파동 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Wave equation 1D fixed endpoints.gif|섬네일|양 끝이 고정된 줄을 따라 전달되는 파동]]
[[파일:Spherical wave2.gif|섬네일|한 점으로 이루어진 파동원에서 퍼져나오는 파동]]

[[물리학]]과 [[수학]]에서 '''파동 방정식'''(波動方程式, {{lang|en|wave equation}})은 일반적인 [[파동]]을 다루는 2차 [[편미분 방정식]]이다. [[음파]]와 [[전자기파]], [[수면파]] 등을 다루기 위하여 [[음향학]], [[전자기학]], [[유체역학]] 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. [[양자역학]]에서 [[위치 에너지]]가 없는 경우 [[파동 함수]]는 파동 방정식을 따른다.

== 개요 ==
파동 방정식은 <math>u(\mathbf x,t)</math>에 대한 선형 쌍곡 [[편미분 방정식]]으로, 다음과 같다.
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u </math>
여기서 <math>c</math>는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 [[음속]](音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 <math>c</math>는 다양한 값을 가질 수 있다.
<math>u(\mathbf x,t)</math>는 시각 <math>t</math>, 위치 <math>\mathbf x</math>에서의 파동의 [[진폭]]을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 <math>u</math>는 [[스칼라]] 또는 [[벡터 (물리)|벡터]]일 수 있다. <math>\nabla^2</math>는 위치 <math>x</math>에 대한 [[라플라스 연산자]]이다.

기본적인 파동 방정식은 [[선형 미분 방정식]]이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. [[푸리에 변환]]을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.

<math>x</math>축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math>

2차원에선 다음과 같다.
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right ) </math>

식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.

== 역사 ==
현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 [[장 르 롱 달랑베르]], [[레온하르트 오일러]], [[다니엘 베르누이]], [[조제프루이 라그랑주]] 등이 연구하였다.
== 같이 보기 ==
* [[헬름홀츠 방정식]]
* [[라플라스 연산자]]
* [[맥스웰 방정식]]
* [[슈뢰딩거 방정식]]
* [[정상파]]

{{위키공용분류}}
{{전거 통제}}
{{토막글|과학}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:파동]]
[[분류:물리학 개념]]