펠 수 문서 원본 보기

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[[파일:Pell octagons.svg|thumb]]
영국의 수학자 [[존 펠]](John Pell)의 이름에서 명명되는 '''펠 [[수열]]''' 또는 '''펠 시퀸스'''(Pell Sequece)는 [[펠 방정식]] 또는 <math>\sqrt{2}</math>의 근사 값을 구하는 과정에서 출현하는 [[수학 상수]] 펠 수를 분모로 갖는 분수의 순서있는 나열이다.

펠 수열(Pell Sequence)은 [[펠 방정식]]
:<math>x^2 - 2 y^2 = \pm 1</math>

을 만족하는 [[근 (수학)|해]]의 순서있는 나열이다.

따라서, 펠 방정식의 보다 더 큰 [[근 (수학)|해]]의 정보는 <math>\sqrt{2}</math>의 값에 보다 접근하게 된다.
== 펠 수열 생성 수식 ==
펠 수열(Pell sequence)은 펠 방정식의 해들의 순서있는 나열이며 다음과 같다,

펠 방정식 <math>x^2 - 2 y^2 = \pm 1</math>에서 <math>{x \over y}</math>이다.
:<math>\frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \cdots, {577 \over 408}, \cdots, {665857 \over 470832}, \cdots,{886731088897  \over  627013566048} , \cdots</math>

또한
:<math>x_n=\frac{\left(1+\sqrt2\right)^n+\left(1-\sqrt2\right)^n}{2}</math>
:<math>y_n={{\left(1+\sqrt2\right)^n - \left(1-\sqrt2\right)^n}\over{2\sqrt{2}}}</math>


또한
:<math>x_n={{\left(1+\sqrt2\right)^n+\left(1-\sqrt2\right)^n}\over{2}}={{\left(1+\sqrt2\right)^n}\over{2}}+{{\left(1-\sqrt2\right)^n}\over{2}} =\left( {{1+\sqrt2}\over{ 2^{{1}\over{n}} } } \right)^n+ \left( {{1-\sqrt2}\over{{2^{{1}\over{n}}}}} \right)^n</math>
:<math> \left( {{1+\sqrt2}\over{ 2^{{1}\over{n}} } } \right) = \alpha </math>를 예약하면,

:<math>\quad = \alpha^n + (- \alpha)^{- n}=\left( {{1+\sqrt2}\over{ 2^{{1}\over{n}} } } \right)^n+ \left( {{1-\sqrt2}\over{{2^{{1}\over{n}}}}} \right)^n </math>
:<math>\alpha^n + (1-\alpha)^{n}=L_n</math>
이렇게 [[루카스 시퀸스]](루카스 수열)와 연관된다.

== 펠 수 ==
[[펠 수]]는 펠 방정식의 [[근 (수학)|해]] <math>{x \over y}</math>에서, 분모인 <math>{y}</math>이다.
:<math>1,2, 5, {12}, {29},{70}, \dots</math>

== 약한 펠 수열 생성함수 ==
펠 수열은 <math>\sqrt{2}</math>의 근사 값을 구하는 과정에서 빠르게 나타나는 수열이기도 하다.
이것은 근삿값을 구하는 방법인 [[바빌로니아 법]]으로부터 찾아져지는 분수들이다.
따라서 [[바빌로니아 법]] 같은 근삿값을 구하는 함수는 <math>\sqrt{2}</math>에 대해서 펠 수열을 구하는 생성함수가 될 수 있다.

다음은 근삿값을 구하는 [[바빌로니아 법]]
:<math>\sqrt{2}</math> 는
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{a}</math>에서,
:<math>a = 2</math> 이고,
:<math>x_{n+1}=\frac{1}{2}\left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)</math>에 대입하여 ,
위의 과정을 반복해보면,


아래는 위의 방법에 따라 [[2의 제곱근|<math>\color {Blue} \sqrt 2</math>]]의 근삿값을 구한 것으로 펠 수열의 일부가 된다.
:<math>
\begin{align}
x_0 &=&           1 &               \\
x_1 &=&           3 &/            2 \\
x_2 &=&          17 &/           12 \\
x_3 &=&         577 &/          408 \\
x_4 &=&      665857 &/       470832 \\
x_5 &=& 886731088897 &/ 627013566048 \\
\vdots  & & \vdots  &  \\
\end{align}
</math>
따라서

:<math>{1 \over 1} , {3 \over 2} , {17 \over 12},{577 \over 408}, {665857 \over 470832},{886731088897  \over  627013566048} , \cdots</math>

== 같이 보기 ==
* [[백은비]]
* [[펠 방정식]]
* [[디오판토스 방정식]]

== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html 매스월드]
* [http://oeis.org/A000129 OEIS]

{{금속비}}
{{급수}}

[[분류:정수열]]
[[분류:점화식]]