t]/(t(x-1))\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K[t]</math>
를 생각하자. 이 경우, <math>t\ne0</math>에서 올은 한 점으로 구성되지만, <math>t=0</math>에서 올은 아핀 직선을 이룬다. 이에 따라 이는 평탄 사상이 아니다.

다른 예로, 결절점을 가진 삼차 [[대수 곡선]] <math>C</math>을 생각하자.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|258, Example III.9.7.1}} [[대수 곡선]]의 특이점은 [[정규 스킴|정규화]]로 해소되며, 그 정규화를 <math>\tilde C</math>라고 하자. 그렇다면 표준적인 사상 <math>\pi\colon\tilde C\to C</math>가 존재한다. 이는 [[비분기 사상]]이지만 평탄 사상이 아니며, 따라서 [[에탈 사상]]이 아니다. 평탄성의 실패는 결절점 밖에서는 올이 한 점으로 구성되지만, 결절점에서는 올이 갑자기 ("불연속적으로") 두 개의 점으로 바뀌기 때문이다.

== 역사 ==
평탄성의 개념은 [[장피에르 세르]]가 1956년 논문에서 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Serre | first=Jean-Pierre | authorlink=장피에르 세르 | title=Géométrie algébrique et géométrie analytique | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 | mr=0082175 | 날짜=1956 | journal=Annales de l’Institut Fourier | issn=0373-0956 | volume=6 | pages=1–42 | doi=10.5802/aif.59 | 언어=fr}}</ref>{{rp|34, Définition 3}} 이 논문에서 세르는 복소수체 위의 대수다양체 <math>X</math>의 [[해석적 다양체|해석화]] <math>X^{\operatorname{an}}</math>가 주어졌을 때, <math>X^{\operatorname{an}}</math>의 구조층의 줄기는 <math>X</math>의 구조층의 줄기 위의 평탄 가군을 이룸을 보였다. 이후 [[알렉산더 그로텐디크]]는 평탄성이 [[대수기하학]]에서 매우 중요함을 알아차렸고, 이를 《[[대수기하학 원론]]》에서 널리 사용하였다.

[[데이비드 멈퍼드]]는 평탄성에 대하여 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|평탄성의 개념은 대수학에서 출현하는 수수께끼지만, 이는 (기하학에서의) 수많은 문제에 대한 기술적인 정답이다.<br>{{lang|en|The concept of flatness is a riddle that comes out of algebra, but which technically is the answer to many prayers.}}|<ref>{{서적 인용
 | 이름=David|성=Mumford|저자링크=데이비드 멈퍼드
 | 날짜 = 1999
 | title = The red book of varieties and schemes
 | edition = 2
 | publisher = Springer-Verlag
 | doi = 10.1007/b62130
 | isbn = 978-3-540-63293-1
 | series =  Lecture Notes in Mathematics | volume=1358 | issn=1617-9692
 | zbl =  0945.14001
 | mr = 1748380
 | 언어=en
}}</ref>{{rp|214, §III.10}}}}
마찬가지로, [[로빈 하츠혼]]은 평탄성에 대하여 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|대수다양체나 스킴의 대수적 족의 개념은 여러 모로 유용하다. 이러한 족의 가장 간단한 정의는 그냥 스킴 사상의 올들을 취하는 것이다. 그러나 이 개념이 잘 작동하려면 족에서 올의 차원 따위의 수치적 불변량들이 일정하여야 한다. 만약 체 위의 비특이 (또는 심지어 [[정규 스킴|정규]]) 대수다양체들을 다룰 경우, 이러한 간단한 정의도 잘 작동한다. […] 그러나 비정규 대수다양체나 더 일반적인 스킴의 경우, 간단한 정의는 잘 작동하지 않는다. 따라서, 평탄한 족(즉, 평탄 사상의 올들로 구성된 족)을 고려하게 되며, 이는 잘 작동한다. 왜 평탄성이라는 대수적 조건을 구조층에 적용하면 족의 정의가 잘 작동하는지는 미스터리다.<br>
{{lang|en|For many reasons it is important to have a good notion of an algebraic family of varieties or schemes. The most naive definition would be just to take the fibres of a morphism. To get a good notion, however, we should require that certain numerical invariants remain constant in a family, such as the dimension of the fibres. It turns out that if we are dealing with nonsingular (or even normal) varieties over a field, then the naive definition is already a good one. […] On the other hand, if we deal with nonnormal varieties, or more general schemes, the naive definition will not do. So we consider a flat family of schemes, which means the fibres of a flat morphism, and this is a very good notion. Why the algebraic condition of flatness on the structure sheaves should give a good definition of a family is something of a mystery.}}|<ref name="Hartshorne"/>{{rp|256}}}}

== 같이 보기 ==
* [[평탄 사상]]
* [[절대평탄환]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Flat module}}
* {{eom|title=Flat morphism}}
* {{매스월드|id=FlatModule|title=Flat module}}
* {{매스월드|id=FaithfullyFlatModule|title=Faithfully flat module}}
* {{nlab|id=flat module|title=Flat module}}
* {{nlab|id=flat morphism|title=Flat morphism}}
* {{nlab|id=Lazard's criterion}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/07/15/flat-modules-and-morphisms/|제목=Flat modules and morphisms|이름=Charles|성=Siegel|날짜=2008-07-15|웹사이트=Rigorous Trivialities|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.konradvoelkel.com/2010/10/flat-modules/|제목=Flat modules|이름=Konrad|성=Voelkel|날짜=2010-10-30|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ayoucis.wordpress.com/2014/03/12/flat-morphisms-and-flatness/|제목=Flat morphisms and flatness|이름=Alex|성=Youcis|날짜=2014-03-12|웹사이트=Hard Arithmetic|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/6789/why-are-flat-morphisms-flat|제목=Why are flat morphisms “flat?”|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/46541/how-to-introduce-notions-of-flat-projective-and-free-modules|제목=How to introduce notions of flat, projective, and free modules|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:가군론]]
[[분류:스킴 이론]]