펜로즈 그림 문서 원본 보기

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[[일반 상대성 이론]]에서 '''펜로즈 그림'''({{llang|en|Penrose diagram}})은 [[시공간]]의 인과적 구조를 나타내는 도표이다. 시공간을 [[바일 변환]]을 통해 유한한 크기로 나타낸다. [[바일 변환]]에 의하여 길이를 왜곡하지만, 인과적 구조(각도)는 왜곡하지 않는다.

== 펜로즈 그림의 예 ==
=== 민코프스키 공간 ===
[[파일:Penrose.PNG|오른쪽|섬네일|민코프스키 공간의 펜로즈 그림]]
<math>d+1</math> 차원 [[민코프스키 공간]]
:<math>ds^2=-dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2_{d-1}</math>
을 다음과 같은 좌표로 적자.
:<math>\tan(u+v)=r+t</math>
:<math>\tan(u-v)=r-t</math>
:<math>0\le u</math>
:<math>-\pi/2+u<v<\pi/2-u</math>
즉, <math>(u,v)</math>는 긴 변의 길이가 <math>\pi</math>인 [[직삼각형]] 구역 속에 속한다. 그렇다면 민코프스키 계량은 다음과 같다.
:<math>\cos^2(u+v)\cos^2(u-v)ds^2=-dv^2+du^2
+\frac14\sin^2(2u)d\Omega^2_{d-1}</math>
즉, 계량에 <math>\cos^2(u+v)\cos^2(u-v)</math>를 곱하는 [[바일 변환]]을 가하면, 민코프스키 공간은 직삼각형 공간으로 콤팩트화해진다. 직삼각형의 각 점 <math>(u,v)</math>은 반지름이 <math>\sin(2u)/2</math>인 [[초구]]가 붙어 있다.

특히, <math>d+1=2</math>인 경우, 0차원 초구는 두 개의 점을 가지므로, 직삼각형을 펼쳐, 펜로즈 그림은 정사각 마름모꼴이 된다.

민코프스키 공간의 등각 무한대는 <math>u+|v|=\pi/2</math>인 점들이며, 두 초구뿔을 붙여 놓은 모양이다. 이는 다음과 같이 분류된다.
* 공간 무한대: <math>(u,v)=(\pi/2,0)</math>에 붙어 있는 <math>d-1</math>차원 초구
* 미래 무한대: <math>(u,v)=(0,\pi/2)</math>에 붙어 있는 점
* 과거 무한대: <math>(u,v)=(0,\pi/2)</math>에 붙어 있는 점
* 미래 영벡터 무한대: <math>\{(u,v)|u+v=\pi/2\}</math>에 붙어 있는 점들. 이는 밑이 초구 <math>S^{d-1}</math>인 초구뿔 모양이다.
* 과거 영벡터 무한대: <math>\{(u,v)|u-v=\pi/2\}</math>에 붙어 있는 점들. 이는 밑이 초구 <math>S^{d-1}</math>인 초구뿔 모양이다.

=== 더 시터르 공간 ===
[[파일:DeSitter-conformal.svg|오른쪽|섬네일|더 시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.]]
[[더 시터르 공간]]의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더 시터르 공간의 경우 위상학적으로 <math>S^3\times\mathbb R</math>이므로, 펜로즈 그림에서는 오른쪽 변과 왼쪽 변이 실제 공간에서 각각 하나의 점을 나타내게 된다. (그러나 무한한 미래와 과거를 나타내는 윗변과 아랫변은 그렇지 않다.)

=== 반 더 시터르 공간 ===
<math>d+1</math>차원 [[반 더 시터르 공간]]의 펜로즈 그림은 더 시터르 공간의 펜로즈 그림과 유사하지만, 윗변·아랫변이 한 점만을 포함하며 오른·왼변의 각 점은 초구 <math>S^{d-1}</math>를 나타낸다. 즉, 그 등각 경계는 <math>S^{d-1}\times\mathbb R</math>이며, 이는 원점을 제거한 [[민코프스키 공간]] <math>\mathbb R^d\setminus\{0\}</math>과 [[바일 변환]]으로 동치이다.
* 공간 무한대: <math>S^{d-1}\times\mathbb R</math>
* 미래 무한대: 하나의 점
* 과거 무한대: 하나의 점

=== 블랙홀 ===
[[파일:Penrose diagram Kerr black hole.png|오른쪽|섬네일|[[커 블랙홀]]의 펜로즈 그림]]
[[파일:Black hole Penrose.png|오른쪽|섬네일|점근적으로 민코프스키인 실재 블랙홀의 펜로즈 그림. 내부의 검은 대각선은 블랙홀의 [[사건 지평선]]이다. 블랙홀은 유한한 시간에서 [[호킹 복사]]를 통해 증발하여 없어진다 (붉은 물결선).]]
[[슈바르츠실트 계량]]이나 [[커 계량]]의 펜로즈 그림은 매우 복잡한 형상을 보인다. 이 경우, 블랙홀 밖의 실제 우주의 등각 무한대 말고도 블랙홀 내부의 반대편에 존재하는 [[화이트홀]] 등의 등각 확장이 존재한다.

실재하는 (즉, 어떤 유한한 과거에서 생성된) 블랙홀은 이러한 복잡한 구조를 갖지 않는다.

== 역사 ==
브랜든 카터({{lang|en|Brandon Carter}})<ref>{{저널 인용|이름=Brandon|성=Carter|연도=1966|제목=Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr's Solution of Einstein's Equations|저널=Physical Review|권=141|호=4|쪽=1242–1247|doi=10.1103/PhysRev.141.1242|언어=en}}</ref>와 [[로저 펜로즈]]<ref>{{서적 인용|이름=Roger|성=Penrose|저자링크=로저 펜로즈|장=Conformal treatment of infinity|연도=1964|쪽=563–584|제목=Relativity, Groups, and
Topology (Les Houches 1963)|출판사=Gordon and Breach|언어=en}} 재출판 {{저널 인용|제목=
Republication of: Conformal treatment of infinity|url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2011-03_43_3/page/n210
|이름=Roger|성=Penrose|저자링크=로저 펜로즈|저널=General Relativity and Gravitation|날짜=2011-03|권=43|호=3|쪽=901–922|doi=10.1007/s10714-010-1110-5|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Editorial note to: Roger Penrose, Conformal treatment of infinity|이름=Helmut|성=Friedrich |저널=General Relativity and Gravitation|날짜=2011-03|권=43|호=3|쪽=897–900|doi=10.1007/s10714-010-1109-y|언어=en}}</ref> 가 1960년대에 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Conformal infinity|이름=Jörg|성=Frauendiener|저널=Living Reviews in Relativity|doi=10.12942/lrr-2004-1|권=7|날짜=2004|쪽=1|issn=1433-8351|언어=en}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[인과관계]]
* [[인과 구조]]
* [[바일 변환]]

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Penrose diagram follies|이름=Jacques|성=Distler|url=http://golem.ph.utexas.edu/~distler/blog/archives/001994.html|웹사이트=Musings: Thoughts on Science, Computing, and Life on Earth|날짜=2009-06-17|언어=en}}

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:다이어그램]]
[[분류:로런츠 다양체]]