트위스터 이론 문서 원본 보기

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'''트위스터 이론'''({{llang|en|Twistor theory}})은 1967년 [[로저 펜로즈]]가<ref>{{저널 인용|제목=Twistor Algebra|저널=[[Journal of Mathematical Physics]]|성=Penrose|이름=R.|날짜=1967|권=8|호=2|쪽=345–366|bibcode=1967JMP.....8..345P|doi=10.1063/1.1705200}}</ref> [[양자 중력]]에 이를 수 있는 하나의 길로<ref>{{저널 인용|제목=Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time|저널=Physics Reports|성=Penrose|이름=R.|성2=MacCallum|이름2=M.A.H.|연도=1973|권=6|호=4|쪽=241–315|bibcode=1973PhR.....6..241P|doi=10.1016/0370-1573(73)90008-2}}</ref> 제안하였으며 [[이론물리학|이론]] 및 [[수리물리학]]의 한 분야로 발전했다. 로저 펜로즈는 물리학의 근본적인 배경의 수학적 모형을 [[트위스터 공간]]이라는 수학적 공간으로 두자고 제안하며, 이로부터 시공간 자체가 나타난다고 하였다. [[트위스터 공간]]과 트위스터 이론이 연구 되면서, [[미분기하학|미분]] 및 적분 기하학, [[비선형계|비선형 미분 방정식]] 및 [[표현론 (수학)|표현론]], [[일반 상대성이론]] 및 [[양자장론]], 특히 [[산란 진폭]]에 대한 물리학에 적용되는 강력한 수학적 개념들이 발전되었다. 트위스터 이론의 등장은 간접적으로 [[아인슈타인-카르탕 이론|아인슈타인-카르탕-시아마–키블 이론]]의 영향을 받은 것 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Dennis William Sciama. 18 November 1926 — 19 December 1999|날짜=2010|쪽=411|doi=10.1098/rsbm.2009.0023}}</ref>

== 개요 ==
[[사영 공간|사영]] [[트위스터 공간]] <math>\mathbb{PT}</math>는 3차원 복소 [[사영 공간|사영 다양체]] <math>\mathbb{CP}^3</math>이다. 더 자세하게, 사영 트위스터 공간은 [[계량 부호수]] (2,2)인 에르미트 형식과 [[정칙 함수|정칙]] [[부피 형식]]이 주어진 4차원 [[벡터 공간|복소 선형 공간]] [[벡터 공간|<math>\mathbb{T}</math>]]를 사영화 해서 얻은 공간이다. [[벡터 공간|<math>\mathbb{T}</math>]]는 비 사영 트위스터 공간이라고 불린다. 이것은 [[민코프스키 공간]]의 등각군 <math>SO(4,2)/\mathbb{Z}_2</math>에 대한 [[바일 스피너]]들의 공간으로 가장 매끄럽게 이해할 수 있다. 이는 등각군 <math>SO(4,2)/\mathbb{Z}_2</math>의 [[스핀 군|스핀군]] <math>SU(2,2)</math>의 [[기본 표현]]이다. 이 정의는 등각 군에 대한 사영 [[순수 스피너]]의 공간으로 사영 트위스터 공간을 정의하는 것을 제외하고 4차원을 넘어서 임의의 차원으로 확장될 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Spinors and Space-Time|성=Penrose|이름=Roger|성2=Rindler|이름2=Wolfgang|연도=1986|출판사=Cambridge University Press|쪽=Appendix|언어=en|doi=10.1017/cbo9780511524486|isbn=9780521252676}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=A generalised Kerr-Robinson theorem|저널=Classical and Quantum Gravity|성=Hughston|이름=L. P.|성2=Mason|이름2=L. J.|날짜=1988|권=5|호=2|쪽=275|언어=en|bibcode=1988CQGra...5..275H|doi=10.1088/0264-9381/5/2/007|issn=0264-9381}}</ref> 사영 트위스터 공간의 물리적 해석은 [[스핀 (물리학)|스핀]]을 가진 질량이 없는 입자들의 공간과 관련되어 있다.

원래 형태에서 트위스터 이론은 민코프스키 공간의 [[장 (물리학)|물리적 장]]을 펜로즈 변환을 통해 트위스터 공간의 [[복소해석학|복소 해석학적]] 대상으로 형식화 한다. 이 과정은 특히 임의의 스핀을 가진 [[질량이 없는 입자|질량이 없는 장]]에 대해 자연스럽다. 첫 번째 예시에서 이들은 트위스터 공간의 영역에서 자유 정칙 함수 측면에서 [[경로적분법|선적분]] 공식을 통해 얻어진다. 질량 없는 장 방정식에 대한 해를 제공하는 정칙 [[코호몰로지|트위스터]] 함수는 <math>\mathbb{PT}</math>의 영역 위에서 해석적 코호몰로지 류들의 [[체흐 코호몰로지|체흐]] 대표원들로 이해될 수 있다. 이러한 대응관계는 펜로즈의 [[아인슈타인 방정식|비선형]] [[중력자]] 구성<ref name="Penrose1976">{{저널 인용|제목=Non-linear gravitons and curved twistor theory|저널=Gen. Rel. Grav.|성=Penrose|이름=R|url=|연도=1976|권=7|호=|쪽=31–52|doi=10.1007/BF00762011}}</ref>의 [[쌍대성|자기 쌍대]] 중력과 와드 구성의 자체 쌍대 [[양-밀스 이론|양-밀스 장]]을 포함하여 특정 비선형 장들로 확장되었다.<ref>{{저널 인용|제목=On self-dual gauge fields|저널=Physics Letters A|성=Ward|이름=R. S.|저자링크=Richard S. Ward|연도=1977|권=61|호=2|쪽=81–82|bibcode=1977PhLA...61...81W|doi=10.1016/0375-9601(77)90842-8}}</ref> 이러한 구조는 특히 [[적분가능계]] 이론을 포함한 다양한 분야에 널리 응용된다.<ref>{{서적 인용|제목=Twistor geometry and field theory|성=Ward|이름=R. S.|날짜=1990|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge [England]|기타=Wells, R. O. (Raymond O'Neil), 1940-|isbn=978-0521422680|oclc=17260289}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Integrability, self-duality, and twistor theory|성=Mason|이름=Lionel J|성2=Woodhouse|이름2=Nicholas M J|날짜=1996|출판사=Clarendon Press|위치=Oxford|isbn=9780198534983|oclc=34545252}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Solitons, instantons, and twistors|url=https://archive.org/details/solitonsinstanto0000duna|성=Dunajski|이름=Maciej|날짜=2010|출판사=Oxford University Press|위치=Oxford|isbn=9780198570622|oclc=507435856}}</ref>

자기 쌍대성 조건은 양-밀스–힉스 [[자기 홀극]] 및 [[순간자]]에 대해 충분하지만 물리적 이론의 완전한 비선형성을 통합하는 데 주요한 제한 사항이다([[ADHM 작도|ADHM 구성]] 참조).<ref>{{저널 인용|제목=Construction of instantons|저널=Physics Letters A|성=Atiyah|이름=M.F.|성2=Hitchin|이름2=N.J.|연도=1978|권=65|호=3|쪽=185–187|bibcode=1978PhLA...65..185A|doi=10.1016/0375-9601(78)90141-x|성3=Drinfeld|이름3=V.G.|성4=Manin|이름4=Yu.I.}}</ref> 이 제한을 극복하기 위한 초기 시도는 [[에드워드 위튼]]<ref>{{저널 인용|제목=An interpretation of classical Yang–Mills theory|저널=Physics Letters B|성=Witten|이름=Edward|연도=1978|권=77|호=4–5|쪽=394–398|bibcode=1978PhLB...77..394W|doi=10.1016/0370-2693(78)90585-3}}</ref>과 아이젠베르크, 예스킨 & 그린의 Ambitwistor 도입이었다.<ref>{{저널 인용|제목=Non-self-dual gauge fields|저널=Physics Letters B|성=Isenberg|이름=James|성2=Yasskin|이름2=Philip B.|연도=1978|권=78|호=4|쪽=462–464|bibcode=1978PhLB...78..462I|doi=10.1016/0370-2693(78)90486-0|성3=Green|이름3=Paul S.}}</ref> Ambitwistor 공간은 복소화된 광선 또는 질량이 없는 입자들의 공간이며 원래 트위스터 설명의 복소화 또는 여접다발로 간주될 수 있다. 이들은 일반 장에 적용되지만 장 방정식은 더 이상 그렇게 간단하게 표현되지 않는다.

자기 쌍대 섹터를 넘어서는 [[기본 상호작용|상호 작용]]에 대한 트위스터 공식은 [[에드워드 위튼]]의 트위스터 끈 이론에서 처음 나왔다.<ref name="Witten2004">{{저널 인용|제목=Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space|저널=Communications in Mathematical Physics|성=Witten|이름=Edward|날짜=6 October 2004|권=252|호=1–3|쪽=189–258|arxiv=hep-th/0312171|bibcode=2004CMaPh.252..189W|doi=10.1007/s00220-004-1187-3}}</ref> 이것은 [[리만 곡면]]에서 트위스터 공간으로가는 정칙 사상의 양자 이론이다. 이 이론에서 양-밀스 이론의 트리 수준 [[산란 행렬|S-행렬]]에 대한 아주 컴팩트한 RSV(Roiban, Spradlin & Volovich)공식이 나왔지만,<ref>{{저널 인용|제목=Tree-level S matrix of Yang–Mills theory|저널=Physical Review D|성=Roiban|이름=Radu|성2=Spradlin|이름2=Marcus|날짜=2004-07-30|권=70|호=2|쪽=026009|arxiv=hep-th/0403190|bibcode=2004PhRvD..70b6009R|doi=10.1103/PhysRevD.70.026009|성3=Volovich|이름3=Anastasia}}</ref> 이것의 중력 자유도는 적용 가능성을 제한하는 등각 [[초중력]] 버전을 발생시켰다. 등각 중력은 유령을 포함하기 때문에 물리적이지 않은 이론이지만, 그 상호 작용은 트위스터 끈 이론을 통해 계산된 루프 진폭에서 양-밀스 이론의 상호 작용과 결합된다.<ref>{{저널 인용|제목=Conformal supergravity in twistor-string theory|저널=Journal of High Energy Physics|성=Berkovits|이름=Nathan|성2=Witten|이름2=Edward|날짜=2004|권=2004|호=8|쪽=009|언어=en|arxiv=hep-th/0406051|bibcode=2004JHEP...08..009B|doi=10.1088/1126-6708/2004/08/009|issn=1126-6708}}</ref>

이런 단점들에도 불구하고 트위스터 끈 이론은 산란 진폭 연구에서 급속한 발전을 가져왔다. 하나는 분리된 끈에 느슨하게 기반을 둔 이른바 MHV 형식주의<ref>{{저널 인용|제목=MHV vertices and tree amplitudes in gauge theory|저널=Journal of High Energy Physics|성=Cachazo|이름=Freddy|성2=Svrcek|이름2=Peter|날짜=2004|권=2004|호=9|쪽=006|언어=en|arxiv=hep-th/0403047|bibcode=2004JHEP...09..006C|doi=10.1088/1126-6708/2004/09/006|issn=1126-6708|성3=Witten|이름3=Edward}}</ref>이지만 트위스터 공간에서 전체 양-밀스 이론에 대한 트위스터 작용 측면에서 더 기본적인 토대를 제공했다.<ref>{{저널 인용|제목=Scattering amplitudes and Wilson loops in twistor space|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|성=Adamo|이름=Tim|성2=Bullimore|이름2=Mathew|연도=2011|권=44|호=45|쪽=454008|arxiv=1104.2890|bibcode=2011JPhA...44S4008A|doi=10.1088/1751-8113/44/45/454008|성3=Mason|이름3=Lionel|성4=Skinner|이름4=David}}</ref> 또 다른 주요 개발은 BCFW 재귀의 도입이었다.<ref>{{저널 인용|제목=Direct Proof of the Tree-Level Scattering Amplitude Recursion Relation in Yang–Mills Theory|저널=Physical Review Letters|성=Britto|이름=Ruth|저자링크=Ruth Britto|성2=Cachazo|이름2=Freddy|날짜=2005-05-10|권=94|호=18|쪽=181602|arxiv=hep-th/0501052|bibcode=2005PhRvL..94r1602B|doi=10.1103/PhysRevLett.94.181602|pmid=15904356|성3=Feng|이름3=Bo|성4=Witten|이름4=Edward}}</ref> 이것은 트위스터 공간에서 자연스러운 공식을 가지며,<ref>{{저널 인용|제목=Scattering amplitudes and BCFW recursion in twistor space|저널=Journal of High Energy Physics|성=Mason|이름=Lionel|성2=Skinner|이름2=David|날짜=2010-01-01|권=2010|호=1|쪽=64|언어=en|arxiv=0903.2083|bibcode=2010JHEP...01..064M|doi=10.1007/JHEP01(2010)064|issn=1029-8479}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The S-matrix in twistor space|저널=Journal of High Energy Physics|성=Arkani-Hamed|이름=N.|성2=Cachazo|이름2=F.|날짜=2010-03-01|권=2010|호=3|쪽=110|언어=en|arxiv=0903.2110|bibcode=2010JHEP...03..110A|doi=10.1007/JHEP03(2010)110|issn=1029-8479|성3=Cheung|이름3=C.|성4=Kaplan|이름4=J.}}</ref> 그 결과 그라스만 적분 공식<ref>{{저널 인용|제목=A duality for the S matrix|저널=Journal of High Energy Physics|성=Arkani-Hamed|이름=N.|성2=Cachazo|이름2=F.|날짜=2010-03-01|권=2010|호=3|쪽=20|언어=en|arxiv=0907.5418|bibcode=2010JHEP...03..020A|doi=10.1007/JHEP03(2010)020|issn=1029-8479|성3=Cheung|이름3=C.|성4=Kaplan|이름4=J.}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Dual superconformal invariance, momentum twistors and Grassmannians|저널=Journal of High Energy Physics|성=Mason|이름=Lionel|성2=Skinner|이름2=David|날짜=2009|권=2009|호=11|쪽=045|언어=en|arxiv=0909.0250|bibcode=2009JHEP...11..045M|doi=10.1088/1126-6708/2009/11/045|issn=1126-6708}}</ref> 및 [[다포체]] 측면에서 산란 진폭의 놀라운 공식을 이끌어 냈다.<ref>{{저널 인용|제목=Eliminating spurious poles from gauge-theoretic amplitudes|저널=Journal of High Energy Physics|성=Hodges|이름=Andrew|날짜=2013-05-01|권=2013|호=5|쪽=135|언어=en|arxiv=0905.1473|bibcode=2013JHEP...05..135H|doi=10.1007/JHEP05(2013)135|issn=1029-8479}}</ref> 이러한 아이디어는 최근에 양의 그라스마니안과 진폭면체로 발전되었다.

트위스터 끈 이론은 먼저 RSV 양-밀스 진폭 공식을 일반화한 다음 기본 [[끈 이론]]을 찾아 확장했다. Cachazo & Skinner<ref>{{저널 인용|제목=Gravity from Rational Curves in Twistor Space|저널=Physical Review Letters|성=Cachazo|이름=Freddy|성2=Skinner|이름2=David|날짜=2013-04-16|권=110|호=16|쪽=161301|arxiv=1207.0741|bibcode=2013PhRvL.110p1301C|doi=10.1103/PhysRevLett.110.161301|pmid=23679592}}</ref>가 중력에 대한 확장을 하였고 David Skinner가 [[11차원 초중력|최대 초중력]]에 대한 트위스터 끈 이론으로 공식화하였다. Cachazo, He & Yuan은 양-밀스 이론과 중력<ref>{{저널 인용|제목=Scattering of massless particles: scalars, gluons and gravitons|저널=Journal of High Energy Physics|성=Cachazo|이름=Freddy|성2=He|이름2=Song|날짜=2014-07-01|권=2014|호=7|쪽=33|언어=en|arxiv=1309.0885|bibcode=2014JHEP...07..033C|doi=10.1007/JHEP07(2014)033|issn=1029-8479|성3=Yuan|이름3=Ellis Ye}}</ref>에 대해, 그리고 이후 다양한 다른 이론에 대해 모든 차원에서 유사한 공식을 발견했다.<ref>{{저널 인용|제목=Scattering equations and matrices: from Einstein to Yang–Mills, DBI and NLSM|저널=Journal of High Energy Physics|성=Cachazo|이름=Freddy|성2=He|이름2=Song|날짜=2015-07-01|권=2015|호=7|쪽=149|언어=en|arxiv=1412.3479|bibcode=2015JHEP...07..149C|doi=10.1007/JHEP07(2015)149|issn=1029-8479|성3=Yuan|이름3=Ellis Ye}}</ref> 그런 다음 Mason & Skinner<ref>{{저널 인용|제목=Ambitwistor strings and the scattering equations|저널=Journal of High Energy Physics|성=Mason|이름=Lionel|성2=Skinner|이름2=David|날짜=2014-07-01|권=2014|호=7|쪽=48|언어=en|arxiv=1311.2564|bibcode=2014JHEP...07..048M|doi=10.1007/JHEP07(2014)048|issn=1029-8479}}</ref>에 의해 원래 트위스터 끈을 포함하고 확장되어 여러 가지 새로운 모델과 공식을 제공하는 일반적 이론의 틀에서 ambitwistor 공간의 끈이론으로 이해되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Infinite tension limit of the pure spinor superstring|저널=Journal of High Energy Physics|성=Berkovits|이름=Nathan|날짜=2014-03-01|권=2014|호=3|쪽=17|언어=en|arxiv=1311.4156|bibcode=2014JHEP...03..017B|doi=10.1007/JHEP03(2014)017|issn=1029-8479}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Ambitwistor Strings in Four Dimensions|저널=Physical Review Letters|성=Geyer|이름=Yvonne|성2=Lipstein|이름2=Arthur E.|날짜=2014-08-19|권=113|호=8|쪽=081602|arxiv=1404.6219|bibcode=2014PhRvL.113h1602G|doi=10.1103/PhysRevLett.113.081602|pmid=25192087|성3=Mason|이름3=Lionel}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=New ambitwistor string theories|저널=Journal of High Energy Physics|성=Casali|이름=Eduardo|성2=Geyer|이름2=Yvonne|날짜=2015-11-01|권=2015|호=11|쪽=38|언어=en|arxiv=1506.08771|bibcode=2015JHEP...11..038C|doi=10.1007/JHEP11(2015)038|issn=1029-8479|성3=Mason|이름3=Lionel|성4=Monteiro|이름4=Ricardo|성5=Roehrig|이름5=Kai A.}}</ref> 끈 이론으로서 그것들은 전통적인 끈 이론과 같은 [[중요한 차원|임계 차원]]을 가지고 있다. 예를 들어 [[유형 II 끈 이론|유형 II]] 초대칭 버전은 10차원에서 중요하며 10차원에서 유형 II 초중력의 전체 장 이론과 동일하다. 그들은 루프 진폭에 대한 공식을 제공하기 위해 확장되고<ref>{{저널 인용|제목=Ambitwistor strings and the scattering equations at one loop|저널=Journal of High Energy Physics|성=Adamo|이름=Tim|성2=Casali|이름2=Eduardo|날짜=2014-04-01|권=2014|호=4|쪽=104|언어=en|arxiv=1312.3828|bibcode=2014JHEP...04..104A|doi=10.1007/JHEP04(2014)104|issn=1029-8479|성3=Skinner|이름3=David}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Loop Integrands for Scattering Amplitudes from the Riemann Sphere|저널=Physical Review Letters|성=Geyer|이름=Yvonne|성2=Mason|이름2=Lionel|날짜=2015-09-16|권=115|호=12|쪽=121603|arxiv=1507.00321|bibcode=2015PhRvL.115l1603G|doi=10.1103/PhysRevLett.115.121603|pmid=26430983|성3=Monteiro|이름3=Ricardo|성4=Tourkine|이름4=Piotr}}</ref> 휘어진 배경에서 정의될 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=A worldsheet theory for supergravity|저널=Journal of High Energy Physics|성=Adamo|이름=Tim|성2=Casali|이름2=Eduardo|날짜=2015-02-01|권=2015|호=2|쪽=116|언어=en|arxiv=1409.5656|bibcode=2015JHEP...02..116A|doi=10.1007/JHEP02(2015)116|issn=1029-8479|성3=Skinner|이름3=David}}</ref>

== 트위스터 대응 ==
[[민코프스키 공간]] <math>M</math>의  좌표 <math>x^a = (t, x, y, z)</math> 및 부호수 <math>(1, 3)</math>인 로런츠 계량 <math>\eta_{ab}</math>을 생각하자.  2 성분 스피너 지수 <math>A = 0, 1;\; A' = 0', 1'</math>를 도입하고 다음과 같이 두자:

: <math>x^{AA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t - z & x + iy \\ x - iy & t + z \end{pmatrix}.</math>

두 개의 상수 [[바일 방정식|바일 스피너]] <math>\omega^A</math> 와 <math>\pi_{A'}</math>에 대해,  비사영 트위스터 공간 <math>\mathbb{T}</math>는 좌표가 <math>Z^{\alpha} = \left(\omega^{A},\, \pi_{A'}\right)</math>과 같은 4차원 복소 선형 공간이다. 에르미트 형식은 <math>\mathbb{T}</math>에서 쌍대 공간 <math>\mathbb{T}^*</math>로 가는 복소 켤레 <math>\bar Z_\alpha = \left(\bar\pi_A,\, \bar \omega^{A'}\right)</math>를 정의하여 표현할 수 있다. 이에 따라, 에르미트 형식은 다음과 같이 표현할 수 있다:

: <math>Z^\alpha \bar Z_\alpha = \omega^{A}\bar\pi_{A} + \bar\omega^{A'}\pi_{A'}.</math>

이것은 정칙 부피 형식과 함께, <math>\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} Z^\alpha dZ^\beta \wedge dZ^\gamma \wedge dZ^\delta</math>는 컴팩트화된 민코프스키 시공간의 등각 군 C(1,3)의 4중 커버인 군 SU(2,2)에서 불변이다.

민코프스키 공간의 점은 입사 관계를 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다.

: <math>\omega^{A} = ix^{AA'}\pi_{A'}.</math>

입사 관계는 트위스터의 전체 크기 조정 하에서 보존되므로 일반적으로 사영 트위스터 공간 <math>\mathbb{PT}</math>에서 작동한다. 이는 복소 다양체 <math>\mathbb{CP}^3</math>와 동형이다. 따라서, 점 <math>x\in M</math>는 <math>\mathbb{PT}</math>안에 <math>\pi_{A'}</math>로 매개변수화 되는 직선 <math>\mathbb{CP}^1</math>을 결정한다. 시공간 안에서 트위스터 <math>Z^\alpha</math>는 자체 쌍대인 완전히 null인 두 면을 정하는 좌표의 복소수 값에 대해 가장 쉽게 이해된다. 실수 <math>x</math>를 취할 때, <math>Z^\alpha \bar Z_\alpha</math>가 사라지면 <math>x</math>는 광선 위에 놓여 있는 반면, 만약 <math>Z^\alpha \bar Z_\alpha</math>가 사라지지 않고 해가 없으면 <math>Z^{\alpha}</math>는 실 시공간에 국한되지 않는 스핀을 가진 질량이 없는 입자에 해당한다.

== 변형 ==
=== 슈퍼트위스터 ===
슈퍼트위스터는 1978년 Alan Ferber가 도입한 트위스터의 [[초대칭]] 확장이다.  비사영 트위스터 공간은 [[페르미온]] 좌표에 의해 확장된다. <math>\mathcal{N}</math>은 트위스터가 반교환인 <math>\eta^i</math>과 함께<math>\left(\omega^A,\, \pi_{A'},\, \eta^i\right), i = 1, \ldots, \mathcal{N}</math>로 주어지도록 하는 초대칭의 수이다. 초등각 군 <math>SU(2,2|\mathcal{N})</math>이 이 공간에 자연스럽게 작용하고 펜로즈 변환의 초대칭 버전은 슈퍼트위스터 공간의 코호몰로지 류를 수퍼 민코프스키 공간의 질량 없는 초대칭 multiplet들로 변환한다. <math>\mathcal{N} = 4</math>인 경우는 펜로즈의 원래 트위스터 스트링의 경우고, <math>\mathcal{N} = 8</math> Skinner의 초중력 일반화의 경우이다.

=== 초켈러 다양체 ===
<math>4k</math> 차원 [[초켈러 다양체]] 또한 복소 <math>2k+1</math> 차원 트위스터 공간과 트위스터 대응된다.<ref>{{저널 인용|제목=Hyper-Kähler metrics and supersymmetry|저널=Communications in Mathematical Physics|성=Hitchin|이름=N. J.|성2=Karlhede|이름2=A.|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104116624|연도=1987|권=108|호=4|쪽=535–589|doi=10.1007/BF01214418|issn=0010-3616|mr=877637|성3=Lindström|이름3=U.|성4=Roček|이름4=M.}}</ref>

== 같이 보기 ==
* 배경 독립성
* [[복소 시공간]]
* [[고리 양자 중력의 역사|루프 양자 중력의 역사]]
* 로빈슨 합동
* [[스핀 네트워크]]
* [[트위스터 공간]]

== 외부 링크 ==
* [[로저 펜로즈|Penrose, Roger]] (1999), "[http://online.itp.ucsb.edu/online/gravity99/penrose/ Einstein's Equation and Twistor Theory: Recent Developments]"
* Penrose,, Roger; Hadrovich, Fedja. "[http://users.ox.ac.uk/~tweb/00006/index.shtml Twistor Theory.]"
* Hadrovich, Fedja, "[http://users.ox.ac.uk/~tweb/00004/ Twistor Primer.] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20050912221705/http://users.ox.ac.uk/~tweb/00004/}}"
* Penrose, Roger. "[http://users.ox.ac.uk/~tweb/00001/index.shtml On the Origins of Twistor Theory.] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20050829230800/http://users.ox.ac.uk/~tweb/00001/index.shtml}}"
* Jozsa, Richard (1976), "[http://users.ox.ac.uk/~tweb/00003/index.shtml Applications of Sheaf Cohomology in Twistor Theory.] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20051111001229/http://users.ox.ac.uk/~tweb/00003/index.shtml}}"
* {{저널 인용|제목=Twistor Theory and Differential Equations|저널=J. Phys. A: Math. Theor.|성=Dunajski|이름=Maciej|날짜=2009|권=42|호=40|쪽=404004|arxiv=0902.0274|doi=10.1088/1751-8113/42/40/404004}}
* Andrew Hodges, [https://www.twistordiagrams.org.uk/papers/index.html Summary of recent developments.]
* Huggett, Stephen (2005), "[http://people.maths.ox.ac.uk/lmason/Tws/Huggett.pdf The Elements of Twistor Theory.]"
* Mason, L. J., "[http://www.theorie.physik.uni-muenchen.de/Twistor/twistor_files/Talks/Mason.pdf The twistor programme and twistor strings: From twistor strings to quantum gravity?]"
* Sparling, George (1999), "[https://www.mat.univie.ac.at/~esiprpr/esi731.pdf On Time Asymmetry.]"
* {{웹 인용|url=https://conservancy.umn.edu/bitstream/handle/11299/130081/1/spradlin.pdf|제목=Progress and Prospects in Twistor String Theory|성=Spradlin|이름=Marcus|날짜=2012}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Twistor.html MathWorld: Twistors.]
* Universe Review: "[http://universe-review.ca/R15-19-twistor.htm Twistor Theory.]"
* [http://people.maths.ox.ac.uk/lmason/Tn/ Twistor newsletter] archives.

== 각주 ==
<references />

== 참고 문헌 ==
* [[로저 펜로즈|Roger Penrose]] (2004), ''The Road to Reality'', Alfred A. Knopf, ch. 33, pp. 958–1009.
* Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984), ''Spinors and Space-Time; vol. 1, Two-Spinor Calculus and Relativitic Fields'', Cambridge University Press, Cambridge.
* Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1986), ''Spinors and Space-Time; vol. 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry'', Cambridge University Press, Cambridge.

== 추가 자료 ==
* {{저널 인용|제목=Twistor theory at fifty: from contour integrals to twistor strings|저널=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|성=Atiyah|이름=Michael|성2=Dunajski|이름2=Maciej|연도=2017|권=473|호=2206|쪽=20170530|doi=10.1098/rspa.2017.0530|성3=Mason|이름3=Lionel J.}}
* Baird, P., "[http://people.math.jussieu.fr/~helein/encyclopaedia/baird-twistors.pdf An Introduction to Twistors]{{깨진 링크|url=http://people.math.jussieu.fr/~helein/encyclopaedia/baird-twistors.pdf }}."
* Huggett, S. and Tod, K. P. (1994).&nbsp;[https://www.worldcat.org/oclc/831625586 ''An Introduction to Twistor Theory''], second edition. Cambridge University Press.&nbsp;{{ISBN|9780521456890}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/9780521456890|9780521456890]].&nbsp;[[온라인 컴퓨터 도서관 센터|OCLC]]&nbsp;[https://www.worldcat.org/oclc/831625586 831625586].
* Hughston, L. P. (1979) ''Twistors and Particles''. Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. {{ISBN|978-3-540-09244-5}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/978-3-540-09244-5|978-3-540-09244-5]].
* Hughston, L. P. and Ward, R. S., eds (1979) ''Advances in Twistor Theory''. Pitman. {{ISBN|0-273-08448-8}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/0-273-08448-8|0-273-08448-8]].
* Mason, L. J. and Hughston, L. P., eds (1990) ''Further Advances in Twistor Theory, Volume I: The 펜로즈 Transform and its Applications''. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. {{ISBN|0-582-00466-7}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/0-582-00466-7|0-582-00466-7]].
* Mason, L. J., Hughston, L. P., and Kobak, P. K., eds (1995) ''Further Advances in Twistor Theory, Volume II: Integrable Systems, Conformal Geometry, and Gravitation''. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. {{ISBN|0-582-00465-9}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/0-582-00465-9|0-582-00465-9]].
* Mason, L. J., Hughston, L. P., Kobak, P. K., and Pulverer, K., eds (2001) ''Further Advances in Twistor Theory, Volume III: Curved Twistor Spaces''. Research Notes in Mathematics 424, Chapman and Hall/CRC. {{ISBN|1-58488-047-3}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/1-58488-047-3|1-58488-047-3]].
* {{저널 인용|제목=The Central Programme of Twistor Theory|저널=Chaos, Solitons and Fractals|성=Penrose|이름=Roger|url=http://users.ox.ac.uk/~tweb/00002/index.shtml|연도=1999|권=10|호=2–3|쪽=581–611|doi=10.1016/S0960-0779(98)00333-6|access-date=2022-11-21|archive-date=2005-08-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20050828171731/http://users.ox.ac.uk/~tweb/00002/index.shtml|url-status=}}

{{중력이론}}
{{소립자 물리학의 표준 모형}}

[[분류:중력 이론]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:클리퍼드 대수]]