티호노프 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''티호노프 정리'''(Тихонов定理, {{llang|en|Tychonoff’s theorem}})는 임의의 수의 [[콤팩트 공간]]들의 [[곱공간]]이 [[콤팩트 공간]]이라는 정리다. [[우리손 보조정리]]와 함께 일반위상수학에서 가장 중요한 결과 중 하나로 꼽힌다.{{sfnp|Willard|2004|p=120}}

== 정의 ==
'''티호노프 정리'''에 따르면, [[콤팩트 공간]]들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[곱공간]]
:<math>\prod_{i\in I}X_i</math>
는 [[콤팩트 공간]]이다.

[[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 공리들을 가정하면, 티호노프 정리는 [[선택 공리]]와 [[동치]]이다.

=== 선택 공리와의 관계 ===
[[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 다음 명제들 역시 서로 동치이다.
* 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 콤팩트 공간이다.
* 모든 필터는 극대 필터에 포함된다.
* 모든 그물은 극대 부분 그물을 가진다.
* [[불 소 아이디얼 정리]](BPI)
ZF+BPI는 ZF보다 강하고 ZFC보다 약한 이론이다. 티호노프 정리를 여러 종류의 공간에 제한시켰을 때 얼마나 강력한가는 집합론적 위상수학에서 활발히 연구되는 문제이다.

=== 장소 ===
[[장소 (수학)|장소]]에 대한 티호노프 정리는 [[선택 공리]]나 [[불 소 아이디얼 정리]]를 가정하지 않아도 성립한다.

== 증명 ==
티호노프 정리는 여러 방법으로 증명할 수 있다. 물론 모든 증명은 [[선택 공리]]의 한 형태를 사용한다.

=== 부분 기저를 통한 증명 ===
[[알렉산더 부분 기저 정리]]를 알면 티호노프 정리가 필터나 그물의 개념 없이 쉽게 따라나온다. 알렉산더 부분 기저 정리에 따르면 [[부분 기저]]가 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 [[콤팩트 공간]]일 [[필요충분조건]]은 부분 기저 속의 [[열린집합]]들로 구성된 모든 [[덮개 (위상수학)|덮개]]가 유한 부분 덮개를 갖는 것이다. 하지만 알렉산더 부분 기저 정리 자체의 증명은 보통 필터를 사용한다.

곱공간 <math>\prod_{i\in I}X_i</math>는 표준적인 [[부분 기저]]
:<math>\mathcal S=\{\pi_i^{-1}(U_i)\colon i\in I,\;U_i\in\operatorname{Open}(X_i)\}</math>
를 갖는다. 여기서
:<math>\pi_i\colon\prod_{j\in I}X_j\to X_i</math>
는 곱공간에서 그 <math>i</math>번째 성분으로 가는 사영 함수이다.

이제, 이 부분 기저의 부분 집합 <math>\mathcal A\subseteq\mathcal S</math>가 <math>\prod_{i\in I}X_i</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이루는 유한 부분 집합을 갖지 않는다고 가정하자. 그렇다면 <math>\mathcal A</math>가 <math>\prod_{i\in I}X_i</math>의 덮개가 아님을 보이는 것으로 족하다. 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여,
:<math>\mathcal U_i=\{U_i\in\operatorname{Open}(X_i)\colon\pi_i^{-1}(U_i)\in\mathcal A\}</math>
의 모든 유한 부분 집합은 <math>X_i</math>의 덮개가 아니며, <math>X_i</math>가 콤팩트 공간이므로 <math>\mathcal U_i</math>는 <math>X_i</math>의 덮개가 아니다. 선택 공리에 따라
:<math>\varnothing\subsetneq\prod_{i\in I}\left(X_i\setminus\bigcup\mathcal U_i\right)\subseteq\left(\prod_{i\in I}X_i\right)\setminus\left(\bigcup\mathcal A\right)</math>
이다. 즉, <math>\mathcal A</math>는 <math>\prod_{i\in I}X_i</math>의 덮개가 아니다.

=== 극대 필터를 통한 증명 ===
보다 현대적인 증명으로, [[앙리 카르탕]]이 제시하고 [[니콜라 부르바키|부르바키]]가 발전시킨 [[필터 (수학)|필터]]의 수렴 이론을 사용하는 것이 있다. 어느 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 [[콤팩트 공간]]임은 그 공간의 모든 [[극대 필터]]가 수렴함과 동치이다. 극대 필터에 [[연속 함수]]를 가한 필터는 다시 극대 필터이며, 특히 이 연속 함수는 곱공간에서 성분 공간으로 가는 사영으로 취할 수 있다. 마지막으로 곱공간 위의 필터가 수렴하는 것은 각 성분으로 사영한 필터들이 모두 수렴하는 것과 동치이다. 위 결과들로부터 티호노프 정리를 비교적 짧게 증명할 수 있다. [[제임스 멍크레스]]의 위상수학 교과서에는 카르탕의 증명을 필터 이론의 용어를 사용하지 않도록 수정한 증명이 나와 있다.

곱공간 <math>\prod_{i\in I}X_i</math> 위의 임의의 [[극대 필터]] <math>\mathcal F</math>가 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여,
:<math>\pi_i(\mathcal F)={\uparrow\{\pi_i(F)\colon F\in\mathcal F\}}</math>
는 <math>X_i</math> 위의 극대 필터이며 (<math>\uparrow</math>는 [[상폐포]]), <math>X_i</math>가 콤팩트 공간이므로 이는 어떤 점 <math>x_i\in X_i</math>로 수렴한다. (<math>\pi_i(\mathcal F)</math>의 극한은 유일하지 않을 수 있으며, 각 <math>i\in I</math>에 대하여 하나의 극한 <math>x_i</math>를 취하는 것은 선택 공리를 필요로 한다.) 따라서 <math>\mathcal F</math>는
:<math>x=(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i</math>
로 수렴한다.

=== 극대 그물을 통한 증명 ===
필터와 그물의 대응 관계에 따라 극대 필터를 통한 증명을 그물의 언어로 번역할 수 있다.

임의의 [[극대 그물]] <math>(x^d)_{d\in D}\subseteq\prod_{i\in I}X_i</math>가 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>(x^d_i)_{d\in D}</math>는 <math>X_i</math> 위의 극대 그물이며, <math>X_i</math>가 콤팩트 공간이므로 <math>x^d_i\to x_i</math>인 <math>x_i\in X_i</math>가 존재한다. (각 그물 <math>(x^d_i)_{d\in D}</math>의 극한 <math>x_i</math>를 취하는 데에는 선택 공리가 필요하다.) 따라서 <math>x^d\to x</math>이다.

=== 그물의 집적점을 통한 증명 ===
다음은 폴 처노프가 1992년에 발표한 증명이다.{{sfnp|Chernoff|1992}} [[그물 (수학)|그물]]의 개념을 사용하지만 극대 그물은 사용하지 않는다. 이 증명은 먼저 그물의 부분 집적점({{llang|en|partial cluster point}})의 개념을 도입하여 극대 부분 집적점의 존재를 보인 뒤 이 극대 부분 집적점이 사실 그물의 집적점임을 보인다.

곱공간 <math>\prod_{i\in I}X_i</math> 위의 임의의 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x^d)_{d\in D}</math>가 [[집적점]]을 가짐을 보이는 것으로 족하다. <math>S</math>가
:<math>((x^d_i)_{i\in J})_{d\in D}</math>
:<math>J\subseteq I</math>
꼴의 그물들의 집적점
:<math>(x_i)_{i\in J}\in\prod_{i\in J}X_i</math>
들의 집합이라고 하자. <math>S</math> 위에 다음과 같은 [[부분 순서]]를 줄 수 있다.
:<math>(x_i)_{i\in J}\le(y_i)_{i\in K}\iff J\subseteq K\land\forall i\in J\colon x_i=y_i</math>
임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]]
:<math>\{(x_i)_{i\in J}\colon J\in\mathcal J\}\subseteq S</math>
에 대하여, <math>(x_i)_{i\in\bigcup\mathcal J}\in S</math>이며, 이는 사슬의 [[상계 (수학)|상계]]를 이룬다. [[초른 보조정리]]에 따라, <math>S</math>는 [[극대 원소]] <math>(x_i)_{i\in J}\in S</math>를 갖는다.

이제, <math>J=I</math>임을 보이면 충분하다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>k\in I\setminus J</math>라고 가정하자. <math>X_k</math>가 콤팩트 공간이므로 그물 <math>(x^d_k)_{d\in D}</math>는 집적점 <math>x_k\in X_k</math>를 갖는다. 그렇다면 <math>(x_i)_{i\in J\cup\{k\}}</math>는 <math>((x^d_i)_{i\in J\cup\{k\}})_{d\in D}</math>의 집적점이다. 따라서 <math>(x_i)_{i\in J\cup\{k\}}\in S</math>이며 <math>(x_i)_{i\in J\cup\{k\}}>(x_i)_{i\in J}</math>이다. 즉, <math>(x_i)_{i\in J}</math>는 [[극대 원소]]가 아니며, 이는 모순이다.

=== 완비 집적점을 통한 증명 ===
티호노프가 1930년에 발표한 증명은 [[완비 집적점]]의 개념과 [[초한 귀납법]]을 사용한다. [[콤팩트 공간]]은 모든 [[무한 집합]]이 [[완비 집적점]]을 가지는 공간과 [[동치]]라는 사실을 사용한다.

[[정렬 정리]]에 따라, 편의상 어떤 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여 <math>I</math>가 <math>\{\beta\colon\beta<\alpha\}</math> 꼴의 집합이라고 하자. 임의의 무한 집합 <math>A\subseteq\prod_{\beta<\alpha}X_\beta</math>가 [[완비 집적점]]을 가짐을 보이는 것으로 족하다. 임의의 <math>\beta<\alpha</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>x_\beta\in X_\beta</math>를 찾으면 충분하다.
* 임의의 [[근방]] <math>U\ni(x_\gamma)_{\gamma\le\beta}</math>에 대하여, <math>\left|A\cap\left(U\times\prod_{\beta<\gamma<\alpha}X_\gamma\right)\right|=|A|</math>
[[초한 귀납법]]에 따라, <math>\beta<\alpha</math>이며, <math>(x_\gamma)_{\gamma<\beta}\in\prod_{\gamma<\beta}X_\gamma</math>가 위 조건을 만족시킬 때, 위 조건을 만족시키는 <math>x_\beta\in X_\beta</math>를 찾을 수 있음을 보이면 충분하다. [[귀류법]]을 사용하여 임의의 <math>y\in X_\beta</math>에 대하여,
:<math>\left|A\cap\left(\prod_{\gamma\in J(y)}U_\gamma(y)\times\prod_{J(y)\not\ni\gamma<\beta}X_\gamma\times V(y)\times\prod_{\beta<\gamma<\alpha}X_\gamma\right)\right|<|A|</math>
인 유한 집합 <math>J(y)\subseteq\{\gamma\colon\gamma<\beta\}</math> 및 근방
:<math>U_\gamma(y)\ni x_\gamma\qquad(\gamma\in J(y))</math>
:<math>V(y)\ni y</math>
가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 <math>\{V(y)\colon y\in X_\gamma\}</math>는 유한 부분 덮개 <math>\{V(y_1),V(y_2),\dots,V(y_n)\}</math>를 갖는다.
:<math>\gamma=\sup\bigcup_{i=1}^nJ(y_i)<\beta</math>
라고 하자. 그렇다면
:<math>U=\bigcap_{i=1}^n\left(\prod_{\delta\in J(y_i)}U_\delta(y_i)\times\prod_{J(y_i)\not\ni\delta<\beta}X_\delta\right)</math>
는 <math>(x_\delta)_{\delta\le\gamma}</math>의 근방이며
:<math>\left|A\cap\left(U\times\prod_{\gamma<\delta<\alpha}X_\delta\right)\right|<|A|</math>
이다. 즉, <math>x_\gamma</math>는 위 조건을 만족시키지 않으며, 이는 모순이다.

=== 티호노프 정리가 선택 공리를 함의함의 증명 ===
1950년에 켈리는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 티호노프 정리가 선택 공리를 함의함을 보였다. 즉 티호노프 정리는 모든 벡터 공간이 기저를 가진다는 명제처럼 선택 공리와 동치인 여러 기본적 명제 중 하나이다.

티호노프 정리를 사용해, 공집합이 아닌 집합들의 곱집합은 공집합이 아님을 보일 수 있다. 이 명제는 물론 선택 공리와 동치이다. 증명에서 가장 어려운 부분은 각 집합을 콤팩트하게 만드는 적당한 위상을 찾는 것인데, [[여유한 위상]]을 약간 수정한 위상이 바로 그 역할을 한다. 티호노프 정리에 따라 곱공간도 콤팩트 공간이 되고, [[유한 교차성]]을 이용하면 증명이 끝난다. 다음 증명은 [[존 리로이 켈리]]가 제시한 것이다.

<math>\{A_i\}</math>가 공아닌 집합들의 첨수집합족이라고 하자. 이때 각 <math>i</math>는 첨수집합 <math>I</math>에 속한다. 이 집합들의 곱이 공집합이 아님을 보이려고 한다. 각 <math>i</math>에 대해, 집합 <math>A_i</math>와 <math>\{i\}</math>의 [[분리합집합]]을 <math>X_i</math>라 하자. (이때 첨수를 적당히 바꿔서 <math>i</math>가 <math>A_i</math>의 원소가 아니게 할 수 있다. 그러면 단순히 <math>X_i = A_i \cup \{i\}</math>이라고 생각해도 된다.)

이제 곱집합 <math>X</math>를 다음과 같이 정의하고,
:<math>X = \prod_{i \in I} X_i</math>
<math>X</math>의 각 원소를 그 <math>i</math>번째 성분에 대응시키는 정사영 <math>\pi_i</math>를 정의하자.

각 <math>X_i</math>에 위상을 주는데, <math>X_i</math>의 [[여유한 집합|여유한 부분집합]], 공집합, 그리고 한원소집합 <math>\{i\}</math>만이 열린집합이 되도록 한다. 그러면 <math>X_i</math>는 콤팩트하고, 티호노프 정리에 따라 <math>X</math>도 콤팩트하다. 정사영 <math>\pi_i</math>는 연속이고, <math>A_i</math>는 <math>\{i\}</math>의 여집합으로서 <math>X_i</math>에서 닫힌집합이므로, 역상 <math>\pi_i^{-1} (A_i)</math>도 <math>X</math>에서 닫힌집합이다. 이때
:<math>\prod_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} \pi_i^{-1}(A_i) </math>
이다. 이제 각 역상이 공집합이 아니고 유한 교차성을 지님을 보인다. <math>i_1, \cdots, i_N</math>이 <math>I</math>에 속한 유한 개의 첨수라 하자. 그러면 유한 곱 <math>A_{i_1} \times \cdots \times A_{i_N}</math>은 공집합이 아니다. (유한 곱이므로 선택 공리는 불필요하다.) <math>a = (a_1, \cdots, a_N)</math>가 이 곱집합의 원소라 하자. 이제 <math>a</math>를 전체 첨수집합으로 확장하여 함수 <math>f</math>를 다음과 같이 정의한다.
: <math>f(j) = \begin{cases} a_k & \text{if } j = i_k, \\ j & \text{otherwise.} \end{cases}</math>
(각 성분 공간에 한 점을 더한 이유가 바로 여기에 있다. <math>X_j</math>에서 점 <math>j</math>를 고르는 데는 선택 공리가 필요없으므로, <math>X</math>의 한 점 <math>f</math>를 선택 공리 없이 구성할 수 있는 것이다.) <math>\pi_{i_k}(f) = a_k</math>는 물론 <math>A_{i_k}</math>의 원소이므로, <math>f</math>는 각 역상에 모두 속한다. 따라서, 다음을 얻는다.
:<math>\bigcap_{k = 1}^N \pi_{i_k}^{-1}(A_{i_k}) \neq \varnothing.</math>

콤팩트 공간 <math>X</math>의 닫힌 부분집합족 <math>\{\pi_i^{-1} (A_i)\}_{i \in I}</math>이 유한 교차성을 지니므로, 그 교집합은 공집합이 아니다. 이것으로 증명이 끝난다.

== 응용 ==
티호노프 정리는 다른 여러 정리의 증명에 쓰인다. 그 중에는 [[노름 공간]]의 쌍대 공간의 단위공이 [[약한-* 위상]]에서 콤팩트하다는 [[바나흐-앨러오글루 정리]]나, 함수열이 [[균등수렴]]하는 부분열을 가질 조건을 말하는 [[아르첼라-아스콜리 정리]]처럼 특정 공간의 콤팩트성에 관한 정리들이 있다. 또한 겉보기에 콤팩트성과 거리가 멀어 보이는 정리, 이를테면 모든 [[임계 그래프]]가 유한 그래프라는 [[더브라윈-에르되시 정리]]나 [[세포 자동자]]의 위상적 특징에 관한 [[커티스-헤들런드-린든 정리]]도 있다.

일반적으로, 단순한 대수적·대수위상적인 대상들을 가지고 콤팩트 공간을 구성할 때는 티호노프 정리가 쓰일 가능성이 크다. 예를 들어 가환 [[C* 대수]]의 극대 아이디얼들이 이루는 [[겔판트 공간]], [[불 대수]]의 극대 아이디얼들이 이루는 [[스톤 공간]], 가환 [[바나흐 환]]의 [[베르코비치 스펙트럼]] 따위가 그렇다.

== 역사 ==
1930년에 [[안드레이 티호노프 (수학자)|안드레이 티호노프]]가 닫힌 단위 [[구간]]의 곱에 대하여 증명하였다.{{sfnp|Tychonoff|1930}} 그 후 1935년에 티호노프는 정리가 일반적인 경우에도 성립하며 그 증명은 단위 구간의 경우와 똑같다고 적었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{인용|last=Chernoff |first=Paul R. |title=A simple proof of Tychonoff's theorem via nets |journal=American Mathematical Monthly |volume=99 |issue=10 |pages=932–934 |year=1992 |doi=10.2307/2324485 |jstor=2324485}}.
* {{인용|last=Johnstone |first=Peter T. |title=Stone spaces |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |volume=3 |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1982 |isbn=0-521-23893-5 }}.
* {{인용|last=Johnstone |first=Peter T. |title=Tychonoff's theorem without the axiom of choice |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=113 |pages=21–35 |year=1981 |doi=10.4064/fm-113-1-21-35|doi-access=free }}.
* {{인용|last=Kelley |first=John L. |title=Convergence in topology |journal=Duke Mathematical Journal |volume=17 |issue=3 |pages=277–283 |year=1950 |doi=10.1215/S0012-7094-50-01726-1 }}.
* {{인용|last=Kelley |first=John L. |title=The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=37 |pages=75–76 |year=1950 |doi=10.4064/fm-37-1-75-76|doi-access=free }}.
* {{서적 인용
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
|언어=en
}}
* {{인용|last=Tychonoff |first=Andrey N. |authorlink=안드레이 티호노프 (수학자)||title=Über die topologische Erweiterung von Räumen |journal=Mathematische Annalen |volume=102 |issue=1 |pages=544–561 |year=1930 |doi=10.1007/BF01782364 |language = de}}.
* {{인용|last=Wilansky |first=A. |title=Topology for Analysis| publisher=Ginn and Company |year=1970}}
* {{서적 인용
       | last=Willard
       | first=Stephen
       | title=General Topology
       | url=https://archive.org/details/generaltopology0000will
       | edition=First
       | publisher=Dover Publications
       | location=Mineola, N.Y.
       | year=2004
       | orig-year=1970
       | series=Dover Books on Mathematics
       | isbn=978-0-486-43479-7
       | oclc=115240
       }}
* {{인용|last=Wright|first= David G.|title= Tychonoff's theorem. |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=120  |year=1994 |issue= 3 |pages=985–987 |doi=10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2|doi-access=free }}.

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Tikhonov theorem}}
* {{nlab|id=Tychonoff theorem}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Tychonoff%27s_Theorem|제목=Tychonoff's theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2014-11-19|보존url=https://web.archive.org/web/20140215062855/http://www.proofwiki.org/wiki/Tychonoff%27s_Theorem|보존날짜=2014-02-15|url-status=dead}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:위상수학 정리]]
[[분류:선택 공리]]