페랭 수 문서 원본 보기

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[[대수학]]에서 '''페랭 수'''(Perrin number)는 다음 [[점화식]]의 반복 관계에 의해 정의된다.
:<math>n > 2 \;,\; P ( n ) = P ( n -2) + P ( n -3)</math>
초기 값으로는
:<math>P (0) = 3, P (1) = 0, P (2) = 2</math>이다.
페랭 수열은 다음처럼 출현한다.

:<math>3 , 0 , 2 , 3, 2, 5 , 5, 7 , 10 , 12 , 17 , 22 , 29 , 39 ... </math>( [[OEIS]]의 시퀀스 A001608 )

<!-- n -vertex 주기 그래프에서 서로 다른 최대 독립 세트 수는 n > 1에 대한 n 번째 Perrin 수로 계산됩니다.<ref>Füredi, Z. (1987). "The number of maximal independent sets in connected graphs". Journal of Graph Theory. 11 (4): 463–470. doi:10.1002/jgt.3190110403</ref> -->

이 수열 시퀸스는 [[에두아르 뤼카]](Édouard Lucas ,1876)에 의해 암묵적으로 언급되었다. 1899년 [[프랑수아 올리비에 라울 페랭]](François Olivier Raoul Perrin)에 의해 동일한 순서가 명시적으로 언급되었다.<ref>Knuth, Donald E. (2011). The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1. Addison-Wesley. {{ISBN|0201038048}}.</ref> 이 수열의 광범위한 처리가 1982년 아담스(Adams)와 생크스(Shanks) 에 의해 주어졌었다.<ref>Adams, William; Shanks, Daniel (1982). "Strong primality tests that are not sufficient". Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 39 (159): 255–300. JSTOR 2007637. MR 0658231. doi:10.2307/2007637.</ref>

== 페랭 수의 생성 함수 ==

:<math>G(P(n);x)={{3-x^2}\over{1-x^2-x^3}}</math>
== 행렬 수식 ==
:<math> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}^n
  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix} P\left(n\right) \\ P\left(n+1\right) \\ P\left(n+2\right) \end{pmatrix}
</math>

== 비네의 페랭 수열 표현 ==
페랭 수열의 페랭 수는 방정식으로 표현 될 수있다.

:<math> x^3 -x -1 = 0</math>
이 방정식에는 3개의 근이 있다. 하나의 실수 [[근 (수학)|근]] p([[플라스틱 수]]라고 함)와 두 개의 복소근 q와 r, 그리고 이 3개 근을 감안할 때, [[뤼카 수열]]에 [[자크 비네|비네]](Binet) 공식을 적용한 페랭 시퀀스 아날로그는

:<math>P\left(n\right) = {p^n} + {q^n} + {r^n} </math>이다.
복소근 q 와 r 의 절댓값이 둘 다 1보다 작기 때문에 이들 근의 거듭 제곱은 큰 n에 대해 0에 접근한다. 따라서 큰 n의 경우 수식이 플라스틱 수에 접근하게 된다.
:<math>P\left(n\right) \approx {p^n} </math>

이 공식을 사용하여 큰 n에 대한 페랭(Perrin) 시퀀스의 값을 빠르게 계산할 수 있다. 페랭(Perrin) 시퀀스의 연속 항의 비율은 약 1.324718의 값을 갖는 [[플라스틱 수]](일명 플라스틱 수)에 근접한다. 이 [[수학 상수|상수]]는 [[황금비|황금 비율]]이 [[뤼카 수열]]과 갖는 관계에서와 같이 [[페랭 시퀀스]]와 동일한 관계를 지닌다. 비슷한 연결이 플라스틱 수와 [[파도반 시퀸스|파도반(Padovan) 수열]] 사이, 황금비 와 [[피보나치 수]] 사이, [[백은비|백은 비율]]과 [[펠 수|펠(Pell) 수]] 사이에서도 존재한다.

== 같이 보기 ==
* [[뤼카 수]]
* [[페랭 수열]]

== 참고 ==
<references/>

[[분류:정수열]]
[[분류:점화식]]