틀다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Mobius frame bundle.png|섬네일]]
[[위상수학]]에서 '''틀다발'''({{llang|en|frame bundle}})은 임의의 [[벡터 다발]]에 대응되는, [[일반 선형군]]을 올로 삼는 특별한 [[주다발]]이다.<ref name="CCL">{{서적 인용
|이름1=Shiing-Shen|성1=Chern|저자링크=천싱선
|이름2=Wei-Huan|성2=Chen
|이름3=Kai-Shue |성3=Lam
|제목=Lectures on differential geometry
|doi=10.1142/3812
|총서=Series on University Mathematics|권=1
|출판사=World Scientific | isbn= 978-981-02-3494-2 | 날짜=1999-11
|언어=en
}}</ref>{{rp|§4.3, 121–131}} 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 [[연관 벡터 다발]]로서 재구성된다.

== 정의 ==
=== 틀 ===
<math>n</math>차원 [[실수 벡터 공간]] <math>V</math> 위의 <math>k</math>차 '''틀'''({{llang|en|frame}})은 다음 조건을 만족시키는 [[미분 동형 사상]]
:<math>f\colon \mathbb R^n\to V</math>
:<math>f\colon 0\mapsto 0</math>
의 <math>k</math>차 [[제트 (수학)|제트]] <math>\mathrm j_0^k</math>이다. (그러나 <math>f</math>가 [[선형 변환]]일 필요는 없다.) 이제, <math>k</math>차 틀들의 집합을 <math>\operatorname{Frame}_k(V)</math>라고 표기하자. 그 위에는 <math>k</math>차 [[제트 군]] <math>\operatorname{Frame}_k(\mathbb R^k)=\operatorname{Jet}(n,k)</math>의 자연스러운 [[군의 작용|오른쪽 작용]]이 존재한다.
:<math>(\mathrm j_0^kf)\cdot(\mathrm j_0^kg)=\mathrm j_0^k(f\circ g)\qquad\forall \mathrm j_0^kf\in\operatorname{Frame}_k(V),\;\mathrm j_0^kg\in\operatorname{Jet}(n,k)</math>

특히, 1차 틀은 단순히 [[전단사 함수|전단사]] 실수 [[선형 변환]] <math>f\colon\mathbb R^n\to V</math>에 불과하다.<ref name="CCL"/>{{rp|121, §4.3}}

=== 틀다발 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 <math>x\in X</math>에 대하여 올 <math>E_x</math>는 [[실수 벡터 공간]]을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
:<math>\mathrm F^nE=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Frame}_k(E_x)</math>
이 위에는 [[제트 군]] <math>\operatorname{Jet}(n,k)=\operatorname{Frame}_k(\mathbb R^n)</math>의 [[군의 작용|오른쪽 작용]]이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.
:<math>\mathrm j^k_0f\cdot\mathrm j^k_0g=\mathrm j^k_0(f\circ g)\qquad\forall x\in X,\;f\in\operatorname{Frame}_k(E_x),\;g\in\operatorname{Jet}(n,k)</math>

이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, <math>E</math>의 국소 자명화 <math>(U_i,\phi_i)</math>는 부분 집합 <math>U_i\subseteq X</math> 및 [[위상 동형]]
:<math>\phi_i\colon \pi^{-1}(U_i)\to U_i\times\mathbb R^k</math>
으로 구성된다. 이에 따라, [[전단사 함수]]
:<math>\bigsqcup_{x\in U_i}\operatorname{Frame}_k(E_x)\to U_i\times\operatorname{Jet}(n,k)</math>
를 정의할 수 있으며, 이를 통해 <math>\textstyle\bigsqcup_{x\in U_i}\operatorname{Frame}_k(E_x)</math>에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 <math>\mathrm F^nE</math> 전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수
:<math>\mathrm F^nE\twoheadrightarrow X</math>
:<math>(\phi\in\in\operatorname{Frame}_k(E_x))\mapsto x</math>
는 <math>X</math> 위의, 올 <math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>의 [[올다발]]을 이룬다. 또한, <math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>의 [[군의 작용|오른쪽 작용]]을 통하여 이는 <math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>-[[주다발]]을 이룬다. 이를 <math>E</math>의 <math>k</math>차 '''틀다발'''(<math>k</math>次-, {{llang|en|<math>k</math>th-order frame bundle}})이라고 한다.<ref name="KMS">{{서적 인용|last1=Kolář|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|title=Natural operations in differential geometry|날짜=1993|publisher=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-662-02950-3|isbn=978-3-540-56235-1|zbl=0782.53013|언어=en|확인날짜=2016-12-18|보존url=https://web.archive.org/web/20170330154524/http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|보존날짜=2017-03-30|url-status=dead}}</ref>{{rp|122, §12.12}}<ref name="GM">{{저널 인용|arxiv=math/0201235|제목=Reductive ''G''-structures and Lie derivatives|이름=Marco|성=Godina|이름2=Paolo|성2=Matteucci|doi=10.1016/S0393-0440(02)00174-2|저널=Journal of Geometry and Physics|권=47|날짜=2003|쪽=66–86|bibcode=2003JGP....47...66G|zbl=1035.53035|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 3.2}}

흔히, 만약 <math>k</math>가 생략되었다면 1차 틀다발 <math>\mathrm FE=\mathrm F^1E</math>를 뜻한다.

== 군 구조를 갖춘 다양체 위의 틀다발 ==
=== 직교 틀다발 ===
다양체 <math>M</math> 위의 <math>k</math>차원 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수 <math>(p,q)</math> (<math>p+q=k</math>)의 내적 <math>g</math>가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 [[단면 (올다발)|단면]]
:<math>g\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2E^*)</math>
가 주어졌으며, 임의의 <math>x\in M</math>에 대하여 <math>g_x</math>는 <math>E_x</math> 위의, 부호수 <math>(p,q)</math>의 [[비퇴화 이차 형식]]을 이룬다고 하자.

이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
:<math>\mathrm F_{\operatorname o}E=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Hilb}(\mathbb R^{(p,q)};E_x,g_x)</math>
여기서,
* <math>\mathbb R^{p,q}</math>는 부호수 <math>(p,q)</math>의 [[민코프스키 공간]]이다. 즉, [[실수 벡터 공간]] <math>\mathbb R^k</math> 위에 이차 형식 <math>x_1^2+x_2^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_k^2</math>을 부여한 것이다.
* <math>\operatorname{Hilb}(-;-)</math>는 [[유니터리 변환]](즉, [[이차 형식]]을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 [[직교군]] <math>\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)</math>의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 <math>\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)</math>-[[주다발]]로 만들 수 있다. 이를 '''직교 틀다발'''(直交-, {{llang|en|orthogonal frame bundle}})이라고 한다.<ref name="KMS"/>{{rp|94, §10.11}}

위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래, <math>\operatorname O(p,q)</math> 대신 [[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(p,q)</math>를 사용하여, <math>\operatorname{SO}(p,q)</math>-[[주다발]]인 '''특수 직교 틀다발'''(特殊直交-, {{llang|en|special orthogonal frame bundle}}) <math>\mathrm F_{\operatorname{SO}}E</math>을 정의할 수 있다.

=== 복소수 틀다발 ===
위와 마찬가지로, [[복소구조]]가 주어진 <math>2n</math>차원 [[벡터 다발]] <math>E</math>의 경우, '''복소수 틀다발'''({{llang|en|complex frame bundle}}) <math>\mathrm F_{\mathbb C}E</math>을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 '''유니터리 틀다발'''({{llang|en|unitary frame bundle}}) <math>\mathrm F_{\operatorname U}E</math>을 정의할 수 있으며, 그 올은 <math>\operatorname U(n)</math>이다.

== 성질 ==
=== 포함 관계 ===
부호수 <math>(p,q)</math>의 내적이 주어진 [[벡터 다발]] <math>E</math>를 생각하자. 군의 포함 관계 <math>\operatorname O(p,q;\mathbb R)\subseteq\operatorname{GL}(p+q;\mathbb R)</math>에 따라, 자연스러운 포함 관계 <math>\mathrm F_{\operatorname O}E\subseteq \mathrm FE</math>가 존재한다.

=== 연관 다발과의 관계 ===
<math>k</math>차원 [[다양체]] <math>M</math>의 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>의 틀다발 <math>\mathrm{FT}M</math>을 생각하자. 이 주다발의, <math>\operatorname{GL}(k;\mathbb R)</math>의 벡터 표현을 사용한 [[연관 벡터 다발]]은 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>이다. 즉, 틀다발과 [[연관 다발]]은 서로 일종의 역을 이룬다.

마찬가지로, <math>(p,q)</math>차원 [[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 직교 틀다발 <math>\mathrm F_{\operatorname O}\mathrm TM</math>을 생각하자. 이 주다발의, <math>\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)</math>의 벡터 표현을 사용한 [[연관 벡터 다발]]은 접다발 <math>\mathrm TM</math>이다.

=== 함자성 ===
[[국소 미분 동형 사상]] <math>\phi\colon M\to N</math>이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 [[매끄러운 주다발]] 사상이 존재한다.
:<math>\mathrm F^k\phi\colon\mathrm F^kM\to\mathrm F^kN</math>
:<math>\mathrm F^k\phi\colon (x,\mathrm j^k_0f)\to\left(\phi(x),\mathrm j^k_0(\mathrm T_x\phi\circ f)\right)
\qquad(x\in M,\;f\colon\mathbb R^{\dim M}\to\mathrm T_xM)</math>
이에 따라, <math>\mathrm F^k</math>는 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]]와 [[국소 미분 동형 사상]]들의 범주에서, <math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>-[[매끄러운 주다발]]을 갖춘 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]]와 [[매끄러운 주다발]] 사상들의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다.<ref name="GM"/>{{rp|Defintion 3.8}}

=== 접속 ===
[[일반화 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 직교 틀다발 <math>\mathrm F_{\operatorname O}\mathrm TM</math>의 [[주접속]] <math>\omega</math>가 주어졌다고 하자.

그렇다면, [[군 표현]] <math>\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)\to\mathrm T_xM\otimes\mathrm T_x^*M</math>으로부터 다음과 같은 [[선형 사상]]을 정의할 수 있다.
:<math>\kappa\colon\mathfrak o(p,q;\mathbb R)\otimes\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)\to\Gamma(\mathrm TM\otimes\mathrm T^*M)</math>
이에 따라, 틀다발의 [[주접속]] <math>\omega</math>로부터 [[접다발]]의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla\colon\Gamma(\mathrm TM)\to\Gamma(\mathrm TM\otimes\mathrm T^*M)</math>을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\kappa(\omega(X))=\nabla X</math>
이와 같이 정의한 접다발의 [[코쥘 접속]]의 [[리만 곡률]]은 틀다발의 [[주접속]]의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는 <math>\kappa</math> 등으로 바꿀 수 있다).

반대로, [[일반화 리만 다양체]]의 접다발에는 이미 또하나의 [[코쥘 접속]] ([[크리스토펠 기호|레비치비타 접속]])이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 '''[[스핀 접속]]'''이라고 한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Frame}}
* {{매스월드|id=FrameBundle|title=Frame bundle}}
* {{매스월드|id=FrameBundleReduction|title=Frame bundle reduction}}
* {{nlab|id=frame bundle|title=Frame bundle}}
* {{nlab|id=higher order frame bundle|title=Higher order frame bundle}}
* {{nlab|id=G-structure}}

[[분류:벡터 다발]]