특이 기수 가설 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''특이 기수 가설'''(特異基數假說, {{llang|en|singular cardinals hypothesis}}, 약자 SCH)은 기수의 거듭제곱이 연속체 함수 <math>\kappa\mapsto2^\kappa</math>로부터 완전히 결정된다는 명제이다. 통상적인 집합론 공리계([[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]])와 독립적이다.

== 정의 ==
'''특이 기수 가설''' <math>\mathsf{SCH}</math>에 따르면, 모든 무한 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\gimel(\kappa)=\max\{\kappa^+,2^{\operatorname{cf}\kappa}\}</math>
여기서 <math>\gimel</math>은 [[기멜 함수]]이며, <math>\operatorname{cf}</math>는 [[공종도]]이다.

== 성질 ==
무한 [[정칙 기수]]의 경우 특이 기수 가설은 자명하게 성립한다. 또한, 적어도 하나 이상의 [[강콤팩트 기수]]보다 더 큰 특이 기수에 대하여, 특이 기수 가설이 성립한다. 이는 [[로버트 솔로베이]]({{llang|en|Robert Solovay}})가 증명하였다. 즉, 특이 기수 가설은 "대부분의" 기수에 대하여 참이다.

만약 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]이 무모순적이라면, 특이 기수 가설은 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 무모순적이다.
:<math>\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\implies\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC}+\mathsf{SCH})</math>
만약 미첼 순서({{llang|en|Mitchell order}})가 <math>\kappa^{++}</math>인 [[가측 기수]] <math>\kappa</math>가 존재한다면, 특이 기수 가설의 부정 역시 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 무모순적이다. (이는 [[초콤팩트 기수]]의 존재보다 약한 가정이다.)

=== 특이 기수 가설을 함의하는 명제 ===
[[일반화 연속체 가설]] <math>\mathsf{GCH}</math>은 특이 기수 가설을 함의한다. 일반화 연속체 가설을 가정하면 모든 무한 기수에 대하여
:<math>\gimel(\kappa)=\kappa^+\ge2^{\operatorname{cf}\kappa}</math>
가 성립한다.

[[고유 강제법 공리]]({{llang|en|proper forcing axiom}}) <math>\mathsf{PFA}</math> 또한 특이 기수 가설을 함의한다. 고유 강제법 공리는 <math>2^{\aleph_0}=\aleph_2</math>를 함의하므로, [[연속체 가설]]과 모순된다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|장=The singular cardinal hypothesis revisited|이름=Moti|성=Gitik|author2-first=Menachem|author2-last=Magidor|저자링크2=메나헴 마기도르|doi=10.1007/978-1-4613-9754-0_16|제목=Set Theory of the Continuum|editor1-first=Haim|editor1-last=Judah|editor2-first=Winfried|editor2-last=Just|editor3-first=Hugh|editor3-last=Woodin|editor3-link=윌리엄 휴 우딘|총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|권=26 |isbn= 978-1-4613-9756-4|날짜=1992|출판사=Springer|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Kojman|이름=Menachem|장=Singular cardinals: from Hausdorff’s gaps to Shelah’s pcf theory|장url=https://www.math.bgu.ac.il/~kojman/singulars.pdf|editor1-last=Gabbay|editor1-first=Dov M.|editor2-last=Kanamori|editor2-first=Akihiro|editor2-link=가나모리 아키히로|editor3-last=Woods|editor3-first=John|제목=Sets and extensions in the twentieth century|url=http://store.elsevier.com/Sets-and-Extensions-in-the-Twentieth-Century/isbn-9780444516213/|출판사=North-Holland|isbn=978-044451621-3|날짜=2012|zbl=1255.03008|쪽=509–558|언어=en|확인날짜=2016-08-14|보존url=https://web.archive.org/web/20160913193737/http://store.elsevier.com/Sets-and-Extensions-in-the-Twentieth-Century/isbn-9780444516213/|보존날짜=2016-09-13|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=Singular cardinals and the pcf theory|이름=Thomas|성=Jech|저널=The Bulletin of Symbolic Logic|권=1|호=4|날짜=1995-12|쪽=408–424|url=http://www.math.psu.edu/jech/preprints/singular.pdf|jstor=421130|zbl=0849.03040|mr=1369170|issn=1079-8986|언어=en|확인날짜=2015-01-05|보존url=https://web.archive.org/web/20110721194254/http://www.math.psu.edu/jech/preprints/singular.pdf|보존날짜=2011-07-21|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.math.cmu.edu/users/jcumming/papers/shuffle.pdf|제목=Singular cardinal problems|날짜=1998-09|기타=Fifth International Workshop in Set Theory, Luminy, France, September 1998|이름=James|성=Cumming|언어=en|확인날짜=2015-01-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160304125742/http://www.math.cmu.edu/users/jcumming/papers/shuffle.pdf|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/69288/why-should-i-believe-the-singular-cardinal-hypothesis|제목=Why should I believe the Singular Cardinal Hypothesis?|웹사이트=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2015-01-05|보존url=https://web.archive.org/web/20150105204309/http://mathoverflow.net/questions/69288/why-should-i-believe-the-singular-cardinal-hypothesis|보존날짜=2015-01-05|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://andrescaicedo.wordpress.com/2009/02/11/580-cardinal-arithmetic-4/|제목=580 - Cardinal Arithmetic (4)|이름=Andrés E.|성=Caicedo|날짜=2009-02-11|웹사이트=A Kind of Library|언어=en|확인날짜=2015-01-05|보존url=https://web.archive.org/web/20150105134852/https://andrescaicedo.wordpress.com/2009/02/11/580-cardinal-arithmetic-4/|보존날짜=2015-01-05|url-status=dead}}

{{집합론}}

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[[분류:기수]]