페르미-디랙 통계 문서 원본 보기

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[[통계역학]]에서 '''페르미-디랙 통계'''({{lang|en|Fermi–Dirac statistics}})는 열적 평형 상태에서 [[페르미 입자]]들이 보이는 통계적 분포다.

== 개념 ==
페르미 입자들은 [[동일 입자|구별 불가능한]] 입자이며 [[파울리 배타 원리]]를 따른다. 즉, 두개 이상의 입자가 같은 양자 상태에 동시에 존재하지 않는다. 양자역학적으로, 이러한 배타 원리는 입자의 교환 연산자 아래 계의 [[파동 함수]]가 −1의 [[고윳값]]을 갖는 것을 의미한다. 서로 상호작용하지 않는 페르미 입자로 이루어진 계를 [[페르미 기체]]라고 한다.

[[파울리 배타 원리]]에 의하여, 페르미 기체의 통계적 분포는 [[맥스웰-볼츠만 분포]]를 따르는 고전적 [[이상 기체]]에 대하여 차이를 보인다. 이러한 페르미 기체의 통계를 '''페르미-디랙 통계'''라 한다.

== 역사 ==
페르미-디랙 통계는 1926년에 [[엔리코 페르미]]와 [[폴 디랙]]에 의해 소개되었고, 1926년에 [[랄프 파울러]]에 의해 백색왜성으로의 별의 붕괴에 적용되었으며, 1926년에는 [[아르놀트 조머펠트]]에 의해 금속의 전자에도 적용되었다. [[파스쿠알 요르단]]은 1925년에 "파울리 통계"라 불렀던 같은 통계를 만들었다. 문제는 심사위원인 [[막스 보른]]이 그의 논문을 다시 찾기 전까지 여섯 달이나 잊고 있었다는 것이다. 그 사이에 엔리코 페르미와 폴 디랙이 자체적으로 만들어냈다.

== 정의 ==
페르미 기체의 [[큰 바른틀 앙상블|큰]] [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 다음과 같다.
:<math>Z _G ^{FD} = \prod _{k=1} ^\infty (1 + ze ^{-\beta \epsilon_k})</math> (<math>z =\exp(\beta\mu)</math>.
이는 다음과 같이 유도할 수 있다.
:<math>Z_{G} ^{FD} = \sum _{n_1 , n_2 , \cdots = 0} ^1 e^{-\beta (\epsilon_1 - \mu) ^{n_1}} e^{-\beta (\epsilon_2 - \mu) ^{n_2}} \cdots</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^1 e ^{-\beta (\epsilon_k - \mu) ^{n_k}}</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^1 (z e ^{-\beta\epsilon_k}) ^{n_k}</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty (1 + z e ^{-\beta \epsilon_k})
</math>

이에 따라, 상태 <math>i</math>에 놓여 있는 입자의 점유수는 다음과 같다.
:<math> n_i = \frac{g_i}{e^{\epsilon_i-\mu \over k T} + 1} </math>

:* <math>n_i</math>: 상태 <math>i</math>에 놓인 입자의 점유수
:* <math>g_i</math>: 상태 <math>i</math>에서의 [[겹침]]
:* <math>\scriptstyle \epsilon_i</math>: 상태 <math>i</math>에서의 에너지
:* <math>\scriptstyle \mu</math>: [[화학 퍼텐셜]](때때로 [[페르미 에너지]]라 불리며, <math>E_F</math>로 표시한다)
:* <math>k</math>: [[볼츠만 상수]]
:* <math>T</math>: [[절대온도]]

이 경우에 <math>\scriptstyle \mu</math>가 [[페르미 에너지]] <math>E_F</math>이고 <math>\scriptstyle g_i = 1</math>이면,
:<math>F(E) = \frac 1 {1 + e^{{E-E_F} \over kT}} = \left(1 + e^{{E-E_F} \over kT}\right)^{-1}</math>가 된다.
위의 수식을 '''페르미 함수'''라 부른다.

== 같이 보기 ==
* [[맥스웰-볼츠만 통계]]
* [[보즈-아인슈타인 통계]]

{{전거 통제}}

[[분류:통계역학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:물리학 개념]]