트위스터 공간 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''트위스터 공간'''(twistor空間, {{llang|en|twistor space}})은 [[트위스터 이론|트위스터]] 방정식 <math>\nabla_{A'}^{(A}\Omega^{B)}=0 </math>의 해들로 이뤄진 복소[[선형공간]]이다. 1960년대에 [[로저 펜로즈]]와 말콤 맥콜럼(Malcolm MacCallum)이 묘사하였다.<ref>R. Penrose and M. A. H. MacCallum, Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time. {{doi|10.1016/0370-1573(73)90008-2}}</ref>

[[민코프스키 공간]]에 대해 트위스터  방정식의 해들은 다음과 같은 형태이다:

:<math>
\Omega^A(x)=\omega^A-ix^{AA'}\pi_{A'}
</math>

여기서 <math>\omega^A</math> 와 <math>\pi_{A'}</math>는 두 상수 바일 스피너들이고   <math>x^{AA'}=\sigma^{AA'}_\mu x^{\mu}</math>는 [[민코프스키 공간]]의 한 점이다.  트위스터 공간은 4차원 [[민코프스키 공간]]의 [[등각 대칭]]을 자명하게 드러내는 한 방법이기도 하다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1001.3871|title=A first course on twistors, integrability and gluon scattering amplitudes|first=Martin|last=Wolf|bibcode=2010JPhA...43M3001W|doi=10.1088/1751-8113/43/39/393001|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|권=43|호=39|쪽=393001|날짜=2010-10-01|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=0902.0274|제목=Twistor theory and differential equations|이름=Maciej|성=Dunajski|doi=10.1088/1751-8113/42/40/404004|bibcode=2009JPhA...42N4004D|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|권=42|호=40|쪽=404004|날짜=2009-10-09|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0601091|title=Lectures on twistors|이름=Itzhak|성=Bars|bibcode=2006hep.th....1091B|언어=en}}</ref>

펜로즈는 양자 중력 이론의 하나인 [[트위스터 이론]]을 발표하며, 트위스터 공간이 양자 중력 이론의 근본적 배경이고, 여기서 기존의 시공간 개념이 자연스럽게 나온다고 제안했다. [[엔드류 호지스]]에 따르면, 트위스터 공간은 복소수 4개를 가지고 광자의 움직임을 개념화 하는데 유용하다고 한다. 또한 트위스터 공간은 [[약한 상호작용]]의 비대칭성을 이해하는데 도움을 줄지 모른다고 한다.<ref name="Hodges2010">{{서적 인용|author=Andrew Hodges|title=One to Nine: The Inner Life of Numbers|url=https://books.google.com/books?id=UCuwrtBax7AC&pg=PA142&lpg=PA142&focus=viewport&vq=weak+force+twistor&dq=hodges+One+to+Nine+2009#v=onepage&q=weak%20force%20twistor&f=false|date=14 May 2010|publisher=Doubleday Canada|isbn=978-0-385-67266-5|page=142}}</ref>

== 정의 ==
트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에 대하여 정의될 수 있다.

=== 4차원 트위스터 공간 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
** [[수리물리학]]에서는 <math>K = \mathbb R</math> 또는 <math>K = \mathbb C</math>인 경우만 생각한다.
* 2차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>\Delta_+</math>, <math>\Delta_-</math>
** [[수리물리학]]에서, 이는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 (<math>K=\mathbb C</math>인 경우) 또는 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너(<math>K = \mathbb R</math>인 경우)에 해당한다.
그렇다면, 4차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]
:<math>V = \Delta_+ \otimes_K \Delta_-</math>
을 정의할 수 있다. (물리학적으로, 이는 [복소화한] [[시공간]]에 해당한다.) 그 위에는 [[비퇴화 이차 형식]]
:<math>Q(v) = \det v</math>
이 존재한다. (<math>K=\mathbb R</math>인 경우 이는 부호수 (2,2)를 가진다.) <math>V</math> 위에는 <math>\operatorname{GL}(\Delta_+) \times \operatorname{GL}(\Delta_-)</math>가 [[군의 작용|작용]]하며, 이 가운데 <math>\operatorname{SL}(\Delta_+) \times \operatorname{SL}(\Delta_-)</math>의 작용은 <math>Q</math>를 보존한다. 즉, 이는 동형 사상
:<math>\operatorname{SO}(V,Q) \cong \frac{\operatorname{SL}(\Delta_+) \times \operatorname{SL}(\Delta_-)}{\{(1,1),(-1,-1)\}}</math>
을 정의한다. 사실, 4차원 벡터 공간 <math>V</math>를 이렇게 2차원 벡터 공간의 [[텐서곱]]으로 나타내는 구조는 <math>V</math> 위의 선형 [[등각 다양체|등각]] 구조와 동치이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''설명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
구체적으로, <math>\Delta_\pm</math>에 임의의 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조 <math>\omega^\pm</math>를 주었을 때 [[비퇴화 쌍선형 형식]]
:<math>g \colon V \otimes V \to K</math>
:<math>g_{\alpha\dot\alpha\beta\dot\beta} = \omega^+_{\alpha\beta}\omega^-_{\dot\alpha\dot\beta}</math>
을 정의할 수 있다. <math>\Delta_\pm</math> 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조들은 모두 서로 비례하며, 이에 따라 등각 계량 동치류 <math>[g] = \{\lambda g\colon \lambda\in K^\times\}</math>는 잘 정의된다.

반대로, <math>V</math> 위에 등각 계량이 주어졌을 때, 이를 사용하여 직교군 <math>\operatorname{SO}(V)</math>을 정의할 수 있다. 리 군 표현론에 의하여 <math>\operatorname{SO}(V)</math>의 4차원 표현 <math>V</math>는 두 [[바일 스피너]] 표현의 텐서곱으로 주어지며, 이 두 공간이 <math>\Delta_\pm</math>에 해당한다.
</div></div>

이제, 다음과 같은 공간을 생각하자.
:<math>F=\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times V = \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \Delta_+ \otimes \Delta_-</math>
이 5차원 [[비특이 대수다양체]] <math>F</math>를 '''대응 공간'''(對應空間, {{llang|en|correspondence space}})이라고 한다. 그 국소 좌표는
:<math>(x^{\alpha\dot\alpha},[\lambda_\alpha])</math>
로 쓸 수 있다. 여기서 <math>\alpha</math>는 <math>\Delta_+</math>의 지표이며, <math>\dot\alpha</math>는 <math>\Delta_-</math>의 지표이다.

그렇다면, <math>\Delta_+</math>와 그 [[쌍대 공간]] <math>\Delta_+^\vee</math> 사이의 쌍대성으로 인하여 다음과 같은 사영 사상이 유도된다.
:<math> \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times (\Delta_+ \otimes \Delta_-) \to \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee) \cong \mathbb P^3_K</math>
:<math>(x^{\alpha\dot\alpha},[\lambda_\alpha])\mapsto\left[\sum_\alpha \lambda_\alpha x^{\alpha\dot\alpha}:\lambda_\alpha\right]</math>
이 함수는 [[전사 함수]]가 아니며, 그 상은 다음과 같다.
:<math>T = \{[\psi:\lambda] \colon \psi\in \Delta_-,\;\lambda\in\Delta_+^\vee,\;\lambda \ne 0 \} \subsetneq  \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee)</math>
이는 3차원 [[복소수 사영 공간]] 속의 [[열린 부분 스킴]]을 이루며, 그 [[여집합]]은 <math>\{[\psi:0]\colon \psi \in \Delta_- \} \cong \mathbb P(\Delta_-)</math>이다. 즉, <math>T</math>는 3차원 [[준사영 대수다양체]]를 이룬다. 이를 '''트위스터 공간'''이라고 하며, 그 속의 임의의 원소 <math>[\psi:\lambda]</math>를 '''트위스터'''({{llang|en|twistor}})라고 한다.

이는 사영 사상
:<math>T \to \mathbb P(\Delta_+^\vee)</math>
:<math>[\psi:\lambda] \mapsto [\lambda]\qquad(\psi\in\Delta_-,\;\lambda\in\Delta_+^\vee)</math>
을 가지며, 이 사영 아래 <math>T</math>는 <math> \mathbb P(\Delta_+^\vee) \cong \mathbb P^1_K</math> 위의 2차원 [[벡터 다발]]
:<math>\mathcal O(1) \oplus \mathcal O(1)</math>
의 전체 공간과 동형이다.

즉, 대응 공간 <math>F</math>는 (복소화) 시공간과 트위스터 공간 둘 다 위의 올다발을 이룬다.
:<math>\mathbb P(\Delta_+^\vee)\twoheadleftarrow T \twoheadleftarrow \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times V \twoheadrightarrow V</math>

==== 앰비트위스터 ====
왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 고르는 대신, 둘 다 사용할 수 있다. 이 경우 더 큰 트위스터 공간을 얻으며, 이를 '''앰비트위스터 공간'''({{llang|en|ambitwistor space}})이라고 한다.

구체적으로, '''대응 공간'''
:<math>F = \Delta_+ \otimes \Delta_- \oplus \mathbb P(\Delta_+^\vee) \oplus \mathbb P(\Delta_-^\vee)</math>
을 생각하자. 그렇다면, 이는 사상
:<math>F \to \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_-^\vee)</math>
:<math>(x,\lambda^+,\lambda^-) \mapsto ([x^{ij}\lambda^+_i,\lambda^+], [x^{ij}\lambda^-_j,\lambda_-]) = ([\xi_+,\lambda^+],[\xi_-,\lambda^-])</math>
을 정의한다. 그 상은
:<math>\lambda^+ \ne 0</math>
:<math>\lambda^- \ne 0</math>
:<math>\xi_+^\alpha\lambda^+_\alpha = \xi_-^{\dot\alpha}\lambda^-_{\dot\alpha}</math>
를 따른다. 즉, 이는 두 3차원 [[사영 공간]]의 곱공간 속의 [[이차 초곡면]]이다. 이 5차원 초곡면 <math>T_5</math>를 '''앰비트위스터 공간'''이라고 한다. 앰비트위스터 공간은 물론 왼쪽 또는 오른쪽 트위스터 공간 <math>T_3</math>으로의 사영 사상
:<math>T_5 \twoheadrightarrow T_3</math>
을 갖는다.

또한, 이로부터 다음과 같은 사영 사상이 존재한다.
:<math>T_5 \to \mathbb P(\Delta_+^\vee \otimes \Delta_-^\vee \oplus K) \cong \mathbb P^4</math>
:<math>([x^{\alpha\dot\alpha}\lambda^+_\alpha:\lambda^+],
[x^{\alpha\dot\alpha}\lambda^-_{\dot\alpha}:\lambda^-]) \to
 [x^{\alpha\dot\alpha}\lambda^+_\alpha:\lambda^+:\lambda^+\otimes\lambda^-]</math>
그 상은 4차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb P(\Delta_+^\vee \otimes \Delta_-^\vee \oplus K)</math> 속에서
:<math>\det (\lambda^+ \otimes \lambda^-) = 0</math>
으로 정의되는 3차원 [[이차 초곡면]]이다. 이 <math>T_3'</math>는 '''초평면 트위스터 공간'''({{llang|en|hyperplane twistor space}})이라고 한다.<ref name="SW"/> 이는 [[세그레 사상]]
:<math>\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_-^\vee) \to \mathbb P(\Delta_+^\vee\otimes\Delta_-^\vee)</math>
을 통하여, 사실 <math>\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_-^\vee)</math> 위의 선다발
:<math>\mathcal O_{\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_-^\vee)}(1,1)</math>
의 전체 공간과 같다.

=== 6차원 트위스터 공간 ===
다른 차원에서도 유사하게 트위스터 공간을 구성할 수 있다. 예를 들어, 6차원을 생각하자. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.
* 체 <math>K</math>
* 4차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>\Delta</math> (6차원 마요라나-바일 스피너)
그렇다면
:<math>V = \bigwedge^2\Delta</math>
를 정의하면, <math>V</math> 위에는 <math>\operatorname{SL}(\Delta) \times \operatorname{SL}(\Delta)</math>가 작용한다. <math>V</math> 위에는 [[비퇴화 이차 형식]]
:<math>Q(v) = \epsilon_{ijkl}v^{ij}v^{kl}</math>
이 작용하며, 이에 대하여 불변이다. (여기서 <math>\epsilon_{ijkl}</math>은 [[레비치비타 기호]]이다. <math>K = \mathbb R</math>일 때 이는 부호수 (3,3)를 가진다.) 이는 동형 사상
:<math>\operatorname{SO}(3,3) \cong \frac{\operatorname{SL}(4)} {\{1,-1\}}</math>
에서 유래한다.

이 경우, 마찬가지로 공간
:<math>\left(\bigwedge^2\Delta\right) \times \mathbb P(\Delta^\vee)</math>
은 다음과 같은 사영 사상을 갖는다.
:<math>\bigwedge^2\Delta \times\mathbb P(\Delta^\vee)\to \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee)</math>
:<math>(v^{ij},[\lambda_i]) \mapsto \left[\sum_iv^{ij}\lambda_i:\lambda_i\right]</math>
이는 마찬가지로 <math>\mathbb P(\Delta^\vee \oplus \Delta) \cong \mathbb P^7</math>의 부분 집합이다. 그런데
:<math>\sum_{i,j}(v^{ij}\lambda_i)\lambda_j = 0</math>
이므로, 그 상은
:<math>T = \{[\xi:\lambda]\colon \xi^i\lambda_i = 0,\;\lambda \ne 0 \} \subsetneq \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee)</math>
이다. 이는 6차원 [[준사영 대수다양체]]이다. 이 공간 <math>T</math>를 6차원 공간의 '''트위스터 공간'''이라고 하며, 그 원소 <math>[\xi:\lambda]</math>를 '''트위스터'''라고 한다. <math>T</math>는 3차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb P(\Delta^\vee)</math> 위의 3차원 벡터 다발을 이룬다. 이는 4차원 벡터 다발
:<math>\Delta\otimes\mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}</math>
의 부분 다발이며, 짧은 완전열
:<math>0 \to T \to \Delta\otimes\mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)} \,\overset{(\xi,\lambda) \mapsto \xi^i\lambda_i} \to\, \mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}(2) \to 0</math>
을 따른다.<ref name="SW">{{저널 인용|arxiv=1111.2539|이름1=Christopher|성1=Sämann|이름2=Martin|성2=Wolf|날짜=2013|doi=10.1063/1.4769410|제목=On twistors and conformal field theories from six dimensions|언어=en}}</ref>{{rp|(3.9)}}
:<math>
\begin{matrix}
\bigwedge^2\Delta&\twoheadleftarrow & \left(\bigwedge^2\Delta\right) \times \mathbb P(\Delta^\vee) & \twoheadrightarrow & T & \twoheadrightarrow & \mathbb P(\Delta^\vee) \\
&&& & \cap \\
&&& & \operatorname{Spec}\frac{K[\Delta\oplus\Delta^\vee]}{(\xi^i\lambda_j\colon \xi\in \Delta,\;\lambda\in\Delta^\vee)} \\
&&& & \cap \\
&&& & \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee)
\end{matrix}</math>

=== 3차원 트위스터 공간 ===
3차원에서도 마찬가지로 트위스터 공간을 정의할 수 있다. 이 경우의 트위스터 공간은 간혹 '''미니트위스터 공간'''({{llang|en|minitwistor space}})라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.
* 체 <math>K</math>
* 2차원 <math>K</math>-벡터 공간 <math>\Delta</math> (3차원 [마요라나-]바일 스피너의 공간)
그렇다면 3차원 벡터 공간
:<math>V = \operatorname{Sym}^2\Delta</math>
를 정의할 수 있다.

<math>\dim\Delta=2</math>이므로, <math>\Delta</math> 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조는 모두 서로 비례한다. 임의의 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조 <math>\omega\colon\Delta\to\Delta^\vee</math>를 고른다면, <math>V</math>는 딸림표현 <math>\mathfrak{sl}(\Delta)</math>와 동형이며, 이는 [[킬링 형식]]을 갖춘다. 이는 2×2 행렬의 [[행렬식]]에 비례한다. (<math>K = \mathbb R</math>일 때, <math>V</math> 위의 [[이차 형식]]의 부호수는 (2,1)이므로, 이는 3차원 [[민코프스키 공간]]이다.) 즉, 이는 동형 사상
:<math>\operatorname{SL}(\Delta) \cong \operatorname{SO}(V,\det) / \{\pm1\}</math>
을 실현한다. 물론, 사용한 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조를 <math>\omega \mapsto \lambda\omega</math>와 같이 바꾸더라도, 우변에서 이는 이차 형식을 스칼라배 재정의하는 것에 불과하므로, 우변은 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조에 불변이다.

이 경우, 대응 공간
:<math>F = V \times \mathbb P(\Delta^\vee)</math>
으로부터, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.
:<math>F \to \mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee)\cong\mathbb P(2,1,1)</math>
:<math>(x^{ij},\lambda_i) \mapsto [x^{ij}\lambda_i\lambda_j : \lambda_1 : \lambda_2]</math>
여기서 <math>K[1] \oplus \Delta^\vee</math>는 1등급 성분이 <math>\Delta^\vee</math>이며 2등급 성분이 <math>K</math>인 [[등급 벡터 공간]]이며, 이에 대하여 [[가중 사영 공간]]을 취할 수 있다. 이 사상의 상을 '''트위스터 공간''' <math>T</math>라고 한다. 이는 2차원 [[준사영 대수다양체]]이다.

즉, 이는 가중 사영 공간의 [[열린집합]]을 정의한다. 사실, 사영 사상
:<math> \mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee) \to \mathbb P(\Delta^\vee) \cong \mathbb P^1</math>
:<math>[\xi:\lambda_1 : \lambda_2 ] \mapsto [\lambda_1 : \lambda_2]</math>
에 대하여, 이는 [[선다발]]을 이룬다. 그 단면 <math>\xi = x^{ij}\lambda_i\lambda_j</math>는 <math>(\lambda_1,\lambda_2)</math>에 대한 2차 함수이므로, 이는 선다발 <math>\mathcal O(2)</math>에 해당한다. 이는 사실 [[사영 직선]] 위의 [[접다발]]에 해당한다. 즉, <math>T \cong \mathrm T\mathbb P(\Delta^\vee)</math>이다.

가중 사영 공간은 물론 다음과 같이 4차원 사영 공간으로 매장된다.
:<math>\mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee) \to \mathbb P(K\oplus\operatorname{Sym}^2\Delta^\vee) \cong \mathbb P^4</math>
:<math>[\xi:\lambda_i] \mapsto [\xi:\lambda_i \lambda_j]</math>
즉, <math>T</math>는 4차원 사영 공간 속의 2차원 [[준사영 대수다양체]]이다.

:<math>
\begin{matrix}
\operatorname{Sym}^2\Delta&\twoheadleftarrow & (\operatorname{Sym}^2\Delta) \times \mathbb P(\Delta^\vee) & \twoheadrightarrow & \mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}(2) & \twoheadrightarrow & \mathbb P(\Delta^\vee) \\
&&& & \cap \\
&&& & \mathbb P(K[1] \oplus\Delta^\vee) \\
&&& & \cap \\
&&& & \mathbb P(K\oplus\operatorname{Sym}^2\Delta^\vee)
\end{matrix}</math>

== 성질 ==
=== 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계 ===
==== 4차원 ====
4차원 트위스터 공간
:<math>T \,\overset{\pi_T}\twoheadleftarrow\, F \,\overset{\pi_V}\twoheadrightarrow\, V = \Delta_+ \otimes \Delta_-</math>
을 생각하자.

이 경우, 시공간 <math>V</math>와 트위스터 공간 <math>T</math> 사이에 다음과 같은 대응이 존재한다.
{| class=wikitable
! 시공간 !! 트위스터 공간 !! 대응에 대한 설명
|-
| 점 || 복소수 [[사영 직선]] || 
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''설명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
복소화 시공간의 임의의 점 <math>x^{\alpha\dot\alpha}\in V</math>에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간 <math>\pi_T(\pi_V^{-1}(x))\subset T</math>는 다음과 같다.
:<math>\pi_T\circ\pi_V^{-1}(x)=\{[x^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha:\lambda_\alpha]\colon \lambda\in\Delta_+^\vee\}\subsetneq T</math>
이는 트위스터 공간의 한 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1\hookrightarrow T</math>에 해당한다. 즉, 시공간의 점은 트위스터 공간에서의 직선에 대응한다.
</div></div>
|-
| 영평면 || 점
| <div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''설명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
복소화 시공간의 임의의 두 점 <math>x^{\alpha\dot\alpha},y^{\alpha\dot\alpha}\in V</math>이 트위스터 공간의 같은 점 <math>[\xi^{\dot\alpha}:\lambda_\alpha]</math>에 대응된다고 하자.
:<math>x^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = \xi^{\dot\alpha}</math>
:<math>y^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = \xi^{\dot\alpha}</math>
그렇다면
:<math>(x-y)^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = 0</math>
이다. <math>\lambda \ne 0</math>이므로, 이것이 성립할 [[필요 충분 조건]]은 어떤 <math>\lambda' \in \Delta_-</math>에 대하여
:<math>(x-y)^{\alpha\dot\alpha}=\epsilon^{\alpha\beta}{\lambda'}^{\dot\alpha}\lambda_\beta</math>
인 것이다. 즉, <math>[\xi:\lambda]</math>에 대응하는 시공간의 점들은
:<math>x^{\alpha\dot\alpha} + \epsilon^{\alpha\beta}{\lambda'}^{\dot\alpha}\lambda_\beta</math>
의 꼴이다. 이는 (2차원) 평면을 이루며, 정의에 따라서 이는 영평면이다.
</div></div>
|-
| 등각 구조 ([[빛원뿔]] 집합) || [[복소구조]] ([[사영 직선]]의 집합)
|-
| <math>x</math>와 <math>y</math>의 차의 노름이 0 || 두 [[사영 직선]]이 서로 교차
| <div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''설명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
시공간의 두 점 <math>x,y\in V</math>에 대응하는 직선이 서로 교차할 [[필요 충분 조건]]은
:<math>\exists \lambda \in \Delta_+^\vee \colon x^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = y^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha</math>
이다. 그런데
:<math>(x-y)^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = 0</math>
이 되려면,
:<math>(x-y)^{\alpha\dot\alpha} = \psi^{\dot\alpha} \epsilon^{\alpha\beta}\lambda_\beta</math>
가 되어야 함을 보일 수 있다. 이 조건은 사실
:<math>\det (x-y) = 0</math>
인 것과 [[동치]]이다. 물리학적으로, 이는 <math>x</math>가 (적절한 실수 조건을 가했을 때) <math>y</math>의 [[빛원뿔]] 위에 위치함을 뜻한다.
</div></div>
|}
위 표에서 '''영평면'''(零平面, {{llang|en|null plane}})이란 (원점을 지나지 않을 수 있는) 2차원 평면 <math>X</math> 가운데, 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여 <math>(x-y)^2 = 0</math>인 것이다.

사실, 이는 근본적으로 다음과 같은 성질에서 기인한다. 우선, 4차원 벡터 공간 속의 2차원  [[그라스만 다양체]]
:<math>\operatorname{Gr}(2,4)</math>
를 생각하자. 그 속의 닫힌점은 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^3</math> 속의 [[사영 직선]]에 대응한다. 즉, <math>\operatorname{Gr}(2,4)</math>는 <math>\mathbb P^3</math> 속의 [[사영 직선]]의 [[모듈라이 공간]]이다.
이제, 계수를 [[복소수체]]로 잡으면, [[복소다양체]] <math>\operatorname{Gr}(2,4)</math>에 적절한 ‘실수 형식’을 주면, 이는 4차원 [[초구]] <math>\mathbb S^4\hookrightarrow\operatorname{Gr}(2,4;\mathbb C)</math>가 된다. 즉, <math>\mathbb S^4</math>의 점은 트위스터 공간 속의 직선을 정의한다. 여기서 포함 사상은 <math>\mathbb C^4 \cong \mathbb H^2</math>의 선택에 의하여 유도되는 포함 관계 <math>\mathbb S^4 \cong \mathbb P^1_{\mathbb H} \to \mathbb P^3_{\mathbb C}</math>이다. (여기서 <math>\mathbb H</math>는 [[사원수 대수]]이다.)

==== 3차원 ====
3차원 트위스터 공간
:<math>T \,\overset{\pi_T}\twoheadleftarrow\, F \,\overset{\pi_V}\twoheadrightarrow\, V = \operatorname{Sym}^2(\Delta)</math>
을 생각하자. 복소화 시공간의 임의의 점 <math>x^{ij}\in V</math>에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간 <math>\pi_T(\pi_V^{-1}(x))\subset T</math>는 다음과 같다.
:<math>\pi_T\circ\pi_V^{-1}(x)=\{[x^{ij}\lambda_i\lambda_j:\lambda_i]\colon \lambda\in\Delta^\vee\}\subsetneq T</math>
이는 트위스터 공간의 한 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1\hookrightarrow T</math>에 해당한다. 또한, 이는 사영 사상 <math>T \twoheadrightarrow \mathbb P(\Delta^\vee)</math> 아래 각 <math>\lambda\in \Delta^\vee</math>에 대하여 정확히 하나의 점을 포함하므로, 이는 <math>\mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}(2)</math>의 [[단면 (올다발)|단면]]을 이룬다. 즉, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
:<math>\operatorname{Sym}^2\Delta \cong \operatorname H^0(\mathbb P(\Delta^\vee), \mathcal O(2))</math>
물론, 우변은 [[리만-로흐 정리]]를 통해 3차원임을 쉽게 계산할 수 있다.

임의의 두 점
:<math>x,y\in V</math>
에 대응되는 단면
:<math>s, t\in \operatorname H^0(\mathbb P(\Delta^\vee), \mathcal O(2))</math>
이 주어졌을 때, 이를 <math>\mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}(2)</math>의 전체 공간의 부분 공간으로 간주할 때, 이는 정확히 두 개의 점에서 교차한다. 이것이 <math>\lambda,\lambda' \in \mathbb P(\Delta^\vee)</math> 위에 있다고 하자. 그렇다면
:<math>(x-y)^{ij}\lambda_i = (x-y)^{ij}\lambda'_i = 0</math>
이 된다. 이것이 가능할 [[필요 충분 조건]]은
:<math>(x-y)^{ij} \propto \epsilon^{ik}\epsilon^{jl}(\lambda_k \lambda'_l+\lambda_l \lambda'_k)</math>
이다. 즉, (4차원과 달리) 3차원에서는 임의의 벡터는 스피너의 대칭화 텐서곱으로 표현될 수 있다. 특히, <math>\lambda \propto \lambda'</math>일 필요 충분 조건은 <math>(x-y)^2 = 0</math>인 것이다.

트위스터 공간의 한 점 <math>[\xi:\lambda]\in\mathbb P(\Delta^\vee)</math>에 대응되는 두 시공간의 점 <math>x,y\in \operatorname{Sym}^2(\Delta)</math>에 대하여,
:<math>x^{ij}\lambda_i\lambda_j = \xi</math>
:<math>y^{ij}\lambda_i\lambda_j = \xi</math>
이다. 즉
:<math>(x-y)^{ij}\lambda_i\lambda_j = 0</math>
이다. 이는 3개의 변수에 대하여 하나의 방정식이므로, 3차원 시공간 속의 어떤 평면을 정의한다. 또한, <math>x-y</math>는 <math>\Delta^\vee</math> 위의 계량을 정의하는 것으로 여기면, <math>\lambda</math>는 그 영벡터를 이루며, 따라서 <Math>\lambda</math>를 포함하는 <Math>\Delta^\vee</math>의 어떤 기저에 대하여
:<math>\begin{pmatrix}
0&t\\
t&s
\end{pmatrix}</math>
의 꼴이다. 즉, 이 평면을 정의하는 두 선형 독립 접벡터는 다음과 같다.
:<math>\left\{\begin{pmatrix}
0&0\\
0&1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\right\}
</math>
여기서 첫 벡터는 노름이 0이며, 둘째 벡터는 첫째 벡터와 직교한다(즉, 첫째 벡터와의 내적이 0이다). 이러한 평면을 '''영평면'''({{llang|en|null plane}})이라고 한다. 물리학적으로, 이는 [[빛원뿔]]과 접하는 평면으로 해석할 수 있다.

{| class=wikitable
|-
! 3차원 시공간 || 미니트위스터 공간
|-
| 점 || [[사영 직선]] 위의 대수적 [[벡터장]]
|-
| [[빛원뿔]]과 접하는 평면 || 점
|-
| 벡터의 스피너로의 분해 || 두 벡터장이 같은 점을 갖게 되는 두 점
|-
| 노름이 0인 벡터 || 같은 점을 갖게 되는 점이 이중점
|}

=== 펜로즈 변환 ===
<math>K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}</math>라고 하자. <math>\Delta_+ \otimes \Delta_-</math> 위에서, 매끄러운 함수
:<math>\phi\colon \Delta_+ \otimes \Delta_- \to \operatorname{Sym}^n\Delta_+ </math>
에 대하여 다음과 같은 선형 [[편미분 방정식]]을 정의할 수 있다.
:<math>\partial_{\alpha_1\dot\alpha}\phi^{\alpha_1\alpha_2\dotso\alpha_n} = 0</math>
이 선형 1차 [[편미분 방정식]]의 해를 '''나선도 <math>-n/2</math>의 영질량장'''({{llang|en|zero-rest-mass field of helicity <math>-n/2</math>}})이라고 한다. 마찬가지로, 매끄러운 함수
:<math>\phi\colon \Delta_+ \otimes \Delta_- \to \operatorname{Sym}^n\Delta_- </math>
에 대하여 선형 1차 [[편미분 방정식]]
:<math>\partial_{\alpha\dot\alpha_1}\phi^{\dot\alpha_1\dot\alpha_2\dotso\dot\alpha_n} = 0</math>
의 해를 '''나선도 <math>n/2</math>의 영질량장'''({{llang|en|zero-rest-mass field of helicity <math>-n/2</math>}})이라고 한다. <math>h = 0</math>일 때는, 우선 <math>\Delta_\pm</math>에 각각 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조 <math>\omega_{\alpha\beta}</math>, <math>\omega_{\dot\alpha\dot\beta}</math>를 부여하자. 그렇다면 2차 [[미분 연산자]]
:<math>\square = \omega^{\alpha\beta}\omega^{\dot\alpha\dot\beta}\partial_{\alpha\dot\alpha}\partial_{\beta\dot\beta}</math>
를 정의할 수 있다. 그렇다면, '''나선도 0의 영질량장'''은 [[매끄러운 함수]]
:<math>\phi \colon \Delta_+ \otimes\Delta_- \to K</math>
가운데
:<math>\square\phi=0</math>
을 따르는 것이다. 2차원 벡터 공간 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조는 모두 서로 비례하므로, 만약 다른 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조를 사용하더라도 나선도 0의 영질량장의 개념은 잘 정의된다. 나선도 <math>h</math>의 영질량장의 <math>K</math>-[[벡터 공간]]을
:<math>V_h</math>
라고 하자.

이제, 4차원 트위스터 공간
:<math>\mathbb P(\Delta_-\oplus\Delta_+^\vee) \,\overset{\pi_T}\leftarrow\, \Delta_+ \otimes \Delta_- \times \mathbb P(\Delta_+^\vee) \,\overset{\pi_V}\twoheadrightarrow\, \Delta_+ \otimes \Delta_-</math>
을 생각하자. 임의의 [[열린집합]]
:<math>U \subseteq \mathbb P(\Delta_-\oplus\Delta_+^\vee)</math>
에 대하여,
:<math>\pi_V(\pi_T^{-1}(U)) = U'</math>
라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
:<math>\operatorname H^1(U,\mathcal O(2h-2)) \cong V_h</math>
즉, 트위스터 공간 위의 <math>2h-2</math>차 [[선다발]]의 정칙 단면은 시공간 위의, 나선도 <math>h</math>의 영질량장과 일대일 대응한다. 이를 '''펜로즈 변환'''({{llang|en|Penrose transform}})이라고 한다.

=== 순간자 모듈러스 공간 ===
임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[반단순 리 군]] <math>G</math>에 대하여,
4차원 [[유클리드 공간]] <math>M</math> 위의 <math>G</math>-[[양-밀스 이론]]의 [[순간자]]
:<math>F = *F</math>
를 생각하자. 이 경우, 유클리드 공간을 복소화하여 4차원 복소수 벡터 공간 <math>V = M \otimes_{\mathbb R} \mathbb C</math>을 취할 수 있다. 이 경우에도 자기 쌍대성 조건은 여전히 유효하다. 이 경우, <math>V</math> 위의 순간자의 [[모듈라이 공간]]은 순간자 공간 <math>T</math> 위의 정칙 <math>G</math>-[[주다발]] 가운데 ① 위상적으로 자명하며 ② 임의의 포함 사상 <math>\mathbb P^1_{\mathbb C} \hookrightarrow T</math>에 제한하였을 때 정칙적으로 자명한 것들의 [[모듈라이 공간]]과 표준적으로 동형이다.<ref name="Sämann">{{저널 인용|날짜=2016|제목=Lectures on higher structures in M-theory|arxiv=1609.09815|이름=Christian|성=Sämann|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 4.1}} 이 대응을 '''펜로즈-워드 변환'''({{llang|en|Penrose–Ward transform}})이라고 한다.

구체적으로, [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1(\Delta_+^\vee)</math>는 두 개의 [[아핀 직선]]으로 구성된 [[열린 덮개]]를 가지며, 따라서 그 위의 [[벡터 다발]] <math>T</math>는 두 개의 3차원 [[아핀 공간]] <math>U</math>, <math>V</math>로 구성된 [[열린 덮개]]를 갖는다. 위의 조건들을 따르는 <math>G</math>-[[주다발]] <math>P</math>는 따라서 전이 함수
:<math>g\colon U\cap V \to G</math>
로 주어진다.

사영 사상 <math>\pi\colon V \times \mathbb P(\Delta_+^\vee) \twoheadrightarrow T</math> 아래, <math>\pi^{-1}(U)</math>와 <math>\pi^{-1}(V)</math>는 <math>F=V \times \mathbb P(\Delta_+^\vee)</math>의 [[열린 덮개]]를 이룬다.  <math>\{\pi^{-1}(U),\pi^{-1}(V)\}</math>가 <math>F</math>의 [[열린 덮개]]를 이루므로, 항상
:<math>\pi^*g = h^{-1}k</math>
:<math>h\colon \pi^{-1}(U) \to G</math>
:<math>k\colon \pi^{-1}(V) \to G</math>
으로 표현될 수 있다. <math>V \times \mathbb P(\Delta_+^\vee)</math> 위에는 표준적인 벡터장
:<math>X_{\dot\alpha}=\lambda^\alpha\partial_{\alpha\dot\alpha}</math>
:<math>X \in \Gamma(\mathrm TF \otimes \Delta_-^\vee)</math>
이 존재하며, 이에 따라
:<math>\pi^*g \colon \pi^{-1}(U) \cap \pi^{-1}(V) \to G</math>
는
:<math>0 = X(\pi^*g) = X(h^{-1}k) = (Xh^{-1})k - h^{-1}k(Xk^{-1})k = h^{-1}\left(hXh^{-1} - kXk^{-1} \right)k</math>
를 따른다. 즉,
:<math>hXh^{-1} \restriction (\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V)) = kXk^{-1} \restriction (\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V))</math>
이다. 이를 짜깁기하여 <math>\tilde A_{\dot\alpha}</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\tilde A \colon F \to \mathfrak{lie}(G) \otimes \Delta_-^\vee</math>
<math>\tilde A</math>는 <math>X</math>에 비례하며, <math>X</math>는 <math>\lambda</math>에 비례하므로, <math>V</math> 위의 [[리 대수 값 미분 형식|<math>\mathfrak{lie}(G)</math>값의]] [[1차 미분 형식]]
:<math>A \in \Omega(V) \otimes \mathfrak{lie}(G)</math>
:<math>\tilde A_{\dot\alpha} = A_{\alpha\dot\alpha}\lambda^\alpha</math>
을 정의할 수 있다. 그렇다면 이는 <math>V</math> 위의 순간자를 정의하는 [[주접속]]을 이룬다.

== 역사 ==
1967년에 [[로저 펜로즈]]가 4차원 시공간의 트위스터 공간을 최초로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1063/1.1705200|제목=Twistor Algebra|날짜=1967|이름=Roger|성=Penrose|저자링크=로저 펜로즈|저널=Journal of Mathematical Physics|권= 8|쪽=345 |날짜=1967|언어=en}}</ref> 이후 펜로즈는 [[파동 방정식]]의 해와 트위스터 공간 위의 [[선다발]]의 [[층 코호몰로지]] 사의 펜로즈 변환을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|날짜=1968-05|이름=Roger|성=Penrose|저자링크=로저 펜로즈|제목=Twistor quantisation and curved space-time|doi=10.1007/BF00668831|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|날짜=1969|이름=Roger|성=Penrose|저자링크=로저 펜로즈|doi=10.1063/1.1664756|제목=Solutions of the zero-rest-mass equations|저널=Journal of Mathematical Physics|권=10|호=38|언어=en}}</ref> 1977년에 리처드 새뮤얼 워드({{llang|en|Richard Samuel Ward}}, 1951〜)가 [[양-밀스 이론]]의 [[순간자]]를 트위스터 공간으로 나타내는 펜로즈-워드 변환을 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | first1=Richard Samuel | 성= Ward | title=On self‐dual gauge fields | doi=10.1016/0375-9601(77)90842-8 | mr=0443823 | year=1977 | journal=Physics Letters A | issn=0375-9601 | volume=61 | issue=2 | pages=81–82|bibcode = 1977PhLA...61...81W }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=An introduction to twistors|이름=Paul|성=Baird|url=http://www.math.jussieu.fr/~helein/encyclopaedia/baird-twistors.pdf|언어=en|확인날짜=2013-11-15|archive-date=2013-05-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20130512082020/http://www.math.jussieu.fr/~helein/encyclopaedia/baird-twistors.pdf|url-status=}}
* {{eom|title=Penrose transform|first= M.G.|last=Eastwood}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:복소다양체]]