팔팅스의 정리 문서 원본 보기

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'''팔팅스의 정리'''({{llang|en|Faltings’ theorem}}) 또는 '''모델 추측'''(Mordell conjecture)은 [[유리수체]]에 대하여 정의된, 종수가 2 이상인 [[대수 곡선]]은 유한개의 [[유리점]]을 가진다는 정리다. [[디오판토스 방정식]]의 이론에 핵심적인 역할을 한다.

== 역사 ==
1922년에 [[루이스 모델]]은 종수가 1인 대수 곡선([[타원 곡선]])의 유리점에 대한 [[모델-베유 정리]]를 증명하였고, 이에 대한 자연스러운 확장으로 종수가 2 이상인 대수 곡선에 대하여 이 정리를 추측하였다. 이후 이는 "모델 추측"이라고 불리게 되었다.

모델 추측은 오랫동안 난제로 남아 있었다. [[1983년]] [[독일]]의 [[수학자]] [[게르트 팔팅스]]가 모델 추측을 증명하였고,<ref>{{저널 인용|last=Faltings |first=Gerd |authorlink= 게르트 팔팅스|날짜=1983|title=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=Inventiones Mathematicae |volume=73 |issue=3 |pages=349–366 |doi=10.1007/BF01388432|언어=de }}</ref> 그 뒤 "팔팅스의 정리"로 불리게 되었다.
팔팅스는 모델 추측을 [[테이트 추측]](Tate conjecture)으로 축소시킨 뒤, [[네롱 모형]](Néron model) 등 [[대수기하학]]적 기법을 사용하여 모델 추측을 증명하였다.

팔팅스 이후 여러 새로운 증명법들이 발견되었다. 파울 보이타(Paul Vojta)는 팔팅스와 전혀 다른 방법으로 팔팅스의 정리를 증명하였다. [[엔리코 봄비에리]]가 이 증명을 단순화한 증명을 1990년 제시하였다.<ref>{{저널 인용| last=Bombieri | first=Enrico|authorlink= 엔리코 봄비에리| 날짜=1990|title=The Mordell conjecture revisited| journal=Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.|volume=17| issue=4| pages=615–640|언어=en}}</ref>

== 개요 ==
다음과 같은 아주 일반적인 질문을 할 수 있다. [[유리수체]] 위에서 정의된 [[비특이 대수다양체|비특이]] [[대수 곡선]] 위의 [[유리점]]들의 수가 몇 개인가?

이 문제의 답은 대수 곡선의 [[종수]](genus) ''g''에 따라 다르다. 다른 많은 [[정수론]]에서의 결과들처럼, 3가지의 경우가 있다: ''g'' = 0, ''g'' = 1, ''g''>1.

''g''=0인 경우는 아주 오랫동안 답이 잘 알려져 있었다. ''g''=1인 경우, 수학자 모델이 결과를 증명했으며, 이 결과를 본 후, 모델 자신이 ''g''>1인 경우에 대해서 추측을 남겼는데, 이것이 바로 유명한 ''모델 추측''이다.

== 정의 ==
팔팅스 정리에 따르면, [[유리수체]] 위에 정의된, 종수가 <math>g>1</math>인 [[대수 곡선]] <math>C</math>은 유한개의 [[유리점]]들을 가진다.

팔팅스 정리는 대수 곡선의 유리점의 분류를 다음과 같이 완성시킨다. 유리수체에 대한 임의의 대수 곡선의 유리점의 수는 종수에 따라 다음과 같다.
* 종수가 0인 경우 ([[원뿔 곡선]]): 1) 유리점이 단 하나도 없거나, 2) 무한히 많다. ''C''는 [[원뿔 곡선]]으로 취급할 수 있다.
* 종수가 1인 경우 ([[타원 곡선]]): 이 경우 유리점들의 집합은 [[유한 생성 아벨 군]]을 이룬다 ([[모델-베유 정리]]). 이 군의 [[꼬임 부분군]]들은 [[메이저 꼬임 정리]]에 따라 제한된다.
* 종수가 2 이상인 경우 ([[초타원 곡선]]): 이 경우, 팔팅스 정리에 따라 유한개의 유리점이 존재한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| title=Diophantine geometry | first=Marc | last=Hindry | coauthors=Joseph H. Silverman  | series= Graduate Texts in Mathematics | volume=201 | publisher=Springer-Verlag | 날짜=2000 | isbn=0-387-98981-1|언어=en }}
* {{서적 인용| author=S. Lang | authorlink=서지 랭| title=Survey of Diophantine geometry | publisher=Springer | 날짜=1997 | isbn=3-540-61223-8 | pages=101–122 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Mordell conjecture|first=A. N. |last=Parshin}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수 곡선]]
[[분류:디오판토스 기하학]]
[[분류:수론 정리]]
[[분류:기하학 정리]]
[[분류:대수기하학 정리]]