특이 호몰로지 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''특이 호몰로지'''(特異homology, {{llang|en|singular homology|싱귤러 호몰로지}})는 [[단체 (수학)|단체]]를 사용하여 정의하는 [[호몰로지]] 이론이다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, <math>R</math>가 (1을 갖는) [[환 (수학)|환]]이라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의, <math>R</math> 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

=== 사슬 ===
<math>n</math>차원 '''표준 [[단체 (수학)|단체]]'''(標準單體, {{llang|en|standard simplex}}) <math>\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}</math>은 다음과 같다.
:<math>\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}</math>.
이는 [[선분]]과 [[삼각형]], [[정사면체|사면체]]를 일반화한 것이다.

<math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 '''특이 단체'''(特異單體, {{llang|en|singular complex}})는 [[연속 함수]]
:<math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>
를 뜻한다. <math>X</math> 위의, <math>R</math> 계수의 <math>n</math>차원 '''사슬'''({{llang|en|chain}})은 모든 <math>n</math>차원 특이 단체로 의하여 생성되는, <math>R</math> 위의 왼쪽 [[자유 가군]]의 원소다. 이 자유 가군을 <math>C_n(X;R)</math>라고 쓰자. (만약 <math>R=\mathbb Z</math>일 경우, 이는 [[자유 아벨 군]]이 된다.)

=== 경계 ===
표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 꼭짓점들을 <math>p_1,\dots,p_n</math>이라고 하자. 표준 단체 <math>\Delta^n</math>의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 <math>n+1</math>개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
:<math>[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]</math>
의 꼴이다. 이를 편의상
:<math>[p_0,p_1,\dots,p_{k-1},\hat p_k,p_{k+1},\dots,p_n]</math>
로 쓰자.

<math>n</math>차원 특이 단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''(境界, {{llang|en|boundary}}) <math>\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X;R)</math>는 다음과 같다.
:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>.
경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 <math>R</math> 위의 [[가군]]의 [[가군 준동형]]을 이룬다. 또한, <math>\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)</math>는 항상 0이다. 따라서 <math>(C_\bullet(X),\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 [[호몰로지]]
:<math>\operatorname H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math>
들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다. 이는 <math>R</math> 위의 왼쪽 [[가군]]을 이룬다. (사슬 가군은 [[자유 가군]]이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)

=== 특이 코호몰로지 ===
<math>X</math> 위의 '''공사슬'''(共-, {{llang|en|cochain}})은 [[가군 준동형]] <math>\phi^n\colon C_n(X;R)\to R</math>이다. 공사슬의 집합은 [[아벨 군]]을 이루며, <math>C^n(X;R)=\hom(C_n(X;R),R)</math>으로 쓴다. 공사슬의 '''공경계'''(共境界, {{llang|en|coboundary}}) <math>\delta_n\colon C^n(X;R)\to C^{n+1}(X;R)</math>은 다음과 같다.
:<math>\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1})</math>.
<math>(C^\bullet(X;R),\delta_\bullet)</math>은 [[공사슬 복합체]]를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}</math>
들을 '''특이 코호몰로지'''({{llang|en|singular cohomology}})라고 한다.

== 성질 ==
<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]라면, [[보편 계수 정리]]에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 [[쌍대 공간]]이다.
:<math>\operatorname H^\bullet(X;K)=\operatorname H_\bullet(X;K)^*=\hom_{K\text{-Vect}}(\operatorname H_\bullet(X;K),K)</math>
그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.

== 예 ==
=== 초구 ===
<math>n</math>차원 [[초구]] <math>S^n</math>의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_k(S^n;R)=\begin{cases}
R&k\in\{0,n\}\\
0&k\not\in\{0,n\}
\end{cases}\qquad(n>0)</math>
:<math>\operatorname H^k(S^n;R)=\begin{cases}
R&k\in\{0,n\}\\
0&k\not\in\{0,n\}
\end{cases}\qquad(n>0)</math>
:<math>\operatorname H_k(S^0;R)=\begin{cases}R^2&k=0\\0&k\ne0\end{cases}</math>
:<math>\operatorname H^k(S^0;R)=\begin{cases}R^2&k=0\\0&k\ne0\end{cases}</math>

=== 사영 공간 ===
복소수 [[사영 공간]] <math>\mathbb CP^n</math>의 특이 호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_k(\mathbb CP^n;R)=\begin{cases}
R&2\mid q\le 2n\\
0&q\nmid q\lor q>2n
\end{cases}</math>
:<math>\operatorname H^k(\mathbb CP^n;R)=\begin{cases}
R&2\mid q\le 2n\\
0&q\nmid q\lor q>2n
\end{cases}</math>

실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_k(\mathbb RP^n;\mathbb Z)= \begin{cases} \mathbb Z & k = 0 \lor 2\nmid i = n \\ \mathbb Z/(2) & 0<k<n,\; 2\nmid k\\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases} </math>
:<math>\operatorname H_k(\mathbb RP^n;\mathbb F_2)=\begin{cases}\mathbb F_2&k\le n\\0&k\ge n\end{cases}</math>
:<math>\operatorname H_k(\mathbb RP^n;K)= \begin{cases} K & k = 0 \lor 2\nmid i = n\\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases} </math>
여기서 <math>K</math>는 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 임의의 [[체 (수학)|체]]이다.

=== 원환면 ===
<math>n</math>차원 [[원환면]] <math>T^n</math>의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_k(T^n;\mathbb Z)=\mathbb Z^{\binom nk}</math>.
여기서 <math>\binom nk</math>는 [[이항계수]]로, <math>k>n</math>인 경우 0으로 정의한다.

== 같이 보기 ==
* [[단체 집합]]
* [[세포 호몰로지]]
* [[단체 호몰로지]]
* [[체흐 코호몰로지]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Hatcher|이름=Allen|제목=Algebraic topology|출판사=Cambridge University Press|연도=2002|ISBN=0-521-79540-0|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|쪽=108}}
* {{서적 인용|제목=대수적 위상수학|저자=조용승|출판사=경문사|날짜=2010-09|isbn=978-89-6105-365-5|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|access-date=2013-04-07|archive-date=2015-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20150207031741/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|url-status=}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Singular homology}}
* {{매스월드|id=SingularHomology|title=Singular homology}}
* {{nlab|id=singular homology|title=Singular homology}}
* {{nlab|id=singular cohomology|title=Singular cohomology}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]