편심이각 문서 원본 보기

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[[궤도역학]]에서 '''편심 이각'''({{llang|en|eccentric anomaly}})은 [[타원 궤도|타원]] [[케플러 궤도]]를 따라 움직이는 물체의 위치를 결정하는 [[궤도 요소]]이다. 편심 이각은 [[진근점 이각]], [[평균 근점 이각]]과 함께 궤도에서의 물체의 위치를 설명하는 각 변수이다.

== 시각적 묘사 ==
[[파일:Eccentric and True Anomaly.svg|섬네일|물체의 위치 ''P''와 편심 이각 ''E''를 나타낸 그림. 타원의 중심은 ''C''로, 타원의 초점은 ''F''로 표시되어 있다.]]

타원을 다음과 같은 방정식으로 생각하자.
:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 </math>
''a''는 궤도 [[긴반지름]]이고, ''b''는 [[짧은반지름]]이다.

타원의 어떠한 점 ''P''&nbsp;=&nbsp;''P''(''x'',&nbsp;''y'')에 대한 편심 이각에 대항하는 각 ''E''가 오른쪽의 그림에 나와 있다. 편심 이각 ''E''는 타원의 중심에 꼭짓점 하나를 찍고 빗변 ''a''(궤도 긴반지름과 같다)를 그은 다음, 긴반지름 빗변과 수직하면서 ''P''에 닿도록 선분을 그어 만들어진 직각삼각형을 통해 관찰할 수 있다. 편심 이각은 진근점 이각과 같은 방향에서 측정되며, 그림에는 ''f''로서 표시되어 있다.

위의 직각삼각형에서 편심 이각 ''E''와 관련된 좌표는 다음과 같이 주어진다.<ref name=Wentworth>{{서적 인용|title=Elements of analytic geometry |author=George Albert Wentworth |page=141 |url=https://books.google.com/books?id=XjEAAAAAYAAJ&pg=PA142&dq |chapter=The ellipse §126 |edition=2nd |publisher=Ginn & Co. |year=1914}}</ref>

:<math>\cos E = \frac{x}{a}</math>

:<math>\sin E = \frac{y}{b}</math>

둘 사이의 관계를 통해 다음과 같은 식이 산출된다.

:<math>{\left( \frac{y}{b}\right)}^2 = 1-{\cos}^2 E={\sin}^2 E</math>

이는 {{nowrap|1=sin ''E'' = ±{{sfrac|''y''|''b''}}}}임을 드러낸다. 이 때 {{nowrap|1=sin ''E'' = −{{sfrac|''y''|''b''}}}}는 타원을 반대 방향으로 돌 경우이므로 가능한 해에서 제외된다.

== 공식 ==

=== 반지름과 편심 이각 ===
[[이심률]] ''e''는 다음과 같이 정의된다.
:<math>e=\sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2 } \ </math>

[[피타고라스의 정리]]에 따라, ''r''(''FP'')을 빗변으로 볼 경우 다음이 성립한다.

:<math>\begin{align} r^2 &= b^2 \sin^2E + (ae-a\cos E)^2 \\
&=a^2(1-e^2)(1-\cos^2 E)+a^2 (e^2 -2e \cos E +\cos^2 E)\\
&=a^2 -2a^2e \cos E +a^2e^2 \cos^2 E \\
&=a^2 (1-e \cos E )^2\\
\end{align} </math>

따라서, 반지름(''P''와 초점 사이의 거리)과 편심 이각의 관계는 다음 공식과 같다.

:<math>r = a \left ( 1 - e \cos{E} \right )</math>

이 결과를 통해, 후술되듯 편심 이각은 진근점 이각으로부터 정의될 수 있다.

=== 진근점 이각으로부터 ===
[[진근점 이각]]은 위의 그림에 ''f''로 표시되어 있는 각도이고, ''θ''로 표기된다. 편심 이각과 진근점 이각은 밑에 보여지는 것과 같은 관계가 있다.<ref name=Tsui>{{서적 인용|title=Fundamentals of global positioning system receivers: a software approach |author=James Bao-yen Tsui |url=https://books.google.com/books?id=jPRCxNDZqDQC&pg=PA48 |page=48 |isbn= 0-471-38154-3 |edition=3rd |year=2000 |publisher=John Wiley & Sons}}</ref>

위에서 유도하였던 ''r''에 대한 방정식을 사용하여, ''E''의 사인과 코사인 값은 ''θ''로 표현될 수 있다.
:<math> \begin{align} \cos E &= \frac{x}{a} = \frac{ae +r \cos \theta}{a} = e+ (1-e \cos E) \cos \theta \ \to \ \cos E = \frac{ e + \cos \theta }{1 + e \cos \theta } \\
\sin E &= \sqrt{1 - \cos^2 E} = \frac{ \sqrt{1 - e^2} \, \sin \theta }{1 + e \cos \theta } \ . \end{align}</math>

따라서,

:<math> \tan E =\frac{\sin E}{\cos E} = \frac{ \sqrt{1-e^2} \sin \theta }{e + \cos \theta} \ </math>

따라서 각도 ''E''는 빗변의 길이가 {{nowrap|1 + ''e'' cos ''θ''}}, 인접변의 길이가 {{nowrap|''e'' + cos ''θ''}}, 그리고 반댓변의 길이가 {{nowrap|{{sqrt|1 − ''e''<sup>2</sup>}} sin ''θ''}}인 직각삼각형의 각도이다.

또한,

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan \frac{E}{2}</math>

위의 ''r''에 대한 방정식처럼 cos&nbsp;''E''를 빼면 반지름을 진근점 이각을 통해서 구할 수 있다.<ref name=Tsui/>

:<math>r = \frac{a \left( 1-e^2\right)}{1+e\cos \theta}</math>

=== 평균 근점 이각으로부터 ===

편심 이각 ''E''는 케플러 방정식에 따라 [[평균 근점 이각]] ''M''과도 관계가 있다.<ref name=Capderou>{{서적 인용|title=Satellites: orbits and missions |author=Michel Capderou |chapter=Definition of the mean anomaly, Eq. 1.68 |page=21 |url=https://books.google.com/books?id=BAihdjtLZXcC&pg=PA21 |isbn=2-287-21317-1 |year=2005 |publisher=Springer}}</ref>

:<math>M = E - e \sin E</math>

이 식은 ''M''에 대한 ''E''의 폐형 해를 가지지 않고, 보통 [[뉴턴 방법]] 등을 통해 푼다.

== 각주 ==
<references/>

;참조
* Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); ''Solar System Dynamics'', Cambridge University Press, Cambridge, GB
* Plummer, Henry C. K. (1960); ''An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy'', Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)

== 같이 보기 ==
* [[타원]]
* [[궤도 이심률]]

{{궤도}}

{{전거 통제}}

[[분류:궤도]]