파투 보조정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[실해석학]]에서 '''파투 보조정리'''({{llang|en|Fatou’s lemma}})는 [[가측 함수]]의 열의 [[하극한]]의 [[르베그 적분]]과 르베그 적분의 하극한 사이에 성립하는 [[부등식]]이다.

== 정의 ==
'''파투 보조정리'''에 따르면, [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 임의의 음이 아닌 [[가측 함수]]의 열 <math>f_n\colon X\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|23}}
:<math>\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu</math>
여기서 <math>\liminf</math>는 [[하극한]]이다.
{{증명}}
다음과 같은 [[가측 함수]]의 열을 정의하자.
:<math>g_n\colon x\mapsto\inf_{k\ge n}f_k(x)</math>
그렇다면 각 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>g_n(x)\le f_n(x)</math>이므로
:<math>\int_Xg_n\mathrm d\mu\le\int_Xf_n\mathrm d\mu</math>
이다. 이제 [[단조 수렴 정리]]에 따르면,
:<math>\int_X\liminf_{n\to\infty}f_n\mathrm d\mu
=\int_X\lim_{n\to\infty}g_n\mathrm d\mu
=\lim_{n\to\infty}\int_X g_n\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu</math>
을 얻어, 증명이 끝난다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 등식 ===
만약 <math>f_n=c</math>이 같은 상수 함수의 열일 경우, 파투 보조정리는 등식이 된다.

=== 부등식 ===
[[실수선]] <math>X=\mathbb R</math> 위의 [[보렐 시그마 대수]] <math>\Sigma=\mathcal B(\mathbb R)</math>와 그 위의 [[르베그 측도]] <math>\mu=\mu_{\operatorname L}</math>를 생각하자.

가측 함수열
:<math>f_n=(1/n)1_{[n,\infty)}</math>
의 경우, 파투 보조정리의 좌변과 우변은 각각 0과 ∞이므로, 이는 등식이 아니다.

가측 함수열
:<math>f_n=n1_{(0,1/n)}</math>
의 경우도 파투 보조정리는 엄격한 부등식 0<1이다.

== 역사 ==
[[프랑스]]의 수학자 [[피에르 파투]]({{llang|fr|Pierre Fatou}})가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Fatou theorem (on Lebesgue integrals)}}
* {{플래닛매스|urlname=FatousLemma|제목=Fatou’s lemma}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfFatousLemma|제목=Proof of Fatou’s lemma}}
* {{proofwiki|id=Fatou's Lemma for Integrals|제목=Fatou’s lemma for integrals}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:측도론 정리]]
[[분류:보조정리]]
[[분류:부등식]]