페리 수열 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''페리 수열'''({{llang|en|Farey sequence}})은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 ''n'' 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 [[수열]]을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.
* <math>F_n</math>: <math> 0 \le h \le k \le n</math>이고 <math>\gcd(h,k)=1 </math>을 만족하는 <math>\frac{h}{k}</math>를 오름차순으로 나열한 수열
한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.

== 성질 ==
=== 수열의 길이 ===
n번째 페리 수열 <math>F_n</math>의 정의에 따라 <math>F_n</math>의 길이와 <math>F_{n+1}</math> 의 길이의 차이는, n+1보다 작으면서 동시에 n+1과 서로소인 자연수의 개수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 [[점화식]]은 [[오일러 피 함수]]를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
* <math>|F_{n+1}| = |F_n| + \varphi(n+1)</math>

즉, <math>|F_n|</math>은 계차가 <math>\varphi(n)</math>인 [[계차수열]]이고 <math>|F_1|=2</math>이기 때문에, [[시그마]] 기호를 사용하여 <math>|F_n|</math>의 일반항을 나타내면
* <math>|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m)</math>

=== 이웃한 항 ===
페리 수열 <math>F_n</math>의 연속된 두 항을 각각 순서대로 <math>h_1/k_1, h_2/k_2</math> 라고 하면,
:<math> k_1h_2-k_2h_1=1</math>

따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다.
:<math>\frac{h_2}{k_2}-\frac{h_1}{k_1}=\frac{k_1h_2-k_2h_1}{k_1k_2}=\frac{1}{k_1k_2}</math>

연속된 세 항을 차례대로 <math>h_1/k_1, h_2/k_2, h_3/k_3</math> 라고 할 경우,
:<math>\frac{h_2}{k_2}=\frac{h_1+h_3}{k_1+k_3}</math>

이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.

<math>h_1/k_1, h_2/k_2, h_3/k_3</math>가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 <math>h_1/k_1, h_2/k_2</math>와 <math>h_2/k_2, h_3/k_3</math>는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로

:<math> k_1h_2-k_2h_1=1 </math> ... (1)
:<math> k_2h_3-k_3h_2=1 </math> ... (2)

(1)<math>\times h_3</math><math>+</math>(2)<math>\times h_1</math>와 (1)<math>\times k_3</math><math>+</math>(2)<math>\times k_1</math>를 각각 계산하여 정리하면

:<math>h_1+h_3=h_2(k_1h_3-h_1k_3)</math>

:<math>k_1+k_3=k_2(k_1h_3-h_1k_3)</math>

따라서,

:<math>\frac{h_1+h_3}{k_1+k_3}=\frac{h_2(k_1h_3-h_1k_3)}{k_2(k_1h_3-h_1k_3)}=\frac{h_2}{k_2}</math>

물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다.<ref>{{서적 인용
  | 성 = Hardy
  | 이름=G. H. | 저자링크=고드프리 해럴드 하디|공저자= E. M. Wright
  | 제목 = An Introduction to the Theory of Numbers
  | 판=6판
  | 출판사 = Oxford University Press
  | 날짜 = 2008
  | isbn = 0-19-853171-0
}}</ref>

한편, 페리 수열의 인접한 두 항 <math>h_1/k_1, h_2/k_2</math>의 중앙값

:<math>\frac{h_1+h_2}{k_1+k_2}</math>

의 분모 <math>k_1+k_2</math>는 항상 <math>n</math>보다 크다.
:<math>k_1+k_2 > n</math>

또한 인접한 두 항의 중앙값은 <math>k_1+k_2</math>번 째 페리 수열 <math>F_{k_1+k_2}</math>에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간
: <math>\left( \frac{h_1}{k_1} , \frac{h_2}{k_2} \right)</math>

사이에 존재하게 된다.

== 표 ==
''n''=1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다.
:''F''<sub>1</sub> = {0/1, 1/1}
:''F''<sub>2</sub> = {0/1, 1/2, 1/1}
:''F''<sub>3</sub> = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
:''F''<sub>4</sub> = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}
:''F''<sub>5</sub> = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
:''F''<sub>6</sub> = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}
:''F''<sub>7</sub> = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}
:''F''<sub>8</sub> = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

== 역사 ==
1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로({{llang|en|Charles Haros}})가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세({{llang|en|John Farey, Sr.}})가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 [[오귀스탱 루이 코시]]가 증명하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[하디-리틀우드 원 방법]]
{{전거 통제}}

[[분류:수론]]