페르마 수 문서 원본 보기

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'''페르마 수'''({{llang|en|Fermat Number}})는 음이 아닌 [[정수]] ''n''에 대해
:<math>F_n = 2^{2^n}+1</math>
형태로 나타나는 [[자연수|양의 정수]]를 말한다. 이러한 형태의 수를 최초로 연구한 [[피에르 드 페르마]]의 이름을 딴 것이다.

최초 여덟개의 페르마 수는 다음과 같다{{OEIS|A000215}}:

:''F''<sub>0</sub> = 2<sup>1</sup> + 1 = [[3]]
:''F''<sub>1</sub> = 2<sup>2</sup> + 1 = [[5]]
:''F''<sub>2</sub> = 2<sup>4</sup> + 1 = [[17]]
:''F''<sub>3</sub> = 2<sup>8</sup> + 1 = [[257]]
:''F''<sub>4</sub> = 2<sup>16</sup> + 1 = [[65537]]
:''F''<sub>5</sub> = 2<sup>32</sup> + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 ([[레온하르트 오일러|오일러]], 1732)
:''F''<sub>6</sub> = 2<sup>64</sup> + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
:''F''<sub>7</sub> = 2<sup>128</sup> + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

* 1. n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면, <math>p\equiv1\pmod{8}</math>이다.
* 2. 페르마 수들은 3과 5를 제외하면 모두 7로 끝난다.
* 3. 1번과 마찬가지로 n>1인 경우, 어떤 페르마 수의 약수를 p라고 하면 <math>p=k\cdot2^{n+2}+1</math> (k는 k>0인 정수)이다.

== 소수성 ==
2<sup>''n''</sup> + 1 꼴의 수가 [[소수 (수론)|소수]]라면 ''n''은 반드시 [[2의 거듭제곱]]이어야 한다. 따라서 2<sup>''n''</sup> + 1 꼴의 소수는 모두 페르마 수가 된다. 이러한 소수를 '''페르마 소수'''라고 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 ''F''<sub>0</sub>,...,''F''<sub>4</sub> 뿐이다. 보통 어떤 수가 페르마 소수인지 확인할 때에는 [[페팽 소수판별법]]이 많이 쓰인다.

''n'' > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다. 그밖에도 다음과 같은 의문은 해결되지 않고 있다.
* ''n'' > 4인 ''F<sub>n</sub>''이 모두 [[합성수]]인가?
* 페르마 소수가 무한히 많은가?
* 합성수인 페르마 수가 무한히 많은가?

5 ≤ ''n'' ≤ 32 사이의 모든 ''F''<sub>n</sub>은 합성수라는 것이 밝혀졌다. 이 중 5 ≤ ''n'' ≤ 11 사이의 수만이 [[완전한 소인수분해]]가 구해져 있다.

=== 소수성 상태 ===

페르마 수 F<sub>n</sub> 에 대하여 현재의 소수성 상태의 적요가 아래 표에 주어져 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.prothsearch.com/fermat.html|제목=페르마 수의 소인수|보존url=https://web.archive.org/web/20160210152415/http://www.prothsearch.net/fermat.html|보존날짜=2016년 2월 10일|확인날짜=2010년 2월 21일}}</ref>

{| class="wikitable"
|-
! F<sub>n</sub>의 특성
! n
|-
| 소수
| 0, 1, 2, 3, 4
|-
| 완전히 소인수분해 됨
| 5, 6, 7, 8 (각각 2개의 소인수), 9 (소인수 3개), 10 (소인수 4개), 11 (소인수 5개)
|-
| 6개의 소인수가 알려짐
| 12
|-
| 4개의 소인수가 알려짐
| 13
|-
| 3개의 소인수가 알려짐
| 15, 19, 25, 52, 287
|-
| 2개의 소인수가 알려짐
| 16, 17, 18, 27, 30, 36, 38, 39, 42, 77, 147, 150, 251, 284, 416, 417
|-
| 오직 1개의 소인수가 알려짐
| 14, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 37, 40, ...(285개)... 18233954
|-
| 합성수임은 확인되었으나 소인수를 모름
| 20, 24
|-
| 소수인지 합성수인지 모름
| 33, 34, 35, 41, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ...
|}
2025년 현재 328개의 페르마 수가 합성수라는 것이 밝혀졌고 373개의 소인수가 밝혀졌다.

== 역사 ==
[[피에르 드 페르마]]는 [[1637년]] 위 형태로 쓸 수 있는 모든 정수는 소수일 것이라고 추측했으나 [[1732년]] [[레온하르트 오일러]]가 ''F''<sub>5</sub>=4,294,967,297를 641 × 6,700,417 로 소인수분해 함으로써 반증<ref>그러므로 이 수는 페르마 수이지만 [[소수 (수론)|소수]]가 아닌 수 중에서 가장 작은 수이다.</ref> 되었다.

== 작도 가능한 다각형과의 관계 ==
한편, ''n''이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱들로 표현가능하다는 것과, 정''n''각형은 작도 가능하다는 것이 필요충분조건이다. 즉, 다시 말해서 <math>p_1, p_2, \cdots , p_k</math>가 모두 서로 다른 페르마 소수일 경우 <math>n = 2^m p_1 p_2 \cdots p_k</math>이면 정''n''각형은 작도 가능한 정다각형이 되고 그 역도 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[메르센 소수]]
* [[작도]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{소수}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론]]
[[분류:정수열]]
[[분류:소수]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:작도가능한 다각형]]
[[분류:수론의 미해결 문제]]