판별식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|수체의 판별식|[[다항 방정식]]의 판별식|대수적 수체의 판별식}}
[[수학]]에서 '''판별식'''(判別式, {{llang|en|discriminant}})은 [[다항식]]이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 계수의 0이 아닌 [[다항식]]
:<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\in K[x]</math>
:<math>a_0,a_1,a_2,\dots,a_n\in K</math>
:<math>a_n\ne 0</math>
:<math>x_1,x_2,\dots,x_n\in K</math>
의 '''판별식'''은 다음과 같다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|204}}
:<math>
\begin{align}
\operatorname{disc}(f)
& = a_n^{2n-2}\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2 \\
& = (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2}\prod_{i\ne j}(x_i-x_j) \\
& = (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{-1}\operatorname{res}(f,f') \\
& = (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{-1}
  \begin{vmatrix}
    a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
    & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\
    && a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\
    na_n & (n-1)a_{n-1} & \cdots & a_1 \\
    & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\
    && na_n & (n-1)a_{n-1} & \cdots & a_1 \\
    &&& na_n & (n-1)a_{n-1} & \cdots & a_1
  \end{vmatrix}
\end{align}
</math>
여기서
* <math>(-)'</math>는 형식적 미분이다.
* <math>\operatorname{res}</math>는 [[종결식]]이다.
* <math>\left|-\right|</math>는 [[행렬식]]이다.

== 성질 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 및 0이 아닌 <math>f\in K[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 중복근을 갖는다.
* <math>\operatorname{disc}(f)=0</math>

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 및 <math>n</math>차 [[분해 가능 다항식|분해 가능]] [[기약 다항식]] <math>f\in K[x]</math>에 대하여, [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(f)</math>는 근의 집합 위에서 [[충실한 작용|충실하게 작용]]하며, 이는 [[단사 함수|단사]] [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{Gal}(f)\hookrightarrow\operatorname{Sym}(n)</math>
을 정의한다. 만약 <math>\operatorname{char}K\ne2</math>라면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{Gal}(f)</math>의 상은 <math>\operatorname{Alt}(n)</math>의 부분군이다.
* <math>\sqrt{\operatorname{disc}(f)}\in K</math>

== 예 ==
=== 2차 다항식 ===
복소수 계수 2차 다항식
:<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>
의 판별식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{disc}(f)=b^2-4ac</math>

실수 계수 다항식의 경우, 판별식은 실수이며, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>b^2-4ac>0</math>이라면, <math>f(x)</math>는 서로 다른 두 실근을 갖는다.
* 만약 <math>b^2-4ac=0</math>이라면, <math>f(x)</math>는 겹치는 두 실근을 갖는다.
* 만약 <math>b^2-4ac<0</math>이라면, <math>f(x)</math>는 서로 [[복소켤레]]인 (특히 서로 다른) 두 허근을 갖는다.

=== 3차 다항식 ===
복소수 계수 3차 다항식
:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
의 판별식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{disc}(f)=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math>

특히, 다항식
:<math>f(x)=x^3+px+q</math>
의 판별식은
:<math>\operatorname{disc}(f)=-4p^3-27q^2</math>
이다.

실수 계수의 경우, 다음이 성립한다.<ref name="DummitFoote3">{{서적 인용|성1=Dummit|이름1=David S.|성2=Foote|이름2=Richard M.|제목=Abstract algebra|언어=en|판=3|출판사=Wiley|위치=[[치체스터]]|날짜=2004|isbn=0-471-43334-9|mr=2286236|zbl=1037.00003|oclc=248917264}}</ref>{{rp|633}}
* 만약 <math>\operatorname{disc}(f)>0</math>이라면, 서로 다른 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 [[허수]]의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있으며, 유리수 계수 기약 다항식의 경우 실수의 거듭제곱근만을 통해서는 나타낼 수 없다. 이를 [[환원 불능의 경우]]({{llang|la|casus irreducibilis|카수스 이레두키빌리스}})라고 한다.
* 만약 <math>\operatorname{disc}(f)=0</math>이라면, 둘 이상이 겹치는 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 항상 실수의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.
* 만약 <math>\operatorname{disc}(f)<0</math>이라면, 하나의 실근과 서로 [[복소켤레]]인 두 허근을 갖는다.

유리수 계수 3차 기약 다항식의 경우, 그 [[분해체]] <math>K</math>는 <math>\mathbb Q</math>의 [[갈루아 확대]]를 이루며, 그 [[갈루아 군]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)\cong\begin{cases}
\operatorname{Sym}(3)&\sqrt{\operatorname{disc}(f)}\not\in\mathbb Q \\
\operatorname{Alt}(3)&\sqrt{\operatorname{disc}(f)}\in\mathbb Q
\end{cases}
</math>

=== 4차 다항식 ===
복소수 계수 4차 다항식
:<math>p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e</math>
의 판별식은
:<math>\begin{align}
\operatorname{disc}(p)
& = 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\
& \qquad -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\
& \qquad\qquad +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2 \\
& \qquad\qquad\qquad +18b^3cde-4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2
\end{align}
</math>
이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PolynomialDiscriminant|제목=Polynomial discriminant}}

{{전거 통제}}

[[분류:다항식]]
[[분류:원뿔 곡선]]
[[분류:이차 형식]]
[[분류:행렬식]]
[[분류:대수적 수론]]