특성류 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''특성류'''(特性類, {{llang|en|characteristic class}})는 [[주다발]]의 위상수학적인 성질을 나타내는 [[코호몰로지|코호몰로지 류]]이다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[위상군]]이라고 하자. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]]를 <math>\mathbf{Top}</math>, [[집합]]의 범주를 <math>\mathbf{Set}</math>라고 하자. [[함자 (수학)|함자]] <math>b_G\colon \mathbf{Top}\to \mathbf{Set}^\text{op}</math>를 위상 공간 <math>X</math>를 그 위에 존재하는 <math>G</math>-주다발들(의 동형류들)의 집합으로 대응시키는 함자로 정의하자. 이는 [[반변함자]]를 이룬다. 또한, [[코호몰로지]] <math>H^\bullet</math> 또한 함자 <math>H^\bullet\colon \mathbf{Top}\to \mathbf{Set}^\text{op}</math>로 생각할 수 있다. (코호몰로지는 환의 구조를 가지지만, 여기서는 그 구조를 잊는다.)

'''특성류''' <math>c</math>는 [[자연변환]] <math>c\colon b_G\implies H^\bullet</math>이다. 즉, 각 주다발 <math>P</math>에 코호몰로지류 <math>c(P)</math>를 대응시키고, 이는 연속함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대해 <math>c(f^*P) = f^*c(P)</math>를 만족시킨다.

== 분할 원리 ==
특성류들은 '''분할 원리'''({{llang|en|splitting principle}})를 사용하여, 일종의 [[다항식]]으로 나타낼 수 있다. 공간 <math>X</math> 위에 <math>n</math>차원 복소 벡터다발 <math>E</math>가 주어지면, 여기에 임의의 [[코쥘 접속]] <math>A</math>를 주어 그 곡률
:<math>F=dA+A\wedge A\in\Omega^2(X)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak u(n)</math>
를 계산할 수 있다. 이는 [[리 대수]] <math>\mathfrak u(n)</math>값을 갖는 2차 미분형식들이다. (짝수차 미분형식들은 [[가환환]]을 이루므로 행렬을 정의할 수 있다.) <math>\mathfrak u(n)</math>은 <math>n\times n</math> 반[[에르미트 행렬]]들로 이루어져 있으므로, 이 행렬의 [[고윳값]]들을 정의하자.
:<math>iF=g\operatorname{diag}(x_1,x_2,\dots,x_n)g^{-1}</math>
여기서 <math>g</math>는 접속에 따라 달라지는 [[유니터리 행렬]]이다. 그러나 [[고윳값]] <math>\{x_1,\dots,x_n\}\in\Omega^2(X)</math>들의 코호몰로지 류들은 접속에 상관없이 불변임을 보일 수 있다 ('''천-베유 정리'''). 복소 벡터다발의 모든 특성류들은 이 <math>\{x_1,\dots,x_n\}</math>들의 다항식으로 나타낼 수 있다 ('''분할 원리'''). 예를 들어, [[천 지표]]는
:<math>\operatorname{ch}(E)=\sum_{i=1}^n\exp(x_i)</math>
[[천 특성류]]는
:<math>c(E)=\sum_{i=1}^nc_i(E)=\prod_{i=1}^n(1+x_i)</math>
[[오일러 특성류]]는
:<math>e(E)=\prod_{i=1}^nx_i</math>
[[토드 특성류]]는
:<math>\operatorname{Td}(E)=\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}</math>
이다.

실수 벡터 다발의 특성류의 경우, 일부는 그 복소화의 특성류로 정의할 수 있다. 예를 들어, [[폰트랴긴 특성류]]나 디랙 종수(Dirac genus)는 이렇게 정의할 수 있다. 그렇지만 일반적으로 [[슈티펠-휘트니 특성류]](Stiefel–Whitney class)는 그렇지 않다.

== 예 ==
* [[천 특성류]]
* [[폰트랴긴 특성류]]
* [[슈티펠-휘트니 특성류]] (Stiefel–Whitney class)
* [[오일러 특성류]] (Euler class)
* [[토드 특성류]]
* 디랙 종수 (Dirac genus) (또는 Â-종수라고도 불림)

== 같이 보기 ==
* [[오일러 지표]]
* [[천 특성류]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=현대 기하학 입문|저자=권영현|공저자=윤달선|위치=서울|출판사=경문사|isbn=89-7282-535-2|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|언어=ko|access-date=2013-07-18|archive-date=2021-10-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20211028073930/https://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|url-status=}}
* {{서적 인용|제목=지표이론|저자=조용승|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-622-9|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|언어=ko|확인날짜=2013-08-26|보존url=https://web.archive.org/web/20141112075225/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}
* {{서적 인용|이름=John W.|성=Milnor|저자링크=존 밀너|공저자=James D. Stasheff|제목=Characteristic classes|출판사=Princeton University Press|날짜=1974|isbn=0-691-08122-0|총서=Annals of Mathematics Studies|권=76|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Jean-Pierre|성=Schneiders|제목=Introduction to characteristic classes and index theory|url=http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf|위치=[[리스본|Lisboa]]|출판사=[[리스본 대학교|Universidade de Lisboa]]|isbn=972-8394-12-8|총서=Téxtos de Matemática|권=13|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Geometry, Topology and Physics|판=2판|날짜=2003-06-04|doi=10.1201/9781420056945|이름=Mikio|성=Nakahara|url=http://www.routledge.com/books/details/9780750306065/|isbn=978-0-7503-0606-5|출판사=Taylor & Francis|언어=en}}

{{토막글|수학}}

[[분류:특성류| ]]