페르마의 마지막 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|섬네일|300px|[[1670년]] 출간된 [[피에르 드 페르마]]의 주석이 달린 [[디오판토스]]의 《[[산술]]》(Arithmetica) 제2권 8번 문제({{llang|la|Qvæstio VIII}}) 밑에 페르마의 마지막 정리가 들어있는 주석({{llang|en|Observatio domini Petri di Fermat}})이 수록되어 있다.]]

'''페르마의 마지막 정리'''({{llang|en|Fermat’s last theorem}})란, [[정수론]]에서 <math>n</math>이 3 이상의 [[정수]]일 때, <math>a^n+b^n=c^n</math>을 만족하는 양의 정수 <math>a, b, c</math>가 존재하지 않는다는 정리이다.

이 정리는 1637년 [[프랑스]]의 유명한 [[수학자]]였던 [[피에르 드 페르마]]가 처음으로 추측하였다. 수많은 수학자들이 이를 증명하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. 페르마가 자신의 추측을 기록한지 358년이 지난 1995년에 이르러서야 [[영국]]의 저명한 수학자인 [[앤드루 와일스]]가 이를 증명하였다. 이 방법이 페르마가 살던 시기에는 발견되지 않은 데다가 매우 복잡하기 때문에 수학자들은 페르마가 다른 방법으로 증명했거나 증명에 실패했다고 추측한다.

이 정리를 증명하기 위한 수학자들의 각고의 노력 덕분에 19세기 [[대수적 수론]]이 발전했고 20세기에 [[모듈러성 정리]]가 증명되었다. 앤드루 와일스의 증명은 [[기네스 세계 기록|기네스북]]에서 가장 어려운 수학 문제로 등재되었다.

이 문제는 [[고대 그리스]]의 저명한 수학자인 [[피타고라스]]가 증명한 [[피타고라스 정리]]가 [[세제곱]] 이상에서도 성립할까라는 질문에서 시작되었다고 한다

== 역사 ==
[[파일:Pierre de Fermat.jpg|섬네일|왼쪽|피에르  드  페르마]]

1637년 [[피에르 드 페르마]]는 1621년 출간된 [[디오판토스]]의 《산법》(Arithmetica)의 여백에 다음과 같이 주석을 달았다.
{{인용문2| 임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없고, 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없으며, 일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.<br>{{lang|la|Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.}}|<ref>Work by Diophantus (died in about 280 B.C.), with additions by Pierre de Fermat (died in 1665). This edition of the book was published in 1670. p. 61 contains Diophantus' problem II.VIII, with the famous note added by Fermat which became known as Fermat's last theorem.</ref> <br /> }}

페르마는 <math>a^n + b^n = c^n</math> 식에서 <math>n</math>이 3 이상인 모든 정수 <math>n</math> 에 대한 증명을 남기지는 않았지만, <math>n=4</math>인 경우에 대해서는 자세한 증명을 남겼다. 이 증명에 [[지수]]의 법칙을 적용하면, 결국 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 모든 정수 n에 대하여 살필 필요 없이 [[소수 (수론)|소수]]의 경우만 증명하면 된다. 페르마가 추론을 적은 1637년부터 2세기 동안 <math>n</math> 이 3, 5, 7 인 경우가 증명되었고 1839년 [[소피 제르맹]]이 100 이하의 소수에 대해 증명하였다. 19세기 중반 [[에른스트 쿠머]]는 [[정규 소수]] 전체에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하였다. 이후 쿠머의 작업을 기반으로 컴퓨터를 사용한 정교한 연구를 통해 4백만 이하의 모든 정수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것이 증명되었다.

1984년 [[게르하르트 프라이]](Gerhard Frey)는 당시 다니야마-시무라 추론으로 알려진 [[타원 곡선]]에 대한 [[모듈러성 정리]]가 참일 경우 모든 정수 <math>n</math> 에 대하여 페르마의 마지막 정리 역시 성립된다는 것을 보였다. 1986년 [[케네스 앨런 리벳]]은 프라이의 추론 가운데 일부를 증명하였고, 1995년 [[앤드루 와일스]]는 리벳의 작업을 바탕으로 [[리처드 로런스 테일러]]의 도움을 받아 모듈러성 정리가 참이라는 것과 따라서 페르마의 마지막 정리 역시 성립한다는 것을 증명하였다. 와일스의 증명은 널리 알려졌으며 여러 책과 텔레비전 프로그램에서 소개되었다.

== 수학적 배경 ==
페르마의 마지막 정리는 [[피타고라스 수]]의 관계식 <math>a^2+b^2=c^2</math>을 일반식 <math>a^n+b^n=c^n</math>으로 확장시켰을 경우, 정수인 지수 <math>n</math>에 대해 <math>n</math>이 3 이상일 때 정수 해가 없다는 것을 뜻한다. 여기에는 피타고라스 수 외에도 [[디오판토스 방정식]]과 같은 수학적 배경이 자리하고 있다.

=== 피타고라스 수 ===
{{본문|피타고라스 수}}
[[파일:Pythagorean.svg|섬네일|200px|<math>a^2+b^2=c^2</math><br />위 식을 만족하는 세 수는 [[직각삼각형]]의 세 변이 된다. ]]

피타고라스 수는 다음의 [[등식]]을 만족하는 세 정수로 된 [[튜플]] <math>(a, b, c)</math>이다.

:<math>a^2 + b^2 = c^2.\ </math>

이 등식은 페르마의 방정식에서 <math>n=2</math> 인 경우에 해당한다.<ref>Stark, pp. 151–155.</ref>

피타고라스 수에 대한 간단한 예로는 (3, 4, 5) 와 (5, 12, 13) 이 있다. 피타고라스 수를 이루는 세 정수로 된 튜플은 무한히 많다.<ref name="Stillwell_2003">{{서적 인용| author = John Stillwell | year = 2003 | title = Elements of Number Theory  | url = http://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA110 | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 0-387-95587-9 | pages = 110–112}}</ref> 여러 문화에서 튜플을 이루는 정수가 존재하는 지에 대한 문제이다.

=== 디오판토스 방정식 ===
{{본문|디오판토스 방정식}}
[[파일:Diophantus-cover.jpg|섬네일|왼쪽|1621년 출간된 [[디오판토스]]의 《산법》(Arithmetica) 표지]]

페르마의 방정식 <math>x^n+y^n=z^n</math>은 [[디오판토스 방정식]]의 특수한 예이다.<ref>Stark, pp. 145–146.</ref>

[[디오판토스 방정식]]은 [[정수]]로 된 [[근 (수학)|해]]만을 허용하는 부정 다항 방정식이다. 디오판토스 문제는 [[미지수]]인 변수와 그 변수의 수 보다 적은 방정식을 제시하고, 주어진 모든 방정식을 만족하는 정수 해들을 찾도록 한다.<ref>Stark, p. 4–5.</ref> 방정식의 이름은 풀이 방법을 서술한 3세기에 살았던 [[알렉산드리아]]의 수학자 [[디오판토스]]의 이름에서 유래하였다.

디오판토스 방정식의 예로 아래의 방정식을 들 수 있다.

:<math>x + y = 4 </math>
:<math>x^2 + y^2 = 10 </math>

위 두 방정식을 모두 만족하는 정수 ''x'' 와 ''y''를 구하는 것이 디오판토스 문제이다.<ref group="주해">이 문제의 경우 답은 1 과 3 이 된다.</ref>

디오판토스의 주요 저작 가운데 전해진 것으로는 《산법》(Arithmetica)이 유일하다.<ref>Singh, pp. 50–51.</ref> 페르마는 《산법》을 읽다가 마지막 정리에 대해 착상하였다.<ref>Stark, p. 145.</ref> 페르마가 읽은 《산법》은 1621년 클라우드 가스파르 바세 드 메지리아가 새롭게 편찬한 것이었다.<ref>Aczel, pp. 44–45; Singh, pp. 56–58.</ref>

디오판토스 방정식은 수천년에 걸쳐 연구되어온 주제이다. 예를 들어 [[피타고라스 수]]를 찾는 방정식 <math>x^2+y^2=z^2</math> 은 기원전 1800년 무렵 바빌로니아에서도 연구된 바 있다.<ref>Aczel, pp. 14–15.</ref> 1차 방정식으로 된 디오판토스 방정식, 예를 들어 <math>26x+65y=13</math> 과 같은 것의 해는 기원전 5세기 무렵 만들어진 [[유클리드 호제법]]을 이용하여 구할 수 있다.<ref>Stark, pp. 44–47.</ref>

== 특정 지수에 대한 증명 ==
페르마 자신이 이 정리에 대하여 증명한 것 가운데 오늘날까지 전해오는 것은 <math>n=4</math>인 경우 단 한 가지뿐이다. 페르마는 [[무한강하법]]을 이용하여 직각 삼각형의 두 변을 이루는 정수로 된 네제곱 수가 존재할 수 없다는 것을 증명하였다.<ref>{{웹 인용| author = Freeman L | title = Fermat's One Proof | url = http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-one-proof.html | accessdate = 23 May 2009}}</ref> 페르마의 증명은 다음의 방정식에 대한 정수해가 없다는 것을 뜻한다.

:<math>x^4 - y^4 = z^2</math>

위의 증명은 페르마의 마지막 정리에서 n = 4 인 경우인 <math>a^4 + b^4 = c^4</math> 와 같은 형태인 <math>c^4 - b^4 = (a^2)^2</math> 로 바꾸어 쓸 수 있다. 페르마는 이 방정식에서 a, b, c 의 [[절댓값]]을 아무리 작은 수로 잡아도 그 보다 더 작은 수로 나타낼 수 있다는 점을 증명하였다. 그런데, 정수의 절댓값이 무한히 작아지는 것은 불가능하므로 결국 정수해가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다.<ref>{{저널 인용|성=Grant|이름=Mike|공저자=Malcolm Perella|제목=Descending to the irrational|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1999-07_83_497/page/n72|저널=Mathematical Gazette|권=83|날짜=1999-07|쪽=263-267}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Barbara|이름=Roy|제목=Fermat's last theorem in the case n=4|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-07_91_521/page/n69|저널=Mathematical Gazette|권=91|날짜=2007-07|쪽=260-262}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Dolan|이름=Stan|제목=Fermat's method of ''descente infinie''|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2011-07_95_533/page/n94|저널=Mathematical Gazette|권=95|날짜=2011-07|쪽=269-271}}</ref>

=== 소피 제르맹 ===
{{참고|소피 제르맹}}
[[파일:Germain.jpeg|섬네일|100px|소피 제르맹]]

19세기 초, [[소피 제르맹]]은 페르마의 마지막 정리를 모든 지수에 대해 적용하는 단초로써 몇 가지 특별한 접근법을 개발하였다.<ref name="Laubenbacher_2007">{{웹 인용 | author = Laubenbacher R, Pengelley D | year = 2007 | title = Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem | url = http://www.math.nmsu.edu/%7Edavidp/germain.pdf | accessdate = 19 May 2009 | 보존url = https://web.archive.org/web/20130405163013/http://www.math.nmsu.edu/%7Edavidp/germain.pdf# | 보존날짜 = 2013-04-05 | url-status = dead }}</ref> 우선, 제르맹은 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대하여 3의 배수가 아닌 임의의 정수 <math>h</math>를 사용하여 방정식 <math>\theta=2hp+1</math> 을 만족하는 보조적인 소수의 집합 θ를 정의하였다. 제르맹은 만약 모듈러 θ에 인접한 정수가 소수 ''p'' [[거듭제곱|제곱]]으로 나타낼 수 없다면 (이를 비접속 조건이라 한다), θ는 반드시 세 정수 ''xyz''의 곱으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다. 제르맹은 
[[수학적 귀납법|수학적 귀납법]]을 사용하여 이와 같은 조건을 만족할 경우 페르마의 마지막 정리가 참이 된다는 것을 증명하였고, 100 이하의 소수에 대해 이를 검증하였다.<ref name="Laubenbacher_2007" /><ref>Aczel, p. 57.</ref> 그러나 모든 정수 n 에 대하여 성립한다는 것을 증명할 수는 없었다.<ref>{{저널 인용|last=Terjanian|first=G.|year=1977|title=Sur l'équation ''x''<sup>2''p''</sup> + ''y''<sup>2''p''</sup> = ''z''<sup>2''p''</sup> |journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série a et B|volume=285|pages=973–975}}</ref> 1985년 레오나드 애들먼과 로저 히스브라운, 그리고 에디엥 포브리는 제르맹이 정의한 특정한 소수 p 전체에 대해 페르마의 마지막 정리가 참임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|author = Adleman LM, Heath-Brown DR | year = 1985 | month = June |title = The first case of Fermat's last theorem | journal = Inventiones Mathematicae | volume = 79 | issue = 2 |pages = 409–416 | publisher = Springer | location = Berlin | doi=10.1007/BF01388981 |issn=0020-9910}}</ref>

=== 쿠머의 아이디얼 이론 ===
{{참고|에른스트 쿠머|아이디얼}}
[[파일:Ernst Eduard Kummer.jpg|섬네일|100px|에른스트 쿠머]]

[[에른스트 쿠머]]는 또한 페르마의 마지막 정리에 대한 증명 과정에서 근대 [[정수론]]의 기반을 마련하였다. 쿠머는 [[소수 (수론)|소수]]를 [[정규 소수]]와 비정규 소수로 구분하고, 페르마의 마지막 정리의 방정식 <math>x^n+y^n=z^n</math>에 대해 n이 정규 소수일 때 [[근 (수학)|해]]를 갖지 않는다는 것을 증명하였다.<ref>강봉균 외, 월경하는 지식의 모험자들, 한길사, 2003년, {{ISBN|8935654647}}, 857쪽</ref> 쿠머의 증명 방법은 훗날 [[아이디얼]] 이론으로 불리게 된 이론의 기초인 [[P진수]]의 발견에 거의 근접한 것이었다. 소수의 n차 [[단위근]]에 대해 [[체 (수학)|체]]를 확장한 [[쿠머 이론]]은 [[이차 형식]]에 대한 탁월한 연구였으며, 오늘날에도 [[아이디얼 유군]]을 다루는 [[유체론]]의 기반을 이루고 있다.<ref>William Stein, [https://wstein.org/edu/2010/582e/lectures/582e-2010-02-08/582e-2010-02-08.pdf Kummer Theory], wstein.org</ref>

=== 모델 추측 ===
{{본문|팔팅스 정리}}
[[파일:Louis Mordell.jpeg|섬네일|100px|루이스 모델]]

1920년대에 들어 [[루이스 모델]]은 페르마의 방정식에서 지수 n 이 자명하지 않은 소수일 경우 n이 아무리 큰 수라도 페르마의 마지막 정리가 성립할 것이란 추측을 내놓았다.<ref>Aczel, pp. 84–88; Singh, pp. 232–234.</ref> 이 추측은 1983년 [[게르트 팔팅스]]에 의해 증명되어<ref>{{저널 인용| author = Gerd Faltings | year = 1983 | title = Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal = Inventiones Mathematicae | volume = 73 | issue = 3 |pages = 349–366 |doi=10.1007/BF01388432}}</ref> [[팔팅스 정리]]라고 불리게 되었다.

=== 컴퓨터의 이용 ===
20세기 후반에 들어 컴퓨터를 이용해 비정규 소수에 대한 쿠머의 접근법을 확장하는 연구가 있었다. 1954년, [[해리 밴디버]](Harry Vandiver)는 [[SWAC (computer)|SWAC 컴퓨터]]를 이용하여 2521까지의 소수 n에 대하여 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하였다<ref>{{서적 인용| author = Paulo Ribenboim&#124;Ribenboim P | year = 1979 | title = 13 Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 978-0387904320 | page = 202}}</ref> 1978년에는 [[새뮤얼 왜그스태프]](Samuel S. Wagstaff)가 125,000 이하의 소수에 대하여 페르마의 마지막 정리가 성립함을 증명하였다.<ref>{{저널 인용| author = Samuel S. Wagstaff, Jr. | year = 1978 | title = The irregular primes to 125000 | journal = Math. Comp. | volume = 32 | pages = 583–591 | doi = 10.2307/2006167 | issue = 142 | publisher = American Mathematical Society | jstor = 2006167}} [http://www.ams.org/journals/mcom/1978-32-142/S0025-5718-1978-0491465-4/S0025-5718-1978-0491465-4.pdf (PDF)]</ref> 1993년, 4백만 이하의 모든 소수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것이 증명되었다.<ref>{{저널 인용| 성 = Buhler|이름=J.|공저자=R. Crandell, R. Ernvall, T. Metsänkylä | year = 1993 | title = Irregular primes and cyclotomic invariants to four million | journal = Mathematics of Computation | volume = 61 | pages = 151–153 | doi = 10.2307/2152942 | issue = 203 | publisher = American Mathematical Society | jstor = 2152942 | 언어=en}}</ref>

== 타원곡선과의 관계 ==
[[파일:Gerhard Frey (matematico).jpg|섬네일|200px|게르하르트 프라이]]

1984년 [[게르하르트 프라이]]는 [[모듈러성 정리]]를 증명하면 페르마의 마지막 정리 역시 증명 가능하다는 것을 최초로 설명하였다.<ref>Singh, pp. 194–198; Aczel, pp. 109–114.</ref> 프라이는 페르마의 방정식의 해 <math>(a, b, c)</math>는 <math>p>2</math> 인 지수 <math>p</math>를 사용할 때, 다음과 같이 [[타원 곡선]]의 형태로 변환할 수 있다는 것을 기록하였다.<ref group="주해">This elliptic curve was first suggested in the 1960s by Yves Hellegouarch, but he did not call attention to its non-modularity. For more details, see {{서적 인용| last=Hellegouarch | first=Yves | title=Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles | publisher=Academic Press | year=2001 | isbn=978-0123392510 }}</ref>

:<math>y=x(x-a^p)(x+b^p)</math>

그런데 이렇게 나타낸 타원 방정식은 [[모듈러 곡선]]으로 변환할 수 없는 비정상적인 모습이 된다.<ref name="Frey">{{저널 인용| author = Gerhard Frey | year = 1986 |title = Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations | journal = Ann. Univ. Sarav. Ser. Math. | volume = 1 | pages = 1–40}}</ref> 1950년대 일본의 수학자 [[다니야마 유타카]]와 [[시무라 고로]]는 모든 [[타원곡선]]은 적당한 형태의 [[모듈러 곡선]]으로 변환되며 그 역 역시 가능하다는 다니야마-시무라 추측을 발표하였다.<ref>Darmon, H. (2001), [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Shimura%E2%80%93Taniyama_conjecture "Shimura–Taniyama conjecture"], in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, {{ISBN|978-1-55608-010-4}}</ref> 따라서, 다니야마-시무라 추론이 참이라면, 페르마의 방정식을 변환한 타원 방정식 역시 [[모듈러 곡선]]으로 변환되어야 하는데, 그것이 불가능하다는 것은 페르마의 방정식에 정수해가 존재하지 않는 다는 의미가 되므로 결국 페르마의 정리가 참이라는 결론을 얻게 된다.<ref name="Frey" />

위와 같은 방식의 증명은 두 단계의 세부적인 증명을 거쳐야 한다. 우선 프라이가 나타낸 바와 같이 페르마의 방정식이 타원 방정식으로 변환 가능한 지를 증명하여야 한다. 프라이는 이것을 엄밀하게 증명하는데 성공하지 못하였다. [[장피에르 세르]]는 프라이가 놓친 부분을 “엡실론 추측”({{llang|en|epsilon conjecture}})이라는 이름으로 정리하였고, 1986년 [[케네스 앨런 리벳]]은 세르의 엡실론 추측을 증명하였다.<ref group="주해">[http://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/ 리벳의 논문 목록]에서 이 주제와 관련한 여러 논문을 확인할 수 있다.</ref> 두 번째 단계는 모든 타원 방정식이 대응되는 특정한 [[모듈러 곡선]]을 갖고 있는데 반해 페르마 방정식은 그러지 못하다는 것을 보이는 것이다. [[앤드루 와일스]]는 1995년 이것을 증명하여 페르마의 정리를 증명할 수 있었다.

== 와일스의 증명 ==
[[파일:Andrew wiles1-3.jpg|섬네일|위오른쪽|[[앤드루 와일스]]]]
{{본문|페르마의 마지막 정리에 대한 앤드루 와일스의 증명}}

1986년 이루어진 리벳의 [[엡실론]] 추측에 대한 증명으로, 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 프라이 방법의 첫 단계가 해결되었다. [[앤드루 와일스]]는 프라이 방법의 두 번째 단계인 [[모듈러성 정리|타니야마-시무라 추론]]을 홀로 증명하기로 결심하였다.(타니야마-시무라 추론은 와일스의 증명 이후, 모듈러성 정리로 불린다.)<ref>Singh, p. 205; Aczel, pp. 117–118.</ref> 와일스는 6년 동안 비밀리에 연구를 계속하였다.<ref>Singh, pp. 237–238; Aczel, pp. 121–122.</ref> 와일스는 빅토르 콜리바긴({{llang|ru|Виктор Александрович Колывагин}})과 마티아스 플라흐가 발전시킨 오일러 계를 확장하였다. 와일스는 이 방식에 익숙하지 않았기 때문에 1993년 [[프린스턴 대학교]] 동료인 닉 카츠에게 자신의 연구 결과 검증을 부탁하였다.<ref>Singh, pp. 239–243; Aczel, pp. 122–125.</ref>

1993년 중반 무렵, 와일스는 자신의 결과에 대해서 충분히 확신할 수 있었다. 와일스는 6월 21일에서 6월 23일까지 [[아이작 뉴턴]] [[수학|수리과학]] 협회에서 3번의 강의를 통해 자신의 연구 결과를 발표하였다.<ref>Singh, pp. 244–253; Aczel, pp. 1–4, 126–128.</ref> 와일스는 특히 불완전한 [[타원곡선]]에 대한 타니야마-시무라 추론의 증명을 제시하면서, [[타원함수]] 추론에 대한 리벳의 증명을 함께 도입해서 페르마의 마지막 정리를 증명하였다. 그러나 와일스의 이러한 증명을 검증하는 과정에서 오류가 발견되었다.<ref>Aczel, pp. 128–130.</ref> 오류를 발견한 사람 가운데에는 와일스의 증명에 도움을 준 카츠도 있었다고 한다.<ref>Singh, p. 257.</ref>

와일스와 그의 제자였던 [[리처드 로런스 테일러]]는 1년 가까이 오류를 해결하기 위해서 노력하였으나 실패하였다.<ref>Singh, pp. 269–274.</ref> 그러던 1994년 9월 19일 와일스는 예전에 콜리바긴-플라흐 방법을 도입하면서 포기하였던 자신의 수평 이와사와 이론 접근법과<ref>Singh, pp. 275–277; Aczel, pp. 132–134.</ref> 헤케 대수학의 [[환론|환론적]] 속성을 떠올렸고<ref>{{저널 인용|author=Richard Taylor, Andrew Wiles|year=1995|journal=Annals of Mathematics|title=Ring theoretic properties of certain Hecke algebras|volume=141|issue=3|pages=553–572|oclc=37032255|url=http://www.math.harvard.edu/~rtaylor/hecke.ps|doi=10.2307/2118560|jstor=2118560|publisher=Annals of Mathematics|확인날짜=2013년 1월 8일|보존url=https://web.archive.org/web/20011127181043/http://www.math.harvard.edu/~rtaylor/hecke.ps|보존날짜=2001년 11월 27일|url-status=dead}}</ref>, 다시 테일러와 함께 증명을 완성하였다. 와일스는 1995년 5월에 두 편의 논문을 발표해서 358년 된 수학 난제인 페르마의 마지막 정리를 완벽하게 증명하였다.

== 양의 정수 이외의 지수 ==
지수의 법칙에 따라 어떤 수의 거듭제곱 a<sup>n</sup>의 지수 n은 정수 뿐만 아니라 [[유리수]]와 [[복소수]]를 포함하는 모든 [[수 (수학)|수]]로 나타낼 수1992년 렌스트라는 유리 [[지수]]를 갖는 방정식 <math>a^{n/m} + b^{n/m} = c^{n/m}</math>에 대하여 <math>n=1</math> 일 경우의 일반 [[근 (수학)|해]]를 구하였다.<ref>Hendrik Lenstra|Lenstra, Jr. H.W. (1992)</ref>.

== 페르마의 실제 증명에 대한 의문 ==
페르마는 《산법》 여백에 자신이 놀라운 방법으로 증명하였다고 기록하였지만, 남아있는 상세한 증명은 <math>n=4</math>인 경우, 즉 <math>x^4+y^4=z^4</math>의 [[정수]] [[근 (수학)|해]]가 존재하지 않는다는 것뿐이다. 실제 페르마는 아마추어 [[수학자]]로서, 여가 활동으로 [[수학]]을 즐겼기 때문에 어느 정도 자신의 생각이 정리되면 다음 문제로 넘어가곤 하였다.<ref>E. T. 벨, 안재구 역, 《수학을 만든 사람들》, 미래사, 2002년, {{ISBN|8970877037}}, 74-76쪽</ref> [[앤드루 와일스]]와 [[리처드 로런스 테일러]]가 마무리 지은 증명 방법은 [[20세기]]에 발견한 많은 [[현대]] 수학을 바탕으로 하고 있기 때문에, 페르마가 이와 같은 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명할 생각을 할 수는 없었을 것이다.

[[오하이오 주립 대학교]]의 수학 [[논리학자]]인 하비 프리드먼(Harvey Friedman)은 페르마가 직접 페르마의 마지막 정리를 증명하기에는 당시 개발된 [[산술]]의 기초 도구들이 빈약하였기 때문에, 무리였을 것이라고 주장한 바 있다.<ref>{{저널 인용| last1=Avigad | first1=Jeremy | title=Number theory and elementary arithmetic | doi=10.1093/philmat/11.3.257 | mr=2006194  | year=2003 | journal=Philosophia Mathematica. Philosophy of Mathematics, its Learning, and its Application. Series III | issn=0031-8019 | volume=11 | issue=3 | pages=257–284 | unused_data=.}}[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.105.6509&rep=rep1&type=pdf Preprint]</ref>

== 포상 ==
[[프랑스 과학 아카데미]]는 1816년과 1850년에 페르마의 마지막 정리에 대한 일반적인 증명에 대해서 포상을 내걸었다.<ref>Aczel, p. 69; Singh, p. 105.</ref> 1857년 [[프랑스]] [[과학]] [[아카데미]]는 쿠머의 아이디얼 이론에 대해서 금메달과 함께 3,000 [[프랑]]을 수여하였다.<ref>Aczel, p. 69.</ref> [[브뤼셀]] 과학 아카데미에서도 1883년 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게는 포상을 줄 것이라고 발표하였다.<ref name="Koshy_2001">{{서적 인용|author=Koshy T|year=2001|title=Elementary number theory with applications|publisher=Academic Press|location=New York|isbn=978-0124211711|page=544}}</ref>

1908년 [[독일]]의 [[기업가]]이자 아마추어 [[수학자]]였던 파울 볼프스켈은 100,000 [[마르크 (통화)|마르크]]를 [[괴팅겐]] 과학 아카데미에 기탁해서, 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 수여되도록 하였다.<ref>Singh, pp. 120–125, 131–133, 295–296; Aczel, p. 70.</ref> 1908년 6월 27일, 괴팅겐 과학 아카데미는 증명의 검증과 상금의 수여에 대한 9가지 기준을 발표하였다. 중요 기준은 학술지에 발표된 논문만을 심사의 대상으로 한다는 것과 상금 지급 대상은 2007년 9월 13일까지로 한다는 것 등이었다.<ref>Singh, pp. 120–125.</ref> 1997년 6월 27일 [[앤드루 와일스]]는 볼프스켈상을 수상하고, 50,000 [[미국 달러|달러]]를 받았다.<ref>Singh, p. 284</ref>

볼프스켈상 심사 위원회에는 와일스 이전에 이미 수천 건의 잘못된 증명이 접수되어 있었는데, 이렇게 모인 증명의 양은 높이가 약 3미터에 달했다.<ref>Singh, p. 295.</ref> 볼프스켈상이 시작된 1908년에 접수된 것만 621건이었고 1970년대에도 매달 3~4건의 증명이 접수되었다.<ref>Singh, pp. 295–296.</ref> [[수학의 역사|수학사]] 연구자인 하워드 이브스는 "페르마의 마지막 정리는 가장 많은 잘못된 증명들이 발표된 정리이기도 하다"고 언급하였다.<ref name="Koshy_2001"/>

== 대중 문화 ==
* [[1989년]] [[5월]] 방영된 《[[스타 트렉]]: 넥스트 제네레이션》의 12번째 에피소드 〈더 로얄〉에서는 드라마의 배경이 되는 [[2360년|2360년대]]에도 여전히 페르마의 마지막 정리가 해결되지 않은 것으로 묘사된다.<ref>http://memory-alpha.org/wiki/The_Royale_(episode)</ref>
* [[미국]] [[PBS]]의 장수 [[과학]] [[다큐멘터리]] 노바는 [[앤드루 와일스]]의 증명을 소개한 적이 있다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[피에르 드 페르마]]
* [[앤드루 와일즈]]
* [[모듈러성 정리]]
* [[대수적 수론]]
* [[오일러의 곱셈 공식]]
* [[소피 제르맹 소수]]
* [[오일러의 거듭제곱의 합 추측]]

== 주해 ==
{{각주|group="주해"|30em}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|last=Aczel|first=Amir|title=Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem|url=https://archive.org/details/fermatslasttheor00acz_pep|date=30 September 1996|publisher=Four Walls Eight Windows|isbn=978-1-568-58077-7}}
* {{서적 인용| author = Leonard Eugene Dickson | 저자링크=레너드 유진 딕슨 | year = 1919 | title = History of the Theory of Numbers. Volume II. Diophantine Analysis | publisher = Chelsea Publishing | location = New York | pages = 545–550, 615–621, 731–776}}
* {{서적 인용| author = Edwards, HM | year = 1997 | title = Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory | publisher = Springer-Verlag | location = New York | series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 50}}
* {{서적 인용| last = Friberg | first = Joran | year = 2007 | title = Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics | publisher =World Scientific Publishing Company | isbn = 978-9812704528}}
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* {{서적 인용| author = Louis Mordell | year = 1921 | title = Three Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge}}
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* {{서적 인용| author = Paulo Ribenboim | year = 2000 | title = Fermat's Last Theorem for Amateurs | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 978-0387985084}}
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* 사이먼 싱, 박병철 옮김, 《페르마의 마지막 정리》, 영림카디널, 1998, {{ISBN|89-85055-97-6}}

* {{서적 인용|last=Bell|first=Eric T.|title=The Last Problem|location=New York|isbn=978-0-883-85451-8|date=6 August 1998|publisher=The Mathematical Association of America|origyear=1961}}
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* {{서적 인용| author = Paulo Ribenboim | year = 1979 | title = 13 Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 978-0387904320}}
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* {{저널 인용 | author = Manjil P. Saikia&#124;Saikia, Manjil P | year = 2011 | month = July | url = http://www.thequantizedquark.com/papers/kummerFLT.pdf | format = PDF | title = A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes | journal = IISER Mohali Report | 확인날짜 = 2013-01-08 | 보존url = https://web.archive.org/web/20130829014946/http://www.thequantizedquark.com/papers/kummerFLT.pdf# | 보존날짜 = 2013-08-29 | url-status = dead }}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|author=Daney, Charles|year=2003|url=http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm|title=The Mathematics of Fermat's Last Theorem|accessdate=5 August 2004|보존url=https://web.archive.org/web/20040803221632/http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm|보존날짜=2004년 8월 3일|url-status=dead}}
* [http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ The bluffer's guide to Fermat's Last Theorem] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20091121194032/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/}}
* {{웹 인용|author=Elkies, Noam D.| url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/ferm.html| title=Tables of Fermat "near-misses" - approximate solutions of x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup>}}
* {{웹 인용|author=Freeman, Larry| year=2005|url=http://www.fermatslasttheorem.blogspot.com|  title=Fermat's Last Theorem Blog}} Blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Fermat to Wiles.
* {{웹 인용|성=Ribet|이름=Ken|저자링크=케네스 앨런 리벳|year=1995|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ribet.pdf|title=Galois representations and modular forms|format=PDF|확인날짜=2013-01-08|archive-date=2009-09-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20090916154627/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ribet.pdf|url-status=dead}} Discusses various material which is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
* {{웹 인용| author=Shay, David| year=2003| url=http://shayfam.com/David/flt/index.htm| title=Fermat's Last Theorem| accessdate=5 August 2004| 보존url=https://web.archive.org/web/20120227191218/http://shayfam.com/David/flt/index.htm| 보존날짜=2012-02-27| url-status=dead}} The story, the history and the mystery.
* {{매스월드 | id=FermatsLastTheorem| title=Fermat's Last Theorem}}
* {{웹 인용 | author = O'Connor JJ, Robertson EF | year = 1996 | url = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html | title = Fermat's last theorem | accessdate = 5 August 2004 | 보존url = https://web.archive.org/web/20130116053929/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem.html | 보존날짜 = 2013년 1월 16일 | url-status = dead }}
* {{웹 인용|url=http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/| title=The Proof}} The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
* {{웹 인용|url=http://video.google.com/videoplay?docid=8269328330690408516|title=Documentary Movie on Fermat's Last Theorem (1996)|확인날짜=2013-01-08|archive-date=2009-08-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20090805074255/http://video.google.com/videoplay?docid=8269328330690408516|url-status=dead}} Simon Singh and John Lynch's film tells the story of Andrew Wiles.
* [http://www.coolissues.com/mathematics/BealFermatPythagorasTriplets.htm Beal Fermat and Pythagora's Triplets]

{{전거 통제}}

[[분류:수론 정리]]
[[분류:피타고라스 정리]]
[[분류:1637년 과학]]