파레토 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
|이름 =파레토 분포
|종류=밀도
|pdf 그림=Probability density function of Pareto distribution.svg
|cdf 그림=Cumulative distribution function of Pareto distribution.svg
|매개변수=''x''<sub>m</sub> > 0 [[scale parameter|scale]] ([[real number|real]])<br/>α > 0 [[shape parameter|shape]]
|받침=<math>x \in [x_\mathrm{m}, +\infty)</math>
|pdf=<math>\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\text{ for }x\ge x_m</math>
|cdf=<math>1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \text{ for } x \ge x_m</math>
|기대값 =<math>\begin{cases}
     \infty & \text{for }\alpha\le 1 \\
     \frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \text{for }\alpha>1
   \end{cases}</math>
|중간값=<math>x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}</math>
|최빈값=<math>x_\mathrm{m}</math>
|분산 =<math>\begin{cases}
     \infty & \text{for }\alpha\in(1,2] \\
     \frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)} & \text{for }\alpha>2
   \end{cases}</math>
|왜도 =<math>\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3</math>
|첨도 =<math>\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4</math>
|엔트로피=<math>\ln\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha}\right) + \frac{1}{\alpha} + 1</math>
|mgf =<math>\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0</math>
|특성함수 =<math>\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)</math>
| fisher =<math>\begin{pmatrix}\frac{\alpha}{x_m^2} &-\frac{1}{x_m} \\ -\frac{1}{x_m} &\frac{1}{\alpha^2}\end{pmatrix}</math>
}}
[[통계학]]에서 '''파레토 분포'''(Pareto分布, {{llang|en|Pareto distribution}})는 [[사회과학]]에서 널리 볼 수 있는 [[확률분포]]이다.

== 정의 ==
'''파레토 분포'''는 다음 성질을 만족시키는 [[확률변수]] <math>X</math>가 따르는 [[확률분포]]이다.
:<math>\Pr(X>x) = \begin{cases}\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & x < x_\mathrm{m}\end{cases}
</math>
즉, 파레토 분포는 두 개의 매개변수 <math>x_\text{m},\alpha</math>를 가진다. <math>x_m>0</math>은 <math>X</math>의 최솟값이고, <math>\alpha>0</math>은 '''파레토 지표'''라는 매개변수이다. <math>\alpha</math>가 더 크다면 이 분포는 더 큰 불평등을 나타낸다. 즉, <math>\alpha</math>가 0에 가까울 수록 더 [[균등분포]]에 가깝고, 반대로 <math>\alpha</math>가 더 클 수록 [[디랙 델타 함수]]에 가까워진다.

== 응용 ==
[[빌프레도 파레토]]는 파레토 분포를 사회에서 부의 분포를 나타내기 위해 사용하였다. 사회에서는 부의 불공평한 분포로 인해 대부분의 부가 소수에 의해 소유되는데 ([[파레토 법칙]]), 파레토 분포는 이를 효과적으로 나타낸다.<ref>Pareto, Vilfredo, ''Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino'', Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299–345.</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|author=M. O. Lorenz |year=1905 |title=Methods of measuring the concentration of wealth |journal=[[Publications of the American Statistical Association]] |volume=9 |issue=70 |pages=209–219 |doi=10.2307/2276207 |bibcode=1905PAmSA...9..209L}}
* Pareto V (1965) "La Courbe de la Repartition de la Richesse" (Originally published in 1896). In: Busino G, editor. ''Oevres Completes de Vilfredo Pareto''. Geneva: Librairie Droz. pp.&nbsp;1–5.
* Pareto, V. (1895). La legge della domanda. ''Giornale degli Economisti'', 10, 59–68. English translation in ''Rivista di Politica Economica'', 87 (1997), 691–700.
* Pareto, V. (1897). ''Cours d'économie politique''. Lausanne: Ed. Rouge.

== 같이 보기 ==
* [[파레토 최적]]

== 외부 링크 ==
* {{springer|title=Pareto distribution}}
* {{매스월드|title=Pareto distribution |id=ParetoDistribution}}

{{확률분포}}

{{전거 통제}}

[[분류:사회경제학]]
[[분류:연속분포]]
[[분류:확률분포]]
[[분류:보험계리학]]
[[분류:멱법칙]]