파면 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[조화해석학]]에서 '''파면 집합'''(波面集合, {{llang|en|wavefront set}})은 어떤 [[분포 (해석학)|분포]]가 특이점을 갖는 위치 및 방향들의 집합이다. 특이점이 발생하는 위치들의 집합으로 정의되는 고전적 개념인 특이 지지 집합({{llang|en|singular support}})과 달리, 파면 집합은 특이점이 발생하는 위치뿐만 아니라 특이점이 일어나는 방향에 대한 정보를 담는다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[분포 (해석학)|분포]]
:<math>F\in\mathcal D'(M)</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>F</math>의 <math>x\in M</math>에서의 '''특이올'''({{llang|en|singular fiber}})
:<math>\Sigma_xF\subset T^*_xM</math>
은 다음과 같다.
:<math>\xi\not\in\Sigma_xF\iff \exists\Gamma\ni x\exists\phi\forall N\in\mathbb Z^+\colon \sup_{\xi\in\Gamma}\left(\widehat{\phi F}(\xi)(1+|\xi|)^N\right)<\infty</math>
여기서
* <math>\exists\Gamma\ni x</math>는 <math>x</math>를 포함하는 [[열린집합|열린]] 뿔 <math>\Gamma\subseteq T^*_xM</math>이 존재하는 것을 뜻한다.
* '''뿔'''({{llang|en|cone}})이란 임의의 음이 아닌 실수 <math>\lambda</math>에 대하여, <math>\lambda</math>에 대한 곱에 대하여 닫혀 있는 집합이다.
* <math>\exists\phi</math>는 국소좌표계 <math>U</math> 위에 정의된, <math>\phi(x)\ne0</math>인 [[콤팩트 지지]] [[매끄러운 함수]] <math>\phi\in\mathcal C^\infty_0(U)</math>가 존재함을 뜻한다.
* <math>\widehat{}</math>은 국소 좌표계에서의 [[푸리에 변환]]을 뜻한다.
* <math>|\xi|</math>는 적절한 [[리만 계량]]에 대한 노름이다. (이 정의는 리만 계량의 선택에 의존하지 않는다.)
특이올은 [[열린집합]]들의 [[합집합]]의 [[여집합]]이므로, <math>T^*_xM</math> 속의 [[닫힌집합]]이다.

<math>F</math>의 '''파면 집합'''
:<math>\operatorname{WF}F\subset T^*M</math>
은 특이올들의 합집합이다.
:<math>\operatorname{WF}F=\{(x,\xi)\in T^*M\colon \xi\in \Sigma_xF\}</math>
이는 항상 [[닫힌집합]]이다.

== 예 ==
=== 디랙 델타 분포 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 [[디랙 델타 분포]] <math>\delta(x)</math>를 생각하자. 디랙 델타 분포의 [[푸리에 변환]]은 [[상수 함수]]이며, 따라서 <math>x=0</math>에서는 어떤 방향에서도 특이올의 정의에 등장하는 추정이 성립하지 않는다. 따라서, 이 경우 파면 집합은
:<math>\operatorname{WF}\delta=T^*_0\mathbb R^n</math>
이다.<ref name="BNH"/> 즉, 디랙 델타 분포는 원점에서 모든 방향으로 특이점을 가지며, 디랙 델타 분포의 거듭제곱은 잘 정의되지 않는다.

<math>\mathbb R</math> 위의 [[단위 계단 함수]]
:<math>\theta(x)=\begin{cases}0&x<0\\1&x>0\end{cases}</math>
의 파면 집합 역시
:<math>\operatorname{WF}\theta=T^*_0\mathbb R</math>
이다.<ref name="BNH"/>{{rp|Example 15}} 즉, 디랙 델타 분포의 파면 집합과 같다. 단위 계단 함수의 경우, 특이올의 정의에서 <math>N=1</math>인 경우 추정이 성립하지만, <math>N>1</math>일 경우 추정이 (어느 방향에서도) 성립하지 않는다.

=== 1/''x'' ===
<math>\mathbb R</math> 위에, 분포 <math>1/(x+i\epsilon)</math>은 임의의 [[콤팩트 지지]] [[매끄러운 함수]] <math>f</math>에 대하여
:<math>\langle u|f\rangle=-i\pi f(0)+\lim_{\epsilon\to0^+}\int\frac{f(x)-f(-x)}x\,dx</math>
로 정의된다. (이 표기는 [[경로적분법]]을 따른 것이다.) 이 경우
:<math>\operatorname{WF}1/(x+i\epsilon)=\{(0,\xi)\colon \xi<0\}</math>
이다. 즉, <math>\left(1/(x+i\epsilon)\right)^2</math>는 잘 정의된다.

=== 지시 함수 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 속에, 매끄러운 [[경계 (위상수학)|경계]]를 갖는 부분 집합 <math>\Omega\subset M</math>이 주어졌다고 하자. 그 위의 [[지시 함수]] <math>\chi_\Omega</math>의 파면 집합은 다음과 같다.<ref name="BNH"/>{{rp|Proposition 20}}
:<math>\operatorname{WF}\chi_\Omega=\{(x,\xi)\colon x\in\partial\Omega,\;\xi\perp\partial\Omega\}</math>

== 응용 ==
일반적으로, [[분포 (해석학)|분포]]의 곱셈은 잘 정의될 수 없다. 그러나 파면 집합에 대한 적절한 조건이 성립한다면 두 분포의 곱을 정의할 수 있게 된다.<ref name="BNH">{{저널 인용|arxiv=1404.1778|제목=A smooth introduction to the wavefront set|이름=Christian |성=Brouder|저자2=Nguyen Viet Dang|이름3=Frédéric|성3=Hélein|doi=10.1088/1751-8113/47/44/443001|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|권=47|호=44|쪽=443001|날짜=2014-11-07|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 13}} 구체적으로, 두 분포 <math>F,G\in\mathcal D'(M)</math>의 곱이 잘 정의되기 위한 충분 조건은
:<math>\forall (x,\xi)\in T^*M\colon \lnot\left(\xi\ne0\land (x,\xi)\in\operatorname{WF} F\land(x,-\xi)\in\operatorname{WF}G\right)</math>
이다. 즉,  두 분포의 특이 지지 집합이 겹치더라도, 특이점의 방향이 일치하지 않는다면 두 분포의 곱을 잘 정의할 수 있다.

== 역사 ==
[[라르스 회르만데르]]가 1970년 경에 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=wavefront set|title=Wavefront set}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/48176/a-good-reference-for-the-wave-front-set|제목=A good reference for the wave front set|언어=en|출판사=Math Overflow}}

{{전거 통제}}

[[분류:조화해석학]]