티호노프 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{분리공리}}
[[일반위상수학]]에서 '''티호노프 공간'''(Тихонов空間, {{llang|en|Tychonoff space}}) 또는 '''T<sub>3½</sub> 공간'''({{llang|en|''T''<sub>3½</sub> space}})은 점과 [[닫힌집합]]을 [[연속 함수]]로 분리할 수 있는 [[하우스도르프 공간]]이며, 이는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 [[부분 공간]]인 조건과 [[동치]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''완비 정칙 공간'''(完備正則空間, {{llang|en|completely regular space}})이라고 한다.
* (점과 [[닫힌집합]]의 실함수를 통한 분리) 임의의 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math> 및 <math>x\in X\setminus C</math>에 대하여, <math>f(x)=0</math>이며 <math>f(C)=\{1\}</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>이 존재한다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231}}
* <math>X</math>의 위상은 어떤 [[연속 함수]]들의 집합 <math>\mathcal F\subseteq\mathcal C(X,\mathbb R)</math>에 대한 [[시작 위상]]이다.<ref name="Gillman">{{서적 인용
|이름1=Leonard
|성1=Gillman
|이름2=Meyer
|성2=Jerison
|제목=Rings of continuous functions
|언어=en
|판=Reprint of the 1960 Van Nostrand edition
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=43
|출판사=Springer-Verlag
|위치=New York - Heidelberg - Berlin
|날짜=1976
|isbn=978-0-387-90198-5
|doi=10.1007/978-1-4615-7819-2
|mr=0407579
|zbl=0327.46040
}}</ref>{{rp|40, Theorem 3.6–3.7}}<ref name="Engelking" />{{rp|48, Exercise 1.5.E, (a)}}
* <math>X</math>의 위상은 [[연속 함수]]의 집합 <math>\mathcal C(X,\mathbb R)</math>에 대한 [[시작 위상]]이다.<ref name="Gillman" />{{rp|40, Theorem 3.6}}
* <math>X</math>의 위상은 [[유계 함수|유계]] [[연속 함수]]의 집합 <math>\mathcal C_{\text{bd}}(X;\mathbb R)</math>에 대한 [[시작 위상]]이다.<ref name="Gillman" />{{rp|40, Theorem 3.6}}
* (균등화 가능성 {{llang|en|uniformizability}}) <math>X</math> 위에 그 위상과 호환되는 [[균등 공간]] 구조가 존재한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''티호노프 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>는 [[콜모고로프 공간]]이며 완비 정칙 공간이다.
* <math>X</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이며 완비 정칙 공간이다.<ref name="유정옥">{{서적 인용|저자=유정옥|제목=알기쉬운 위상수학|출판사=교우사|isbn=978-89-8172-528-0|날짜=2013|판=2판|url=http://www.kyowoo.co.kr/02_sub/view.php?p_idx=310|언어=ko}}</ref>{{rp|231}}
* <math>X</math>는 [[하우스도르프 공간]]이며 완비 정칙 공간이다.
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 [[부분 집합]]과 [[위상 동형]]이다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231}}
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 [[조밀 집합]]과 [[위상 동형]]이다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231}}
* <math>X</math>는 <math>[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}</math>의 부분 집합과 [[위상동형]]이다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231}} 여기서 <math>\mathcal C(X,Y)</math>는 <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 [[연속 함수]]들의 [[집합]]이며,  <math>[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}</math>는 표준 위상을 부여한 단위 구간 <math>[0,1]</math>의 <math>|\mathcal C(X,[0,1])|</math>개 만큼의 [[곱공간]]이다. 이는 [[티호노프 정리]]에 의하여 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이다.
* <math>X</math>에서 그 [[스톤-체흐 콤팩트화]] <math>\beta X</math>로 가는 [[연속 함수]] <math>\iota\colon X\to\beta X</math>에 대하여, <math>X</math>는 그 [[상 (수학)|상]]과 [[위상 동형]]이다.
* <math>X</math> 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 [[균등 공간]] 구조가 존재한다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.<ref name="유정옥"/>{{rp|231–232}}
:[[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]](T<sub>4</sub>) ⊊ 티호노프 공간(T<sub>3½</sub>) ⊊ ([[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]](T<sub>3</sub>) ∩ [[완비 하우스도르프 공간]])

완비 정칙 공간의 [[부분 공간]]은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 [[곱공간]]은 완비 정칙 공간이다.<ref name="James">{{서적 인용
|성=James
|이름=I. M.
|제목=Topological and Uniform Spaces
|url=https://archive.org/details/topologicalunifo0000jame
|언어=en
|총서=Undergraduate Texts in Mathematics
|출판사=Springer-Verlag
|위치=New York, NY
|날짜=1987
|isbn=978-1-4612-9128-2
|issn=0172-6056
|doi=10.1007/978-1-4612-4716-6
|zbl=0625.54001
}}</ref>{{rp|141}}<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|211}} [[하우스도르프 공간]]의 [[부분 공간]]과 [[곱공간]]은 [[하우스도르프 공간]]이므로, 티호노프 공간의 [[부분 공간]]과 임의 개수 [[곱공간]] 역시 티호노프 공간이다.
{{증명}}
완비 정칙 공간 <math>X</math>와 그 [[부분 공간]] <math>Y\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. [[닫힌집합]] <math>C\subseteq Y</math> 및 <math>y\in Y\setminus F</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>C=F\cap Y</math>인 [[닫힌집합]] <math>F\subseteq X</math>가 존재하며, 이에 대하여 <math>f(y)=0</math>, <math>f(F)=\{1\}</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>이 존재한다. <math>g=f\restriction Y</math>라고 하자. 그렇다면 <math>g</math>는 [[연속 함수]]이며, <math>g(y)=0</math> 및 <math>g(C)=\{1\}</math>을 만족시킨다.

완비 정칙 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. [[곱공간]] <math>X=\textstyle\prod_{i\in I}X_i</math>의 [[닫힌집합]] <math>C</math> 및 <math>x\in X\setminus C</math>가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 <math>x</math>의 [[열린 근방]] <math>\textstyle\prod_{i\in I}U_i</math>를 취하자.
:<math>x\in\prod_{i\in I}U_i\subseteq X\setminus C</math>
:<math>U_i\in\operatorname{Open}(X_i)</math>
:<math>U_i=X_i\qquad\forall i\in I\setminus\{i(1),\dotsc,i(n)\}</math>
그렇다면 각 <math>j\in\{1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, <math>f_j(x_{i(j)})=0</math>, <math>f_j(X_{i(j)}\setminus U_{i(j)})=\{1\}</math>인 [[연속 함수]] <math>f_j\colon X_{i(j)}\to[0,1]</math>이 존재한다.
:<math>g\colon X\to[0,1]</math>
:<math>g\colon y\mapsto 1-(1-f_1(y_{i(1)}))\cdots(1-f_n(y_{i(n)}))</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>g</math>는 [[연속 함수]]이며, <math>g(x)=0</math> 및 <math>g(C)=\{1\}</math>을 만족시킨다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 티호노프 공간이 아닌 정칙 완비 하우스도르프 공간 ===
티호노프 공간이 아닌 [[정칙 공간|정칙]] (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합
:<math>X=\{(0,-1)\}\cup\mathbb R\times[0,\infty)</math>
위에 각 점이 다음과 같은 [[국소 기저]]를 갖는 위상을 주자.
* 모든 <math>(x,y)\in\mathbb R\times(0,\infty)</math>은 [[고립점]]이다 (즉, <math>\{(x,y)\}</math>는 <math>(x,y)</math>의 [[열린 근방]]이다).
* <math>(x,0)\in\mathbb R\times\{0\}</math> 및 [[유한 집합]] <math>F</math>에 대하여, <math>(\{x\}\times[0,2]\cup\{(x+y,y)\colon y\in[0,2]\})\setminus F</math>는 <math>(x,0)</math>의 [[열린 근방]]이다.
* <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\{(0,-1)\}\cup[n,\infty)\times\mathbb R</math>는 <math>(0,-1)</math>의 [[열린 근방]]이다.
그렇다면, <math>X</math>는 [[하우스도르프 공간]]이며, [[완비 하우스도르프 공간]]이며, [[정칙 공간]]이지만, 티호노프 공간이 아니다.<ref name="Mysior">{{저널 인용
|이름1=A.
|성1=Mysior
|제목=A regular space which is not completely regular
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=81
|호=4
|쪽=652–653
|날짜=1981
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2044178
|mr=0601748
|zbl=0451.54019
}}</ref><ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|40, Example 1.5.9}}
{{증명}}
<math>X</math>가 [[하우스도르프 공간]]임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 <math>(x,y),(x',y')\in X</math>가 주어졌다고 하자. 편의상 <math>(x,y)\ne(0,-1)</math>이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, <math>U</math>와 <math>V</math>가 <math>(x,y)</math>와 <math>(x',y')</math>의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, <math>U</math>는 [[열린닫힌집합]]이다. 따라서, [[지시 함수]] <math>1_U\colon X\to[0,1]</math>은 [[연속 함수]]이며, <math>(x,y)</math>와 <math>(x',y')</math>을 분리한다.

이제, <math>X</math>의 정칙성을 확인하자. <math>(x,y)\in\mathbb R\times[0,\infty)</math>의 국소 기저 원소들은 [[열린닫힌집합]]이므로, 임의의 <math>(x,y)\in\mathbb R\times[0,\infty)</math>는 이를 포함하지 않는 [[닫힌집합]]과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, <math>(0,-1)</math>과 <math>(0,-1)\not\in F</math>인 임의의 [[닫힌집합]] <math>F</math>를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다.
:<math>(\{(0,-1)\}\cup[n,\infty))\cap F=\varnothing</math>
인 <math>n\in\mathbb N</math>을 취하자. 그렇다면
:<math>U=\{(0,-1)\}\cup[n+2,\infty)\times\mathbb R</math>
:<math>V=X\setminus(\{(0,-1)\}\cup[n+2,\infty)\times\mathbb R\cup[n,n+2]\times\{0\})</math>
는 각각 <math>(0,-1)</math>와 <math>F</math>의 [[열린 근방]]이며, <math>U\cap V=\varnothing</math>이다.

이제, <math>X</math>가 티호노프 공간이 아님을 보이자. <math>[0,1]\times\{0\}</math>은 [[닫힌집합]]이며, <math>(0,-1)\not\in[0,1]\times\{0\}</math>이다. <math>f([0,1]\times\{0\})=\{0\}</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 항상 <math>f((0,-1))=0</math>을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>K_n=f^{-1}(0)\cap([n,n+1]\times\{0\})</math>이 [[무한 집합]]임을 보이는 것으로 충분하다. [[수학적 귀납법]]을 사용하여, [[가산 무한 집합]] <math>C\subseteq K_n</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>(c,0)\in C</math>에 대하여,
:<math>\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\}\setminus f^{-1}(0)=\bigcup_{i=1}^\infty\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\}\setminus f^{-1}((-1/i,1/i))</math>
는 가산 개의 [[유한 집합]]의 합집합이므로 [[가산 집합]]이다. <math>C</math>가 [[가산 집합]]이므로,
:<math>P=\left\{(x,0)\colon (x,y)\in\bigcup_{c\in C}\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\}\setminus f^{-1}(0)\right\}</math>
은 [[가산 집합]]이며, <math>([n+1,n+2]\times\{0\})\setminus P</math>는 [[무한 집합]]이다. 임의의 <math>(x,0)\in([n+1,n+2]\times\{0\})\setminus P</math> 및 <math>(c,0)\in C</math>에 대하여, <math>\{x\}\times[0,2]</math>와 <math>\{(c+y,y)\colon y\in[0,2]\}</math>의 교점은 <math>f^{-1}(0)</math>에 속한다. <math>C</math>가 [[무한 집합]]이므로, <math>(x,0)</math>의 모든 근방은 <math>f^{-1}(0)</math>의 점을 포함한다. <math>f</math>의 <math>(x,0)</math>에서의 연속성에 따라 <math>f((x,0))=0</math>이다. 즉, <math>([n+1,n+2]\times\{0\})\setminus P\subseteq K_{n+1}</math>이며, <math>K_{n+1}</math>은 [[무한 집합]]이다.
{{증명 끝}}

=== 정규 공간이 아닌 티호노프 공간 ===
'''니미츠키 평면'''({{llang|en|Niemytzki plane}})은 닫힌 상반평면 <math>\mathbb R\times[0,\infty)</math> 위에, 그 통상적인 [[열린집합]]들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 위상을 부여한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
:<math>\{x\}\cup\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)\qquad(x\in\mathbb R\times\{0\},\;\epsilon>0)</math>
즉, 추가된 [[열린집합]]들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 [[거리 함수]]에 대한) [[열린 원판]]과 그 접점의 합집합들이다.

니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 [[닫힌집합]]이 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이지만, [[정규 공간]]이 아니다.<ref name="Steen">{{서적 인용
|이름1=Lynn Arthur
|성1=Steen
|이름2=J. Arthur Jr.
|성2=Seebach
|제목=Counterexamples in Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Springer-Verlag
|위치=New York, NY
|날짜=1978
|원본연도=1970
|isbn=978-0-387-90312-5
|doi=10.1007/978-1-4612-6290-9
|mr=507446
|zbl=0386.54001
}}</ref>{{rp|101, 82.2–82.3}}<ref name="Engelking" />{{rp|41, Example 1.5.10; 48, Exercise 1.5.H, (a)}}
{{증명}}
니미츠키 평면이 [[하우스도르프 공간]]임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[부분 기저]] <math>\mathcal S</math>가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 <math>S\in\mathcal S</math>와 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>s</math>와 <math>S</math>의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 [[동치]]이다. <math>\mathbb R\times[0,\infty)</math>는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 [[열린집합]]의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 <math>x\in\mathbb R\times\{0\}</math> 및 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>y\in\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)</math>과 <math>\mathbb R\times[0,\infty)\setminus\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)</math>이 실함수를 통해 분리되므로, <math>y</math>와 <math>\mathbb R\times[0,\infty)\setminus(\{x\}\cup\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon))</math> 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 <math>x\in\mathbb R\times\{0\}</math> 및 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>f(x)=0</math>
:<math>f(\mathbb R\times[0,\infty)\setminus(\{x\}\cup\operatorname{ball}(x+(0,\epsilon),\epsilon)))=\{1\}</math>
인 [[연속 함수]]
:<math>f\colon\mathbb R\times[0,\infty)\to[0,1]</math>
를 찾으면 충분하다. 편의상 <math>x=0</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>f\colon y\mapsto 1/\inf\{t\in[1,\infty)\colon ty\not\in\{0\}\cup\operatorname{ball}((0,\epsilon),\epsilon)\}</math>
는 원하는 조건을 만족시킨다.

이제, 니미츠키 평면의 [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R\times[0,\infty)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>U\cap(\mathbb R\times(0,\infty))</math>는 <math>\mathbb R\times(0,\infty)</math>의 [[열린집합]]이며, 따라서 가산 개의 (통상적 [[거리 함수]]에 대한) [[열린 공]]들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 [[닫힌 공]]들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 [[닫힌집합]]이므로, <math>U\cap(\mathbb R\times(0,\infty))</math>는 [[Fσ 집합|F<sub>σ</sub> 집합]]이다. <math>\mathbb R\times\{0\}</math>의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 [[닫힌집합]]이며, 특히 <math>U\cap(\mathbb R\times\{0\})</math>은 [[닫힌집합]]이다. 따라서 <math>U</math>는 [[Fσ 집합|F<sub>σ</sub> 집합]]이다.

이제, 니미츠키 평면이 [[정규 공간]]이 아님을 증명하자. [[귀류법]]을 사용하여, 니미츠키 평면이 [[정규 공간]]이 아니라고 가정하자. 임의의 <math>A\subseteq\mathbb R\times\{0\}</math>가 주어졌다고 하자. <math>A</math>와 <math>(\mathbb R\times\{0\})\setminus A</math>는 모두 [[닫힌집합]]이므로, 서로소 [[열린 근방]] <math>U_A</math>와 <math>V_A</math>를 갖는다. 함수
:<math>\mathcal P(\mathbb R\times\{0\})\to\mathcal P(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q))</math>
:<math>A\mapsto U_A\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q))</math>
를 생각하자. <math>A,B\subseteq\mathbb R\times\{0\}</math>이며 <math>A\setminus B\ne\varnothing</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>A\setminus B\subseteq U_A\cap V_B</math>이며, <math>\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q)</math>가 [[조밀 집합]]이므로,
:<math>\varnothing\ne U_A\cap V_B\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q))\subseteq(U_A\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q)))\setminus(U_B\cap(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q)))</math>
이다. 이에 따라, 위 함수는 [[단사 함수]]이며,
:<math>2^{2^{\aleph_0}}=|\mathcal P(\mathbb R\times\{0\})|\le|\mathcal P(\mathbb Q\times((0,1)\cap\mathbb Q))|=2^{\aleph_0}</math>
이다. 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[안드레이 티호노프 (수학자)|안드레이 티호노프]]의 이름이 붙어 있다.

== 같이 보기 ==
* [[우리손 공간]]
* [[정칙 공간]]
* [[정규 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Tikhonov space}}
* {{매스월드|id=TychonoffSpace|title=Tychonoff space}}
* {{매스월드|id=CompletelyRegularSpace|title=Completely regular space}}
* {{nlab|id=Tychonoff space}}
* {{웹 인용|제목=Is Mysior's example completely Hausdorff?|웹사이트=Stack Exchange|url=https://math.stackexchange.com/questions/3516497/is-mysiors-example-completely-hausdorff|확인날짜=2022-02-24}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:위상 공간의 성질]]