팔라티니 변분 문서 원본 보기

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'''팔라티니 변분'''(Palatini變分, {{llang|en|Palatini variation}})은 [[아인슈타인-힐베르트 작용]](및 추가 물질 [[작용 (물리학)|작용]])을 [[리만 계량]] 또는 [[필바인]]의 2차 도함수에 대한 [[범함수]] 대신, 필바인과 [[스핀 접속]]의 1차 도함수에 대한 범함수로 여겨 [[변분법]]을 가하는 것을 말한다. 이 경우, 필바인은 일종의 [[보조장]]을 이루며, [[페르미온]] 물질이 존재할 경우 일반적으로 스핀 접속은 0이 아닌 [[비틀림 텐서]]를 갖는다.

== 정의 ==
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 [[필바인]]
:<math>g_{\mu\nu}=e^a_\mu e^b_\nu \eta_{ab}</math>
:<math>e^a_\mu \in \Omega^1(M;E)</math>
과 [[스핀 접속]]
:<math>e_\nu^a\nabla_\mu e^{b\nu} = \omega_\mu^{ab}</math>
:<math>\omega_\mu^{ab} \in \Omega^1\left(M;\bigvee^2E\right)</math>
을 생각하자. 여기서 <math>E</math>는 <math>\operatorname{SO}(1,D-1)</math>-[[구조 벡터 다발]]이다.

그렇다면, [[아인슈타인-힐베르트 작용]]을 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>S[e,\omega] = \frac1{2\kappa^2}\int\mathrm d^Dx\,(\det e)\,e_a^\mu e_b^\nu R_{\mu\nu}{}^{ab}</math>
:<math>R_{\mu\nu}{}^{ab} = 2\partial_{[\mu}\omega_{\nu]}^{ab} + 2\omega_{[\mu}^{ac}\omega_{\nu]c}{}^b</math><ref name="FVP"/>{{rp|(7.10)}}
여기서
:<math>X_{[\mu_1\dotso\mu_p]}=\frac1{p!}\left(X_{\mu_1\dotso\mu_p} - \dotsb\right)</math>
는 규격화된 완전 반대칭화이며, <math>(\det e)</math>는 <math>D\times D</math> [[정사각 행렬]]
:<math>(e_\mu^a)_{\mu, a \in \{0,\dotsc,D-1\}}</math>
의 [[행렬식]]이며, [[부피 형식]]의 성분이다.

이제, 이 [[범함수]]를 (<math>g_{\mu\nu}</math>의 2차 도함수의 [[범함수]] 대신) [[필바인]]과 <math>e^a_\mu</math>(의 0차 도함수)와 [[스핀 접속]] <math>\omega^{ab}_\mu</math>(의 0차 및 1차 도함수)의 [[범함수]]로 여겨, [[변분법]]을 적용할 수 있다. 이를 '''팔라티니 변분'''이라고 한다. 이 경우, [[필바인]]의 도함수가 등장하지 않으므로, [[필바인]]은 [[보조장]]을 이룬다.

그렇다면, <math>\omega_\mu^{ab}</math>에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 다음과 같다.
:<math>\omega_\mu^{ab} = e_\nu^a\nabla_\mu e^{b\nu} </math>
여기서 우변은 물론 <math>e</math>를 사용한, <math>\omega_\mu^{ab}</math>의 (원래) 정의와 같다. 이 조건은 스핀 접속이 [[비틀림 텐서]]가 0인 [[레비치비타 접속]]임을 의미한다.

또한, 이 작용에서 <math>e_\mu^a</math>에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 마찬가지로 [[리치 곡률]]이 0임, 즉
:<math>R_\mu{}^a = e_\mu{}^b R_{\mu\nu}{}^{ab} = 0</math>
임을 의미한다. 이는 [[아인슈타인 방정식]]과 같다.

=== 페르미온 물질이 있을 경우 ===
[[필바인]]을 사용하지 않으면 일반적으로 [[스피너]]를 정의할 수 없다. [[필바인]]을 사용하여 페르미온을 추가하고 팔라타니 변분을 적용할 경우, [[스핀 접속]]은 페르미온의 세기의 제곱에 비례하는 [[비틀림 텐서]]를 갖게 된다.

구체적으로, 스피너장 <math>\psi</math>에 대하여 공변 미분
:<math>\nabla_\mu\psi = \left(\partial_\mu + \frac14\omega_\mu^{ab}\gamma_{ab}\right)\psi</math>
:<math>\psi\overset\leftarrow\nabla_\mu = \partial_\mu\bar\psi - \frac14\omega_\mu^{ab}\bar\psi\gamma_{ab}</math>
를 정의하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 작용을 적을 수 있다.
:<math>S = S_{\text{EH}} + \frac12\int\mathrm d^Dx\,(\det e)\,\left(
-\bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi
+\bar\psi\overset\leftarrow\nabla_\mu e^\mu_a\gamma^\mu\psi
\right)</math>
이 경우, 위와 같이 팔라티니 변분을 취했을 때, 다음을 얻는다.<ref name="FVP"/>{{rp|(8.3)}}
:<math>\omega_\mu^{ab} = \omega_\mu^{ab}[e] - \frac14 \kappa^2\bar\psi\gamma_{abc}e^{c\nu}\psi</math>
즉, 이는 [[비틀림 텐서]]
:<math>2\Gamma^\rho_{[\mu\nu]} = T_{\mu\nu}{}^\rho = \frac12\kappa^2\bar\psi\gamma_{\mu\nu\rho}\psi</math>
에 해당한다.

이는 물리학적으로 <math>S</math>를 필바인의 2차 도함수로 구성된 [[범함수]]로 여기는 것과 다른 결과이다.<ref name="FVP">{{저널 인용|제목=Ingredients of supergravity|이름=Daniel Z.|성=Freedman|이름2=Antoine|성2=Van Proeyen|저널=Fortschritte der Physik | arxiv=1106.1097|날짜=2011-11|doi=10.1002/prop.201100059|bibcode=2011ForPh..59.1118F|권=59|호=11–12|쪽=1118–1126|언어=en}}</ref>{{rp|§8}} (다만, [[중력 상수]]가 매우 작으므로, 이 효과는 측정하기 매우 힘들다.)

== 역사 ==
이탈리아의 수학자 아틸리오 팔라타니({{llang|it|Attilio Palatini}}, 1889~1949)의 이름이 붙어 있다.<ref>{{저널 인용|first=Attilio |last=Palatini |날짜=1919 |title=Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton |journal=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |volume=43 |issue= |pages=203–212|언어=it }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

* {{저널 인용|first=M. |last=Tsamparlis |title=On the Palatini method of variation |journal=[[미국 수리물리학 저널|J. Math. Phys.]] |volume=19 |issue=3 |pages=555 |year=1978 |doi=10.1063/1.523699 |bibcode = 1978JMP....19..555T }}
* {{저널 인용|first=M. |last=Ferraris |first2=M. |last2=Francaviglia |first3=C. |last3=Reina |title=Variational Formulation of General Relativity from 1915 to 1925 'Palatini's Method' Discovered by Einstein in 1925 |journal=Gen. Rel. Grav. |volume=14 |year=1982 |pages=243–254 |bibcode = 1982GReGr..14..243F |doi = 10.1007/BF00756060 }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=first-order formulation of gravity|title=First-order formulation of gravity}}

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:라그랑주 역학]]