특이점 (해석학) 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''특이점'''(特異點, {{llang|en|singularity, singular point}})이라는 용어는 [[복소해석학]]과 [[실해석학]]의 두 영역에서 각각 다른 의미로 사용된다. 포괄적으로 보면 이것은 일종의 [[함수]]의 정의역에 포함되는 점으로서, 특정한 수학적 성질을 갖는 어떤 점을 지칭하는 용어이다. 다음과 같은 두 가지 의미로 분류할 수 있다:
* [[복소해석학]]에서, 복소 함수 <math>f</math>가 어떤 점 <math>a</math>에서 [[해석적]]이지 못할 때 점<math>a</math>를 <math>f</math>의 '''특이점'''이라고 한다.
* [[실해석학]]에서, 실수 함수 <math>f</math>에 대해, '''특이점'''은 주로 그 함수가 갖는 [[연속 함수|불연속]]인 점이라는 의미로 쓰인다.

== 복소해석학에서의 특이점 ==
[[복소해석학]]에서 특이점은 복소함수의 성질을 규명하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 점<math>a\,</math>가 [[복소함수]] <math>f\,</math>의 특이점이고, <math>f\,</math>가 <math>a\,</math>를 제외한 <math>f\,</math>의 한 [[근방]](neighborhood)에서 해석적이면 점<math>a\,</math>를 특별히 함수 <math>f\,</math>의 '''고립특이점'''(isolated singularity)이라고 한다. 예를 들어 <math>f(z)= \frac{1}{z}\,</math>는 <math>z=0\,</math>에서 해석적이 아니지만(정의되지 않음), 그 외의 모든 점에서 해석적이므로 <math>z=0\,</math>는 <math>f\,</math>의 고립 특이점이다.

고립 특이점은 그 근방에서 함수의 특성에 따라 다시
* '''제거 가능 특이점'''({{llang|en|removable singularity}})
* '''[[극점 (복소해석학)|극점]]'''({{llang|en|pole}})
*  '''본질적 특이점'''({{llang|en|essential singularity}})
으로 구분된다.

=== 극한을 이용한 특이점의 구분 ===
점<math>a</math>가 함수 <math>f</math>의 고립 특이점이라고 하자.
* 만약 <math>\lim_{z \to a}(z-a)f(z)=0\,</math>이면, <math>a</math>는 <math>f</math>의 '''제거가능 특이점'''이다.
* <math>\lim_{z \to a}|f(z)|=\infty \,</math>이면, <math>a\,</math>는 <math>f\,</math>의 '''극점'''이다.
* <math>\lim_{z \to a}f(z)</math>가 존재하지 않으면, <math>a</math>는 <math>f</math>의 '''본질적 특이점'''이다.

=== 로랑 급수를 이용한 특이점의 구분 ===
점 <math>a</math>가 함수 <math>f</math>의 고립 특이점이라고 하자. 그렇다면  <math>f</math>는 <math>a\,</math>를 제외한  <math>a</math> [[근방]]에서 [[로랑 급수]]
: <math>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{(z-a)^n}+\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}{(z-a)^n}</math>
로 전개할 수 있다. 위 급수의 처음 합을 '''주부'''(主部, principal part), 두 번째 합을 '''해석부'''(analytic part)라고 한다. 고립 특이점은 [[로랑 급수]]에서 주부의 [[항]](項)이 전혀 나타나지 않으면 제거가능 특이점, 유한개만 나타나면 극(극점), 무한히 많이 나타나면 본질적 특이점이라고 한다. 위의 극한을 이용한 분류와 [[로랑 급수]]를 이용한 분류는 일치한다.

=== 극점의 위수 ===
함수 <math> f(z)</math>가 <math> z=a</math>에서 극점을 갖고, <math> m</math>을 극한 <math>\lim_{z \to a}(z-a)^m f(z)</math>가 존재하게 하는 최소의 자연수라고 할 때 <math> f(z)</math>는 <math> z=a</math>에서 '''위수 ''m''인 [[극점 (복소해석학)|극점]]'''(pole of order m)을 갖는다고 한다. 특별히 위수가 1인 극점을 [[단순극]]이라고 한다.

<math> f(z)\,</math>가 <math> z=a\,</math>에서 '''위수 ''m''인 극점'''(pole of order m)을 갖는 경우 <math> z=a\,</math>를 제외한 <math> z=a\,</math>근방에서의 [[로랑 급수]]는
:<math> f(z)=\frac{b_m}{(z-a)^m} +\frac{b_{m-1}}{(z-a)^{m-1}}+\cdots +\frac{b_1}{z-a}+A(z) \,</math>
와 같은 형태로 나타난다. 여기서 <math> A(z)\,</math>는 <math> f(z)\,</math>의 해석부를 나타내는 함수이다.

*극점의 위수는 [[유수 정리]](residue theorem)를 이용한 복소함수의 적분에서 필요한 [[유수 (복소해석학)|유수]]의 계산에서도 이용된다.
*정의역 안에서 어떤 특이점도 갖지 않는 함수를 [[해석함수]]라고 하며, 극점 밖에 어떤 특이점도 갖지 않는 함수를 [[유리형 함수]]라고 한다.

=== 예 ===
*함수 <math> f(z)=\frac{\sin z}{z}\,</math>는 <math> z=0</math>에서 특이점을 갖는다.
**그런데<math> \lim_{z \rightarrow 0}zf(z)=\lim_{z \rightarrow 0} z\frac{\sin z}{z}=0\,</math>이다. 그러므로 <math> z=0\,</math>은 <math> f(z)\,</math>의 제거가능 특이점이다.
**또는 아래와 같이 [[로랑 급수]]에서 주부가 전혀 나타나지 않는다. 그러므로 <math> z=0\,</math>은 <math> f(z)\,</math>의 제거가능 특이점이다.
::<math> f(z)=\frac{\sin z}{z}=\frac{1}{z} \left( z-\frac{z^3}{3!}+ \cdots\right)=1-\frac{z^2}{3!}+\cdots\,</math>

*함수 <math> f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+ \frac{3}{z-1}-3(z-1)\,</math>은 <math> z=1\,</math>에서 특이점을 갖는다.
**그런데<math> \lim_{z \rightarrow 1}f(z)=\infty\,</math>이다. 그러므로 <math> z=1\,</math>은 <math> f(z)\,</math>의 극(극점)이다.
**또는 아래의 [[로랑 급수]]에서 처음 두 항만이 주부에 속하므로 <math> z=1\,</math>은 <math> f(z)\,</math>의  극(극점)이다.
::<math> f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+ \frac{3}{z-1}-3(z-1)\,</math>

*함수 <math> f(z)=e^{\frac{1}{z}}\,</math>는 <math> z=0\,</math>에서 특이점을 갖는다.
**그런데 <math> \lim_{x \rightarrow 0^+}f(z)=\infty \,</math>이고, <math> \lim_{x \rightarrow 0^-}f(z)=0\,</math>이므로 극한 <math> \lim_{z \rightarrow 0}f(z)\,</math>는 존재하지 않는다. 그러므로 <math> z=0\,</math>은 <math> f(z)\,</math>의 본질적 특이점이다.
**또는 아래의 [[로랑 급수]]에서 주부의 항들이 무수히 많으므로 <math> z=0\,</math>은 <math> f(z)\,</math>의 본질적 특이점이다.
::<math> f(z)=1+\frac{1}{z}+ \frac{1}{2!z^2}+ \frac{1}{3!z^3}+\cdots\,</math>

* 함수 <math>1/(z-2)^3</math>은 <math> z=2</math>에서 위수 3인 극점을 갖는다.
* <math>1/z</math>은 <math> z=0</math>에서 [[단순극]]을 갖는다.

=== 고립 특이점으로서의 무한원점 ===
특이점은 [[확장된 복소평면]](extended complex plane)에서도 같은 방법으로 정의 할 수 있다. 다만 무한원점을 제외한 무한원점의 근방은
:<math> \{ z \in \mathbb{C} \,: \, |z| > M \}\,\,\,(M>0)\,</math>
로 정의됨에 유의해야 한다.

*무한원점에서 제거가능한 특이점을 갖는 [[전해석 함수]]는 [[상수 함수]]이다.
*무한원점에서 극(극점)을 갖는 [[전해석 함수]]는 [[다항식|다항함수]]이다.
*무한원점에서 본질적 특이점을 갖는 [[전해석 함수]]는 초월 전해석 함수이다.

== 실해석학에서의 특이점 ==
{{본문|불연속점의 분류}}
[[실해석학]]에서, 특이점은 크게 두 종류로 분류된다:
*함수 <math>f</math>의 정의역에 속하는 어떤 점 <math>a</math>가 '''제 1종 특이점'''({{lang|en|type 1 singularity}})이란 것은 <math>a</math>가 특이점이며, <math>a</math>의 [[좌극한]]과 [[우극한]]이 존재하는 것을 의미한다.
*함수 <math>f</math>의 정의역에 속하는 어떤 점 <math>a</math>가 '''제 2종 특이점'''({{lang|en|type 2 singularity}})이란 것은 <math>a</math>가 특이점이며, <math>a</math>의 좌극한과 우극한 중 적어도 하나는 존재하지 않는 것을 의미한다.
제 1종 특이점은 다음과 같이 두 종류로 세분되며:
*함수 <math>f</math>의 정의역에 속하는 어떤 점 <math>a</math>가 '''제거가능 특이점'''({{lang|en|removable singularity}})이란 것은 <math>a</math>가 제 1종 특이점이며, <math>a</math>의 좌극한과 우극한이 일치하는 것을 의미한다.
*함수 <math>f</math>의 정의역에 속하는 어떤 점 <math>a</math>가 '''도약 특이점'''({{lang|en|jump singularity}})이란 것은 <math>a</math>가 제 1종 특이점이며, <math>a</math>의 좌극한과 우극한이 일치하지 않는 것을 의미한다.
제 2종 특이점 역시 다음과 같이 두 종류로 세분된다:
*함수 <math>f</math>의 정의역에 속하는 어떤 점 <math>a</math>가 '''무한 특이점'''({{lang|en|infinite singularity}})이란 것은 <math>a</math>가 제 2종 특이점이며, <math>a</math>의 좌극한과 우극한 중 적어도 하나는 [[무한대]]로 [[발산]]하고 나머지 하나는 무한대로 발산하거나 수렴하는 것을 의미한다.
*함수 <math>f</math>의 정의역에 속하는 어떤 점 <math>a</math>가 '''본질적 특이점'''({{lang|en|essential singularity}})이란 것은 <math>a</math>가 제 2종 특이점이며, <math>a</math>의 좌극한과 우극한 중 적어도 하나는 발산하나 무한대로 발산하지 않는 것을 의미한다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=고석구|제목=복소해석학개론|판=2|출판사=경문사|날짜=2005}}

== 같이 보기 ==
* [[로랑 급수]]
* [[유수 (복소해석학)|유수]]
* [[영점]]
* [[유리형 함수]]
* [[리만 특이점 정리]]
* [[카소라티-바이어슈트라스 정리]]
* [[피카르의 대정리]]
* [[로피탈의 정리]]
* [[특이점 (대수기하학)]]
* [[극점 (복소해석학)]]
* [[정규특이점]]
* [[분지절단]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Singularity}}
* {{eom|title=Singular point}}
* {{eom|title=Isolated singular point}}
* {{eom|title=Discontinuity point}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:실해석학]]