펠 방정식 문서 원본 보기

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[[파일:Pell's equation.svg|섬네일|right|<math>n=2</math>인 경우의 펠 방정식]]
'''펠 방정식'''(Pell方程式, {{llang|en|Pell's equation}})은 [[디오판토스 방정식]]의 하나이다.

== 정의 ==
'''펠 방정식'''은 다음과 같은, <math>x,y</math>에 대한 [[디오판토스 방정식]]이다.
:<math>x^2-ny^2=1\qquad x,y\in\mathbb Z^+</math>
여기서 <math>n\in\mathbb Z^+</math>은 제곱수가 아닌 양의 정수이다. [[대수적 수론]]의 용어를 사용하면, 펠 방정식은 [[이차 수체]] <math>\mathbb Z[\sqrt n]</math>에서 노름이 1인 원소들 <math>x+y\sqrt n</math>을 찾는 문제이다.

== 해법 ==
펠 방정식의 해법은 두 단계로 나뉜다.
# 주어진 ''n''에 대하여, <math>x_1</math>이 최소인 해 <math>(x_1,y_1)</math>을 구한다. 이 해를 '''기본해'''({{llang|en|fundamental solution}})라고 한다.
# 기본해로부터 다른 모든 해들을 계산한다.

=== 기본해의 계산 ===
펠 방정식의 기본해는 다음과 같이 계산할 수 있다. 우선
:<math>\frac xy\left(1-1/2x^2-1/8x^4-1/16x^6-\cdots\right)=\sqrt{x^2-1}/y=\sqrt n</math>
이므로, <math>x/y</math>는 <math>\sqrt n</math>을 근사하는 것을 알 수 있으며, 그 오차는 (<math>x>1</math>이라면)
:<math>0<x/y-\sqrt n=\frac{x-\sqrt{x^2-1}}y<1/y</math>
이다. 따라서, <math>x/y</math>는 <math>\sqrt n</math>의 최적 유리 근사이다. 따라서, 기본해는 <math>\sqrt n</math>의 [[연분수]] 전개를 계산하여, 이를 주어진 차수에서 절단한 유리 근사들을 계산한 뒤, 이들이 펠 방정식을 만족시키는지 시험하여 얻을 수 있다.

=== 추가 해의 계산 ===
펠 방정식의 기본해 <math>(x_1,y_1)</math>이 주어지면, 나머지 해 <math>(x,y)</math>는 모두 다음과 같은 꼴로 주어진다.
:<math>x_k+y_k\sqrt n=(x_1+y_1\sqrt n)^k</math>
즉, 다음과 같은 [[점화식]]에 의하여 주어진다.
:<math>x_{k+1} = x_1 x_k + n y_1 y_k</math>
:<math>y_{k+1} = x_1 y_k + y_1 x_k</math>

== 역사 ==
펠 방정식은 이미 기원전 수 세기전부터, 무리 [[제곱근]]의 유리 근삿값을 구하기 위하여 널리 연구되었다.

=== 인도 수학 ===
기원전 800년 경의 인도 수학자 [[바우다야나]]({{llang|sa|बौधायन}})는 《바우다야나 슐바 수트라》({{llang|sa|बौधायन शुल्ब सूत्र}}) 61절~62절에서 <math>\sqrt2</math>에 대하여 다음과 같은 유리 근삿값을 언급한다.
{{인용문|정사각형의 두 배. 길이를 1/3만큼 증가시키고, 1/4만큼 증가시키고, 1/34만큼 감소시킨다. 이것이 대각선의 길이다.<br />{{lang|sa|समस्य द्विकरणी प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्<br />तच् चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन सविशेषः}}}}
즉, 다음과 같은 근삿값이다.
:<math>\sqrt2\approx1+\frac13+\frac1{3\cdot4}-\frac1{3\cdot4\cdot34}=\frac{17}{12}-\frac1{3\cdot4\cdot34}=\frac{577}{408}</math>
이 근삿값들은 <math>n=2</math> 펠 방정식으로부터 유도된 것으로 추측된다. 즉, <math>n=2</math> 펠 방정식의 해
:<math>(x,y)=(17,12)</math>
:<math>(x,y)=(577,408)</math>
로부터 유도된 것이다.

기원후 7세기의 [[브라마굽타]]는 628년 경 출판된 책 《브라마스푸타시단타》({{llang|sa|ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त}})에서, 오늘날 '''브라마굽타 항등식'''이라고 불리는 공식을 사용하여 펠 방정식의 해에 대한 점화식을 발견하였다. 12세기의 [[바스카라 2세]]({{llang|sa|भास्कराचार्य}}, 1114–1185)는 1150년에 일반적인 ''n''에 대한 펠 방정식의 일반해를 유도하였고, 이를 사용하여 <math>n=61</math>인 경우의 해
:<math>x=1766319049,y=226153980</math>
를 제시하였다.

=== 그리스와 아랍 수학 ===
기원전 3세기에, [[아르키메데스]]는 <math>n=3</math> 펠 방정식을 사용하여 3의 제곱근에 대한 다음과 같은 유리 근삿값을 얻었다.
:<math>\sqrt3\approx\frac{1351}{780}</math>

기원후 205년 경에 [[디오판토스]]는 다음과 같은 [[디오판토스 방정식]]을 고려하였다.
:<math> a^2 x^2+c=y^2</math>
그는 이 방정식을 <math> a=1, c=-1, 1, 12 </math>일 때와, <math> a=3, c= 3 </math>일 때에 대하여 풀었다.
기원후 10세기 [[페르시아]]의 수학자 알카라지({{llang|fa|ابوبکر کرجی}})는 디오판토스의 기법을 바탕으로 하여 펠 방정식에 대한 연구를 계속하였다.

=== 유럽 수학 ===
유럽 수학에서 펠 방정식의 일반해는 17세기 영국의 [[윌리엄 브롱커]]가 최초로 발견하였다. 브롱커의 해법이 옳고, 이 해법으로 모든 해를 구할 수 있다는 것은 [[조제프루이 라그랑주]]가 1766년~1769년 동안 증명하였고, 펠 방정식이 항상 무한히 많은 해를 가진다는 것을 증명하였다.

"펠 방정식"이라는 이름은 영국의 수학자 [[존 펠]]({{llang|en|John Pell}}, 1611 – 1685)의 이름을 딴 것이다. 펠은 펠 방정식과 별다른 관계가 없으나, [[레온하르트 오일러]]가 1759년에 펠과 브롱커의 이름을 혼동하여 잘못 이름붙였다.<ref>{{저널 인용|제목=De vsv novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo|언어=la|이름=Leonhard|성=Euler|저자링크=레온하르트 오일러|저널=Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae|권=11|날짜=1767|쪽=29–66|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E323.html}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Solving the Pell Equation|이름=H. W., Jr.|성=Lenstra|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=49|호=2|쪽=182–192|날짜=2002-02|언어=en|zbl=1126.11312|url=http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf}}
* {{서적 인용 | zbl=1043.11027 | last=Williams | first=H. C. | 장=Solving the Pell equation | 쪽=325–363 | editor1-last=Bennett | editor1-first=M. A. | editor2-last=Berndt | editor2-first=B.C. | editor2-link=Bruce C. Berndt | editor3-last=Boston | editor3-first=N. | editor3-link=Nigel Boston | editor4-last=Diamond | editor4-first=H.G. | editor5-last=Hildebrand | editor5-first=A.J. | editor6-last=Philipp | editor6-first=W. | title=Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory | location=Natick, MA | publisher=A K Peters | 날짜=2002 | isbn=1-56881-162-4 |언어=en}}
* {{서적 인용|제목=ENV 정수론|저자=황석근|출판사=교우미디어|총서=교우 시리즈|권=2|날짜=2012-02-25|isbn=978-89-968148-6-3|url=http://kyowoo.co.kr/bbs/bbs/board.php?bo_table=internal_book&wr_id=1559|언어=ko|확인날짜=2014-04-13|보존url=https://web.archive.org/web/20140413150109/http://kyowoo.co.kr/bbs/bbs/board.php?bo_table=internal_book&wr_id=1559#|보존날짜=2014-04-13|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=정수론|저자=오정환|공저자=이준복|출판사=교우사|날짜=2009|isbn=89-8172-105-X|url=http://kyowoo.co.kr/bbs/bbs/board.php?bo_table=internal_book&wr_id=975|언어=ko|확인날짜=2014-04-13|보존url=https://web.archive.org/web/20140413150618/http://kyowoo.co.kr/bbs/bbs/board.php?bo_table=internal_book&wr_id=975#|보존날짜=2014-04-13|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pell equation}}
* {{매스월드|id=PellEquation|title=Pell equation}}
* {{수학노트|title=펠 방정식(Pell's equation)}}

{{전거 통제}}

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[[분류:연분수]]