파라콤팩트 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''파라콤팩트 공간'''(paracompact空間, {{llang|en|paracompact space}})은 [[단위 분할]]의 존재를 증명하기 위하여 필요한, [[콤팩트 공간]]의 개념의 일반화이다.  수학에서 흔히 사용되는 대부분의 공간은 파라콤팩트 공간이며, 파라콤팩트성을 가정하면 [[단위 분할]]을 통해 [[해석학 (수학)|해석학]]적 구조를 쉽게 정의할 수 있다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 [[집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 [[열린 덮개]] <math>\{V_j\}_{j\in J}</math>가 존재한다면, <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>를 '''국소 유한 집합족'''({{llang|en|locally finite family of sets}})이라고 한다.<ref name="조용승"/>{{rp|68}}
* 임의의 <math>j\in J</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon U_i\cap V_j\neq\varnothing\}</math>는 [[유한 집합]]이다.
즉, 국소 유한 집합족은 모든 점에서 유한 개의 집합족 원소들과 겹치는 근방을 잡을 수 있는 집합족이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여 국소 유한 열린 덮개인 [[세분 (위상수학)|세분]]을 찾을 수 있다면, <math>X</math>를 '''파라콤팩트 공간'''이라고 한다.<ref name="조용승">{{서적 인용|저자=조용승|제목=위상수학|출판사=경문사|날짜=2010|언어=ko}}</ref>{{rp|68}}

=== 메타콤팩트 공간 ===
파라콤팩트 공간의 정의를 변형시켜 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.
* '''메조콤팩트 공간'''({{llang|en|mesocompact space}})
* '''메타콤팩트 공간'''({{llang|en|metacompact space}})
* '''직교 콤팩트 공간'''(直交-, {{llang|en|orthocompact space}})

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''콤팩트 유한 집합족'''(compact有限-, {{llang|en|compact-finite family of sets}})이라고 한다.<ref>{{서적 인용|성=Pearl|이름=Elliott|날짜=2007|제목=Open Problems in Topology II|출판사=Elsevier|isbn= 0-444-52208-5|언어=en}}</ref>{{rp|23}}
* 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon K\cap U_i\ne\varnothing\}</math>는 [[유한 집합]]이다.
즉, 콤팩트 유한 집합족은 모든 콤팩트 집합이 유한 개의 집합족 원소와 만나는 [[집합족]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''점 유한 집합족'''(點有限-, {{llang|en|point-finite family of sets}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon x\in U_i\}</math>는 [[유한 집합]]이다.
즉, 점 유한 집합족은 모든 점이 유한 개의 집합족 원소에만 포함되는 [[집합족]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''내부 보존 집합족'''(內部保存-, {{llang|en|interior-preserving family of sets}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\bigcap\{U_i\colon i\in I,\,x\in U_i\}</math>는 [[열린집합]]이다.

이 개념들로부터, 다음과 같은 꼴의 정의를 내릴 수 있다.
:[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 임의의 [[열린 덮개]]가 조건 P를 만족시키는 열린 [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다면, <math>X</math>를 '''~ 공간'''이라고 한다.
이 정의들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 개념 || [[세분 (위상수학)|세분]]의 조건
|-
! 파라콤팩트 공간
| 국소 유한 [[열린 덮개]]
|-
! 메조콤팩트 공간
| 콤팩트 유한 [[열린 덮개]]<ref>{{서적 인용|이름1=K.P.|성1=Hart|이름2=J.|성2=Nagata|이름3=J.E.|성3=Vaughan|날짜=2004|제목=Encyclopedia of General Topology|출판사=Elsevier|isbn=0-444-50355-2|언어=en}}</ref>{{rp|200}}
|-
! 메타콤팩트 공간
| 점 유한 [[열린 덮개]]
|-
! 직교 콤팩트 공간
| 내부 보존 [[열린 덮개]]
|}

=== 가산 파라콤팩트 공간 ===
파라콤팩트·메조콤팩트·메타콤팩트·직교 콤팩트 공간의 정의에서, “임의의 [[열린 덮개]]”를 “[[가산 집합|가산]] [[열린 덮개]]”로 약화시키면
* '''가산 파라콤팩트 공간'''({{llang|en|countably paracompact space}})
* '''가산 메조콤팩트 공간'''({{llang|en|countably mesocompact space}})
* '''가산 메타콤팩트 공간'''({{llang|en|countably metacompact space}})
* '''가산 직교 콤팩트 공간'''({{llang|en|countably orthoparacompact space}})
의 개념을 얻는다. 예를 들어, '''가산 파라콤팩트 공간'''은 모든 [[가산 집합|가산]] [[열린 덮개]]가 국소 유한 [[열린 덮개]]인 [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 성질 ==
~콤팩트 공간과 [[콤팩트 공간]]의 [[곱공간]]에 대하여 다음이 성립한다.
* 콤팩트 공간과 파라콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 콤팩트 공간과 메조콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 메조콤팩트 공간이다.
* 콤팩트 공간과 메타콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 메타콤팩트 공간이다.
* 콤팩트 공간과 가산 파라콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 가산 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Willard" />{{rp|159, 21A.3}}
그러나 직교 콤팩트 공간의 경우 이러한 꼴의 정리가 성립하지 않는다. 이에 대한 부분적인 결과인 '''스콧 정리'''({{llang|en|Scott’s theorem}})에 따르면, 임의의 직교 콤팩트 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>B.M. Scott, "Towards a product theory for orthocompactness", ''Studies in Topology'', N.M. Stavrakas and K.R. Allen, eds (1975), p.517–537.</ref>
* <math>X\times[0,1]</math>은 직교 콤팩트 공간이다.
* <math>X</math>는 가산 메타콤팩트 공간이다.

또한, ~콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]에 대하여 다음이 성립한다.
* 파라콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|254}}
* 메조콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 메조콤팩트 공간이다.
* 메타콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 메타콤팩트 공간이다.
* 직교 콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 직교 콤팩트 공간이다.
* 가산 파라콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 가산 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Willard" />{{rp|159, 21A.2}}

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 [[유전적 성질]]이 아니다. 또한, [[콤팩트 공간]]들을 모으면 [[티호노프 정리]]에 의해 그 곱공간 역시 [[콤팩트 공간]]이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.<ref name="Munkres"/>{{rp|253}}

=== 콤팩트성과의 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| [[콤팩트 공간]] || → || 파라콤팩트 공간 || → || 메조콤팩트 공간 || → || 메타콤팩트 공간 || → || 직교 콤팩트 공간
|-
| ↓ || || ↓ || || ↓ || || ↓ || || ↓
|-
| [[가산 콤팩트 공간]] || → || 가산 파라콤팩트 공간 || → || 가산 메조콤팩트 공간 || → || 가산 메타콤팩트 공간 || → || 가산 직교 콤팩트 공간
|}
이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
* 파라콤팩트 [[희박 콤팩트 공간]]은 콤팩트 공간이다.
* 메타콤팩트 [[가산 콤팩트 공간]]은 콤팩트 공간이다.
* 파라콤팩트 [[정칙 공간]]은 [[준파라콤팩트 공간]]이다.
* 모든 [[열린 덮개]]가 국소 유한 [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는 [[정칙 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.
* ('''[[모리타 정리]]''' {{llang|en|Morita’s theorem}}) [[정칙 공간|정칙]] [[린델뢰프 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|257}}<ref name="Morita"/> 특히, 모든 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[제2 가산 공간]]은 파라콤팩트 공간이다. 반대로, [[가산 강하향 반사슬 조건]]을 만족시키는 파라콤팩트 공간은 [[린델뢰프 공간]]이다. 특히, [[분해 가능]] 파라콤팩트 공간은 [[린델뢰프 공간]]이다.
* [[국소 콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[위상군]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
* [[완전 정규 공간]]은 가산 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Willard" />{{rp|159, 21A.1}}
* [[순서 위상]]을 갖춘 [[전순서 집합]]의 임의의 [[부분 집합]]은 직교 콤팩트 공간이자 가산 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Künzi">{{저널 인용
|성1=Künzi
|이름1=Hans-Peter A.
|제목=Kelley’s conjecture and preorthocompactness
|url=https://archive.org/details/sim_topology-and-its-applications_1987-06_26_1/page/n18
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=26
|호=1
|쪽=13–23
|날짜=1987
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/0166-8641(87)90022-8
|mr=0893800
|zbl=0623.54012
}}</ref>{{rp|17}}
* [[순서 위상]]을 갖춘 [[전순서 집합]]이 메타콤팩트 공간이라면, 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Gulden">{{저널 인용
|성1=Gulden
|이름1=S. L.
|성2=Fleischman
|이름2=W. M.
|제목=Linearly ordered topological spaces
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=24
|쪽=197–203
|날짜=1970
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2036727
|mr=0250272
|zbl=0203.55104
}}</ref>{{rp|199, Theorem 1}}

=== 파라콤팩트 하우스도르프 공간 ===
파라콤팩트 공간에 [[하우스도르프 공간]]의 조건을 추가하면, 여러 유용한 성질들이 성립한다. (이 때문에, 일부 문헌에서는 모든 파라콤팩트 공간이 하우스도르프 공간이 되게 정의한다.) 이 가운데 가장 중요한 것인 '''디외도네 정리'''({{llang|en|Dieudonne’s theorem}})에 따르면, 모든 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]은 [[정규 공간]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|253}}
[[모리타 정리]]와 디외도네 정리로부터, [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[린델뢰프 공간]]에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]임을 알 수 있다.
* [[정칙 공간]]이다.
* [[정규 공간]]이다.
* 파라콤팩트 공간이다.

[[하우스도르프 공간]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 파라콤팩트 공간이다.
* 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여, 이에 종속되는 [[단위 분할]]이 존재한다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 [[열린 덮개|열린]] [[성형 세분]]을 갖는다.<ref name="Willard"/>{{rp|151, Corollary 20.15}}
* 모든 [[열린 덮개]]는 [[열린 덮개|열린]] [[성형 세분|무게 중심 세분]]을 갖는다.<ref name="Willard">{{서적 인용
|성1=Willard
|이름1=Stephen
|제목=General topology
|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0
|언어=en
|총서=Addison-Wesley Series in Mathematics
|출판사=Addison-Wesley
|위치=Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario
|날짜=1970
|isbn=978-0-201-08707-9
|mr=0264581
|zbl=0205.26601
}}</ref>{{rp|149, Theorem 20.14}}
따라서, 파라콤팩트성은 [[미분기하학]]에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.

또한, [[스미르노프 거리화 정리]]에 따르면, 임의의 위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
* 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 거리화 가능 공간]]이다.
* [[거리화 가능 공간]]이다.
따라서, 파라콤팩트 공간의 개념은 [[거리화 가능성]]과 밀접하게 연관되어 있다. 특히, 모든 [[거리 공간]]은 파라콤팩트 공간이다.

이 밖에도, 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]에 대하여 다음이 성립한다.
* [[완전 사상]]({{llang|en|perfect map}}) <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>Y</math>가 파라콤팩트 공간일 때 <math>X</math>도 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260, Exercise 8.(a)}} [[닫힌 함수|닫힌]] [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>X</math>가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 <math>f(X)</math> 역시 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="MichaelErnestAnother">{{저널 인용
|성1=Michael
|이름1=Ernest
|제목=Another note on paracompact spaces
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=8
|쪽=822–828
|날짜=1957
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2033306
|mr=0087079
|zbl=0078.14805
}}</ref>{{rp|823, Corollary 1}}<ref name="Willard"/>{{rp|148, Theorem 20.12.(b)}}<ref name="Munkres"/>{{rp|260, Exercise 8.(b)}}
* [[완전 사상]]({{llang|en|perfect map}}) <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>Y</math>가 메타콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 <math>X</math>도 메타콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Engelking"/>{{rp|329, Exercise 5.3.H}} [[닫힌 함수|닫힌]] [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 메타콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이며, <math>Y</math>가 [[하우스도르프 공간]]일 때, <math>f(X)</math> 역시 메타콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|325, Theorem 5.3.7}}
* [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]의 [[유한 집합|유한 개]] 파라콤팩트 [[닫힌집합]]들의 [[합집합]] 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 속의 [[가산 집합|가산 개]] 파라콤팩트 [[닫힌집합]]들의 [[내부 (위상수학)|내부]]가 이루는 [[집합족]]이 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}

== 예 ==
[[긴 직선]]은 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.

[[조르겐프라이 직선]]은 파라콤팩트 공간이지만, 두 조르겐프라이 직선의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이 아니다.

== 역사 ==
1940년에 존 윌더 튜키({{llang|en|John Wilder Tukey}})는 "완전 정규 공간"({{llang|en|fully normal space}})이라는 개념을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John W.|성=Tukey|제목=Convergence and Uniformity in Topology|총서=Annals of Mathematics Studies|권=2|출판사=Princeton University Press|날짜=1940|mr=0002515|언어=en}}</ref><ref name="SS">{{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr.|성2=Seebach|제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}</ref>{{rp|165}} 1944년에 [[프랑스]]의 수학자 [[장 디외도네]]는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.<ref name="SS"/>{{rp|165}}<ref>{{저널 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|저자링크=장 디외도네|날짜=1944|제목=Une généralisation des espaces compacts|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)|권=23|쪽=65–76|issn=0021-7824|mr=0013297|언어=fr}}</ref> 1948년에 아서 해럴드 스톤({{llang|en|Arthur Harold Stone}})은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 ([[하우스도르프 공간|하우스도르프 조건]] 아래) 서로 [[동치]]임을 증명하였다.<ref name="SS"/>{{rp|165}}<ref>{{저널 인용|날짜=1948-10|제목=Paracompactness and product spaces|이름=A. H.|성=Stone|mr=0026802|zbl=0032.31403|doi=10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 |issn= 0273-0979|권=54|호=10|언어=en}}</ref>

[[모리타 정리]]는 [[모리타 기이치]]가 1948년에 증명하였다.<ref name="Morita">{{저널 인용|이름=Kiiti|성=Morita|저자링크=모리타 기이치|제목= 
Star-finite coverings and the  star-finite property|저널=Mathematica Japonicae |권=1|날짜=1948|쪽=60-68|zbl=0041.09704|언어=en}}</ref><ref name="SS"/>{{rp|165}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=P.|성=Fletcher|이름2=W. F.|성2=Lindgren|제목=Quasi-uniform spaces|출판사=Marcel Dekker|날짜=1982|isbn=0-8247-1839-9|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Paracompact space}}
* {{매스월드|id=ParacompactSpace|title=Paracompact space}}
* {{nlab|id=paracompact topological space|title=Paracompact topological space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Paracompact_space|제목=Paracompact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2012/11/08/cartesian-products-of-two-paracompact-spaces/|제목=Cartesian products of two paracompact spaces|날짜=2012-11-08|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2009/10/18/ccc-paracompact-lindelof/|제목=CCC + Paracompact => Lindelof|날짜=2009-10-18|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]