평면 문서 원본 보기

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[[파일:PlaneIntersection.png|섬네일|[[3차원]] 공간에서 서로 만나는 두 평면]]
[[기하학]]에서 '''평면'''(平面, {{llang|en|plane}})은 완전하게 평평한 [[차원|2차원]] [[곡면]]이다. 직관적으로 말하면, 하나의 평면은 무한히 평평하게 펼쳐져 있는 [[종이]] 한 장과 같은 것이다.

[[유클리드 기하학|평면 기하]]나 2차원 [[컴퓨터 그래픽스]]와 같은 분야에서는 모든 일이 하나의 평면에서 이루어지므로 그냥 "평면"이라 하면 전체 공간을 말하는 것이 된다. 기하학적인 성질을 사용하거나 [[삼각비]]를 사용할 때, [[함수의 그래프]]를 그릴 때도 평면에서 대부분의 일이 이루어진다.

== 유클리드 기하 ==
[[유클리드 공간]]에서 평면은 [[곡면]]의 일종으로서, 그 위에 있는 어느 두 [[점 (기하학)|점]]을 택하여도 그 두 점을 지나는 [[직선]] 전체를 항상 포함하는 것으로 정의할 수 있다. 평면은 [[직교 좌표계|직교 좌표]]를 도입하여 임의의 점을 두 [[실수]]의 [[순서쌍]]으로 유일하게 나타낼 수 있으며, 이 순서쌍을 그 점의 [[좌표계|좌표]]라 한다.

유클리드 공간에서, 평면은 다음 조건 중 하나에 의해 유일하게 결정된다.

* 한 직선 위에 있지 않은 세 점
* 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
* 서로 만나는 두 개의 서로 다른 직선
* 평행한 두 개의 서로 다른 직선

== R³의 부분 공간으로서의 평면 ==
여기서는 3차원 공간, 특히 '''R'''<sup>3</sup>의 부분공간으로서의 평면을 생각한다.

=== 성질 ===
3차원에서는, 더 높은 차원의 공간에서는 성립하지 않는 다음과 같은 성질들을 이용할 수 있다.

* 두 개의 평면은 평행하거나 한 직선에서 만난다.
* 한 직선과 한 평면은 서로 평행하거나 한 점에서 만난다.
* 한 평면에 [[수직]]인 두 직선은 서로 평행하다.
* 한 직선에 [[수직]]인 두 평면은 서로 평행하다.

=== 점과 법선 벡터 ===
3차원 공간 안에서 평면을 결정하는 또 하나의 중요한 방법은 다음과 같다.
* 한 점과, 결정하려는 평면에 수직인 한 직선.
이 때 그 직선을 그 평면의 한 [[법선]]이라 한다. 이때 결정되는 평면은 쉽게 식으로 나타낼 수 있다. 주어진 점을 <math>\vec p</math>라 하고 <math>\vec n</math>을 주어진 평면에 수직인, 영이 아닌 벡터라고 하자(이것을 그 평면의 '''법선벡터'''라 한다). 그러면 주어진 점을 지나고 주어진 직선에 수직인, 평면은 다음을 만족하는 모든 점 <math>\vec r</math>의 집합이다.
:<math>\vec n\cdot(\vec r-\vec p)=0</math>

<math>\vec n = (a, b, c) </math> , <math>\vec r = (x, y, z) </math> , <math>\vec n\cdot\vec p=-d</math> 라고 하면, 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>ax + by + cz + d = 0</math>
여기서 ''a'', ''b'', ''c''는 동시에 0이 아니다.

다른 방법으로는, 다음과 같은 꼴을 갖는 모든 점의 집합으로서 평면을 결정할 수도 있다.
:<math>\vec{u} + s\vec{v} + t\vec{w}</math>
여기서 ''s'' 와 ''t''는 임의의 실수 값을 취하며, <math>\vec{u}</math>는 [[원점]]에서 그 평면 위의 임의의 점까지 가는 벡터, <math>\vec{v}</math> 와 <math>\vec{w}</math>는 <math>\vec{u}</math>에서 시작하여 평면을 따라 각각 다른 방향으로 뻗어나가는 벡터로 생각할 수 있다. 이때 <math>\vec{v}</math> 와 <math>\vec{w}</math>는 서로 수직일 수도 있지만 꼭 수직이어야만 하는 것은 아니다.

=== 세 점을 지나는 평면 ===
세 점 <math> \vec p_1 = (x_1,y_1,z_1) </math>, <math> \vec p_2 = (x_2,y_2,z_2) </math>, <math> \vec p_3 = (x_3,y_3,z_3) </math> 을 지나는 평면은 다음과 같은 방정식으로 결정된다.

:<math>\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3
\end{vmatrix} = 0. </math>

이 평면을, 위에서 설명한 "점과 법선벡터" 형식으로 고쳐 쓰려면, 법선벡터 <math>\vec n</math>대신 [[벡터곱]] <math>( \vec p_2 - \vec p_1 ) \times ( \vec p_3 - \vec p_1 )</math>
을 사용하고 점 <math>\vec p</math> 대신 <math>\vec p_1</math> (사실 세 점 중 아무것이나 하나)를 사용하면 된다.

=== 점과 평면 사이의 거리 ===
평면 <math>ax + by + cz + d = 0</math> 과 점 <math>\vec p_1 = (x_1,y_1,z_1) </math> 에 대하여 <math>\vec p_1</math>에서 평면까지의 거리는 다음과 같다.
:<math> D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} </math>

=== 두 평면의 교선 ===
서로 만나는 두 평면 <math>\vec n_1\cdot \vec r = h_1</math> 과 <math>\vec n_2\cdot \vec r = h_2</math> 에 대하여, 그 교선은 <math>\vec n_1</math> 과 <math>\vec n_2</math> 에 동시에 수직이며, 따라서 <math>\vec n_1 \times \vec n_2</math> 에 평행이다.

여기에 더하여 <math>\vec n_1</math>과 <math>\vec n_2</math> 가 정규직교(수직이면서 둘 다 길이가 1)하면, 교선 위의 점으로서 원점에 가장 가까운 점은 <math>\vec r_0 = h_1\vec n_1 + h_2\vec n_2</math>이다.

=== 이면각 ===
서로 만나는 두 개의 평면 <math>a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0</math> 과 <math>a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0</math> 에 대하여 그 사이의 '''이면각'''은 그 두 평면의 법선 방향 사이의 각 <math>\alpha</math> 로서 다음을 만족한다.
:<math>\cos\alpha = \frac{\vec n_1\cdot \vec n_2}{|\vec n_1| |\vec n_2|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} </math>

== 다른 수학 분야에서의 평면 ==
보통의 [[스칼라곱]]으로 정의되는 [[등거리사상]]을 [[동형사상]]으로 하여 주어지는 보통의 기하학적 구조 이외에, 추상화의 여러 단계에 따라 평면 또한 여러 가지 방식으로 생각할 수 있다. 추상화의 각 단계는 특정한 [[범주 (수학)|범주]]에 대응한다.

한쪽 극단에는 모든 기하학적 성질과 계량(거리)에 관련된 성질을 제외시킨 [[위상수학|위상평면]]이 있다. 위상평면은 구멍 같은 것이 없는 무한한 고무판과 같은 공간으로, 멀고 가까움은 있지만 거리의 개념은 없으며, 경로라는 개념은 있지만 곧은 선으로서의 직선의 개념은 없다. 위상평면 혹은 그와 동등한 공간인 열린 [[원판]](경계를 포함하지 않는 원의 내부)은 낮은 차원에 대한 위상수학에서 [[곡면]](혹은 2차원 [[다양체]])를 구성할 때 사용되는 기본적인 [[근방]]이다. 위상평면은 [[평면 그래프]]를 다루는 [[그래프 이론]]의 자연스러운 맥락이 되며, [[4색정리|사색 정리]]와 같은 결과 역시 위상평면의 맥락에서 이루어진 것이라고 할 수 있다.

평면은 [[아핀 공간]]으로 생각할 수도 있다. 아핀 공간에 대한 동형사상은 평행이동과 정칙인(특이하지 않은) 선형 변환의 합성이다. 이러한 관점에서 아핀 공간에는 거리는 없으나 한 직선 위에 있다는 개념은 있으며 거리의 비가 보존된다.

[[미분기하]]에서는 평면을 2차원 [[매끄러운 다양체]], 즉 [[매끄러움 구조]]가 주어진 위상평면으로 본다. 이 경우에도 거리 개념은 없으나 곡선이나 곡면(정확히는 사상)의 매끄러움, 예를 들어 (적용되는 [[매끄러움 구조]]의 형태에 따라) [[매끄러운 함수|매끄러운]] 경로의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우 공간의 구조를 결정하는 동형사상은 주어진 횟수만큼 미분가능한 일대일 대응이다.

추상화의 반대쪽 극단으로 가면, 기하학적인 평면에 적당한 체의 구조를 주어(다시 말해 평면 위의 점의 집합과 복소수의 집합을 일대일 대응시켜) [[복소평면]]을 구성할 수 있는데, 복소평면은 [[복소함수론]]이라는 커다란 분야의 기초가 된다. [[복소수]] 체는 단 두 개의 동형사상을 갖는데, 하나는 항등사상이고 다른 하나는 켤레복소수 취하기이다.

실직선의 경우와 마찬가지로 평면은 가장 간단한, 1차원 [[복소다양체]]로서 볼 수 있고 이 경우 복소직선이라 부를 때도 있다. 그러나 이런 관점은 평면을 실수에 대한 2차원 다양체로 보는 것과는 매우 대조적인 것이다. 이 경우 동형사상은 [[공형사상|공형]]인 일대일 대응이지만 결과적으로 가능한 것은 한 복소수를 곱하는 것과 한 복소수를 더하는 것을 합성한 사상들이다.

유클리드 기하(모든 곳에서 [[곡률]]이 영인)가 평면에 주어질 수 있는 유일한 기하학적 구조는 아니다. 예를 들어 [[입체화법적 투영]]을 통해 구면 기하를 줄 수도 있다. 이것은 (마루 바닥에 공을 놓듯이)평면 위에 구를 놓고, 공의 꼭대기의 한 점을 없앤 다음, 이 점에서 광선이 나온다고 생각하고 공의 표면을 바닥에 비추는 것으로 생각할 수 있다. 실제로 지도를 만들 때 이와 비슷한 방법을 쓰기도 한다. 이렇게 하여 얻어진 기하학적 구조는 모든 점에서 일정한 양의 곡률을 갖는다.

또한, 평면이 일정한 음의 곡률을 갖는 [[쌍곡 평면]]이 되도록 계량을 줄 수도 있다. 이런 방법은 [[특수 상대성 이론|특수상대성이론]]에서 시공간을 한 차원의 공간과 한 차원의 시간을 갖는 이차원 공간으로 단순화하여 생각할 때 응용된다.

== 같이 보기 ==
* [[일차 방정식]]

== 외부 링크 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Plane.html Mathworld: Plane]

{{전거 통제}}

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:곡면]]
[[분류:수학 개념]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]