파인만의 슬래시 기법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자장론]]에서 '''파인만의 슬래시 기법''' ( Feynman slash notation )<ref>「ディラック・スラッシュ」の記法と呼ばれることもある。例えば {{인용|last6=Weinberg|last9=Steven|authorlink=スティーヴン・ワインバーグ|last5=The Quantum Theory of Fields|volume=1|oclc=Cambridge University Press|archive-url=358 (380 in polish edition)}}</ref> 은 [[디랙 장]]의 연구에서 [[리처드 파인만|파인만]]에 의해 도입된 [[사차원 벡터]]<ref>実際は4元ベクトルに限らず、時空間が {{수학 변수|d}} 次元であれば {{수학 변수|d}} 元ベクトルに対し成り立つ。</ref>와 [[디랙 행렬|감마 행렬]] {{수학 변수|&gamma;}} 의 축약를 나타내는 표기법이다:

: <math>{A\!\!\!/} \ \equiv \gamma^\mu A_\mu = \gamma_\mu A^\mu</math> .

여기서 {{수학 변수|A{{sub|&mu;}}}} 는 [[벡터의 공변성 및 반변성|공변 벡터]], {{수학 변수|A{{sup|&mu;}}}} 는 반변 벡터이며 [[아인슈타인 표기법]]을 사용하고 있다. <math>{A\!\!\!/}</math> 는 「A슬래시」라고 읽는다.

== 항등식 ==
[[디랙 행렬|감마 행렬]]의 반교환 관계 {{수학|{''&gamma;{{sup|&mu;}}'', ''&gamma;{{sup|&nu;}}''} {{=}} 2''g{{sup|&mu;&nu;}}''}} 를 사용함으로써 임의 벡터 {{수학 변수|a}}, {{수학 변수|b}} 에 대해 다음 항등식이 성립한다.

: <math>\begin{align}
             {a\!\!\!/}{a\!\!\!/} &\equiv  a^\mu a_\mu \cdot I_4 = a^2 \cdot I_4 \\
 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/} + {b\!\!\!/}{a\!\!\!/} &\equiv 2 a \cdot b \cdot I_4\,
\end{align}</math> .

여기서 {{수학|''I''{{sub|4}}}} 는 4차원 단위 행렬이다.

특히

: <math>{\partial\!\!\!/}^2 \equiv \partial^2 \cdot I_4</math> .

다음 항등식은 [[디랙 행렬|감마 행렬의 성질]]로부터 계량 텐서와 내적을 지환함으로써 직접 얻어진다. 예를 들면

: <math>\begin{align}
                \operatorname{tr}({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}) &\equiv 4 a \cdot b \\
      \operatorname{tr}({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &\equiv 4 \left[(a \cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right] \\
 \operatorname{tr}(\gamma_5 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &\equiv 4 i \epsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} a^\mu b^\nu c^\lambda d^\sigma \\
                   \gamma_\mu {a\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv -2 {a\!\!\!/} \\
              \gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv 4 a \cdot b \cdot I_4 \\
        \gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} {c\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv -2 {c\!\!\!/} {b\!\!\!/} {a\!\!\!/} \\
\end{align}</math>

여기서 {{수학|''&epsilon;{{sub|&mu;&nu;&lambda;&sigma;}}''}} 는 [[레비치비타 기호|레비 티비타 완전 반대칭 텐서]] .

== [[사차원 운동량]] ==
[[디랙 방정식]]을 사용하여서 [[산란 단면적]]을 풀 때 [[사차원 운동량]]에 대해 슬래시 기법을 사용한다: 감마 행렬은 다음 디랙 표현을 사용하면

: <math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix},\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}</math> ,

여기서 {{수학|''&sigma;''}} 는 [[파울리 행렬]]이다. 또한 [[사차원 운동량]]의 정의:

: <math>p_\mu = \left(E, -p_x, -p_y, -p_z \right)</math>

에 따라서, 다음을 얻는다.

: <math>\begin{align}
 {p\!\!/} &= \gamma^\mu p_\mu = \gamma^0 p_0 + \gamma^i p_i \\
      &= \begin{bmatrix} p_0 & 0 \\ 0 & -p_0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \sigma^i p_i \\ -\sigma^i p_i & 0 \end{bmatrix} \\
      &= \begin{bmatrix} E & -\sigma \cdot \vec{p} \\ \sigma \cdot \vec{p} & -E \end{bmatrix}.
\end{align}</math>

가튼 결과는 바일 표현과 같은 다른 표현을 사용하면서도 얻을 수 있다.

== 각주 ==
<references />

== 참고 문헌 ==

* {{서적 인용|제목=Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics|url=https://archive.org/details/quarksleptonsint0000halz|성=Halzen, Francis|성2=Martin, Alan|연도=1984|출판사=John Wiley & Sons|isbn=0-471-88741-2}}{{서적 인용|제목=Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics|url=https://archive.org/details/quarksleptonsint0000halz|성=Halzen, Francis|성2=Martin, Alan|연도=1984|출판사=John Wiley & Sons|isbn=0-471-88741-2}}

== 같이 보기 ==
* [[디랙 행렬|감마 행렬]]
[[분류:리처드 파인만]]
[[분류:에포님]]
[[분류:스피너]]
[[분류:양자장론]]