특수선형군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''특수선형군'''(特殊線型群, {{lang|en|special linear group}})은 [[행렬식]]이 1인 [[정사각행렬]]들이 이루는 [[군 (수학)|군]]이다. 기호는 <math>\operatorname{SL}(n,\mathbb F)</math>.

== 정의 ==
<math>\mathbb F</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하자. '''특수선형군''' <math>SL(n,\mathbb F)</math>는 행렬식이 1인 <math>n\times n</math> [[정사각행렬]]들이 이루는, 곱셈에 대한 [[군 (수학)|군]]이다.

== 성질 ==
특수선형군은 [[일반선형군]]의 [[정규 부분군]]이며, [[행렬식]] [[군 준동형]]의 [[핵 (수학)|핵]]이다. 즉, 다음과 같은 [[행렬식]] 사상
:<math>\det\colon \operatorname{GL}(n,\mathbb F)\to F^\times</math>
이 주어졌을 때 (<math>\mathbb F^\times</math>는 0이 아닌 체의 원소들의 곱셈군), 다음과 같은 [[완전열|짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to\operatorname{SL}(n,\mathbb F)\hookrightarrow\operatorname{GL}(n,\mathbb F)\overset{\det}{\twoheadrightarrow}\mathbb F^\times\to1</math>.

만약 <math>\mathbb F</math>가 <math>\mathbb R</math> 또는 <math>\mathbb C</math>이라면, <math>SL(n,\mathbb F)</math>는 [[리 군]]을 이룬다. 이 리 군의 차원은 <math>n^2-1</math>차원이다 (실수 또는 복소 차원). 이에 대한 [[리 대수]] <math>\mathfrak{so}(n,\mathbb F)</math>는 [[대각합]]이 0인 <math>n\times n</math> [[정사각행렬]]들로 구성된다.

== 특수한 경우 ==
* <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb C)</math>는 [[뫼비우스 변환]]의 군 <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb C)</math>의 두 겹 [[피복 공간]]이다. (이는 <math>M\sim -M</math>으로 [[몫군]]을 취했기 때문이다.)
* 마찬가지로, <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb R)</math>는 복소 반평면의 [[자기동형사상군]] <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)</math>의 두 겹 [[피복 공간]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Special linear group}}
* {{매스월드|id=SpecialLinearGroup|title=Special linear group}}

== 같이 보기 ==
* [[일반선형군]]
* [[2차원 실수 특수선형군]]

[[분류:리 군]]
[[분류:대수군]]