투수계수 문서 원본 보기

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'''투수계수'''는 [[다르시의 법칙]]에 사용되는 계수로, 유체가 얼마나 잘 다공성 매질을 통과하는지 나타낸다.

== 투수계수에 영향을 주는 인자 ==
매질과 통과 유체에 따라 투수계수가 결정된다. 매질의 경우 [[유효입경]] D<sub>10</sub>, [[공극비]] e,{{refn|group=주|토양 내 공기가 들어가면 투수계수가 감소한다.{{sfn|이재수|2018|p=221}}}} [[비표면적]] S 등을 인자로 가지고, 유체의 경우 [[단위중량]] γ, [[점성계수]] η{{sfn|이재수|2018|p=221}} 등을 인자로 가진다. 다음은 투수계수를 결정하는 몇 가지 식이다.

'''Hazen의 경험식(1930)'''

<math>0.1mm \leq D_{10} \leq 3.0mm</math>, [[균등계수]] <math>C_u \leq 5</math>인 균등한 가는 모래의 경우 다음 경험식을 적용할 수 있다. c가 1.0에서 1.5 사이의 상수라고 할 때,
:<math>k = c D_{10}</math>

'''Taylor의 식(1948)'''

C가 형상계수라고 할 때,<ref>{{서적 인용|url=|제목=토목기사 과년도 - 토질 및 기초|성=임진근 외|이름=|날짜=2015|출판사=성안당|쪽='''4'''-6|확인날짜=}}</ref>
:<math>k = {D_{s}}^2 \frac{\gamma_\omega}{\eta} \frac{e^3}{1+e} C</math>
::D<sub>s</sub> : 토립자 입경(cm)

'''Kozeny-Carman 식'''

Taylor의 식을 수정한 식이다. k<sub>0</sub>는 공극의 형상과 두 점 사이의 거리에 대한 실제 흐름 길이에 따른 계수이다.
:<math>k = \frac{1}{k_0 S^2} \frac{\gamma}{\eta} \frac{e^3}{1+e}</math>

'''Lambe-Whitman 식'''

:<math>\frac{e_1^3}{1+e_1} k_2 = \frac{e_2^3}{1+e_2} k_1</math>

== 단위 ==
일반적으로 m/day를 쓰지만 빠르게 이동하는 물에 대해서는 cm/hr를 쓰기도 한다.{{sfn|이재수|2018|p=221}}

== 측정 ==
실내시험으로는 투수계수를 정수위 투수시험과 변수위 투수시험으로 결정할 수 있다. 현장시험으로는 양수시험, [[피압 지하수]] 우물(artesian well) 양수법, [[시추공]]을 이용하는 방법(개단시험, 패커시험)이 있다.

=== 실내시험 ===
==== 정수위 투수시험 ====
{{위키배움터|투수}}
[[파일:정수위 투수시험.png|섬네일|정수위 투수시험]]
투수성이 비교적 큰 [[조립토]]에 적당하다. 흙 시료에 유입되는 수조와 유출되어 나오는 수조의 수위를 일정하게 하여 물을 시료에 통과시킴으로써 [[다르시의 법칙]]에 의해 투수계수를 구할 수 있다. 시험기구는 정압수두 투수계라고 부른다.{{sfn|이재수|2018|p=219}}
:<math>Q = kiAt</math>
:<math>k = \frac{Q}{iAt} = \frac{QL}{hAt}</math>
::Q : 침투수량
::A : 시료 단면적
::t : 투수 시간
::L : 시료 길이

==== 변수위 투수시험 ====
[[파일:변수위 투수시험.png|섬네일|변수위 투수시험. 시간이 t<sub>1</sub>일 때 수위가 h<sub>1</sub>이다가 t<sub>2</sub>가 되면 h<sub>2</sub>로 변한다.]]
투수성이 비교적 작은 [[세립토]]에 적당하다. 정수위 시험과는 다르게 유입수가 스탠드파이프를 통해 흙 시료를 빠져나간다. 따라서 수위가 변한다. 파이프 단면적을 a, 시료 단면적을 A라 할 때 투수계수는 다음과 같다. 시험기구는 감소수두 투수계라고 한다.{{sfn|이재수|2018|p=219}}

<math>\begin{align} k & = \frac{aL}{A(t_2 - t_1)}\ln \frac{h_1}{h_2} \\
                & = \frac{2.303aL}{A(t_2 - t_1)}\log \frac{h_1}{h_2} \\ \end{align}</math>

이 식은 다르시의 법칙과 연속방정식을 적분하여 나온 것이다.

<math>Q = - av = -a \frac{dh}{dt}</math>

다르시의 법칙에 의해

<math>Q = kiA = kA \frac{h}{L}</math>이므로

<math>-a \frac{dh}{h} = \frac{kA}{L}dt</math>

적분하면

<math>-a \int_{h_1}^{h_2} \frac{dh}{h} = \frac{kA}{L} \int_{t_1}^{t_2} dt</math>

<math>-a \ln \frac{h_2}{h_1} = \frac{kA}{L} (t_2 - t_1)</math>

이것을 k에 대해 정리하면 변수위 투수시험의 투수계수가 나온다.

==== 온도 보정 ====
정수위 투수시험, 변수위 투수시험을 통해 구한 투수계수를 15°C에서의 투수계수로 바꾸어주어야 한다. 온도가 T°C일 때의 투수계수를 k<sub>T</sub>, 점성계수를 μ<sub>T</sub>, 온도가 15°C일 때의 투수계수를 k<sub>15</sub>, 점성계수를 μ<sub>15</sub>라고 하면 다음 식으로 보정할 수 있다.{{sfn|이재수|2018|p=221}}
:<math>k_{15} \mu_{15} = k_T \mu_T</math>

=== 현장시험 ===
현장시험은 실내시험에 비해 교란되지 않은 시료를 이용할 수 있으므로 신뢰성이 높다는 장점이 있다.
==== 양수시험 ====
[[파일:양수시험.jpg|섬네일|300px|하나의 시험정을 파고 주위에 여러 개의 관측정을 파서 투수계수를 측정하는 양수시험]]
하나의 시험정과 여러 개의 관측정을 파고, 시험정에서 일정량의 물을 양수하면서 관측정의 수위를 측정하여 투수계수를 정하는 것을 양수시험이라고 한다. 양수시험을 통해 구하는 투수계수는 다음과 같다. 양수량을 Q라고 할 때,
:<math>k = \frac{Q \ln r_1/r_2}{\pi (h_1^2 - h_2^2)} = \frac{2.303Q}{\pi (h_1^2 - h_2^2)} \log \frac{r_1}{r_2}</math>
만약 시험정 근처에 관측정을 파고, 원래 양수 전 지하수위에 또다른 관측정이 있다면 <math>h_1^2 - h_2^2 = h_0^2 - h_3^2</math>이므로 식은 다음과 같이 된다.
:<math>k = \frac{Q \ln r_0/r_3}{\pi (h_0^2 - h_3^2)} = \frac{2.303Q}{\pi (h_0^2 - h_3^2)} \log \frac{r_0}{r_3}</math>

==== 피압 지하수 우물 양수법 ====
불투수층 사이에 피압 지하수층(confined aquifer)이 T의 두께만큼 존재하는 경우에도 양수시험을 하여 투수계수를 구할 수 있다.
:<math>k = \frac{Q \ln r_1/r_2}{2 \pi T (h_1 - h_2)} = \frac{2.303 Q \log r_1/r_2}{2 \pi T (h_1 - h_2)}</math>

== 성층토층 평균투수계수 ==
토층이 다양한 경우 투수계수는 각 토층의 [[불교란 시료]]를 채취하여 각각의 투수계수를 측정한 후 전체 토층의 평균투수계수를 구하는 방법을 쓴다.
=== 수평토층 평균투수계수 ===
[[파일:성층토층 수평 투수계수.png|right|350px]]
각 토층의 단위폭당 유량(<math>q_1, q_2, \cdots q_n</math>)을 전부 합하면 전체 토층의 평균투수계수를 이용한 단위폭당 유량(q)과 같다는 원리를 이용한다.
:<math>q_1 + q_2 + \cdots + q_n = q</math>
:<math>k_1 i H_1 + k_2 i H_2 + \cdots k_n i H_n = k_h i H</math>
:<math>\therefore k_h = \frac{1}{H}(k_1 H_1 + k_2 H_2 + \cdots k_n H_n) = \frac{1}{H} \sum_{i=1}^n k_i H_i</math>

{{-}}

=== 수직토층 평균투수계수 ===
[[파일:성층토층 수직 투수계수.png|right|350px]]
각 토층을 지나면서 생기는 수두손실을 <math>h_1, h_2, \cdots , h_n</math>이라고 하자. 모든 토층을 지났을 때 수두손실 <math>h = h_1 + h_2 + \cdots + h_n</math>이며, 이것을 각 토층의 [[동수경사]]와 토층 두께로 나타낸다면 다음과 같이 된다.
:<math>h = i_1 H_1 + i_2 H_2 + \cdots + i_n H_n</math>
토층을 지나는 유량이 모두 동일하기 때문에 <math>q_1 = q_2 = \cdots = q_n = q</math>이며, [[연속방정식]]에 의하면 유속도 모두 동일하다(<math>v_1 = v_2 = \cdots = v_n = v</math>) 이를 각 토층의 투수계수와 동수경사로 나타낸다.
:<math>k_1 i_1 = k_2 i_2 = \cdots = k_n i_n = k_v i</math>
전체 토층에서 유속으로부터
:<math>v = k_v i = k_v \frac{h}{H}</math>
:<math>k_v = \frac{H}{h} v = \frac{H}{\frac{1}{v}(i_1 H_1 + i_2 H_2 + \cdots + i_n H_n)} = \frac{H}{\frac{H_1}{k_1} + \frac{H_2}{k_2} + \cdots + \frac{H_n}{k_n}}</math>
:<math>\therefore k_v = \frac{H}{\sum_{i=1}^n \frac{H_i}{k_i}}</math>

== 등가투수계수 ==
{{본문|유선망#비등방 토질에서 침투유량}}
자연계 토질은 대부분 [[비등방]]성이다. 연직방향 투수계수가 수평방향 투수계수보다 작다(<math>k_z < k_x</math>) [[연속방정식]]을 [[라플라스 방정식]]으로 바꾸면 x방향으로 축소된 유선망을 그릴 수 있다. 즉 축소된 좌표는 다음과 같이 변환된다.
:<math>x_t = \sqrt{\frac{k_z}{k_x}} x</math>
침투가 x방향으로만 일어난다고 할 때, 단위폭당 침투유량은
:<math>q_x = k' h \frac{n_f}{n_d} = \sqrt{k_x \cdot k_z} h \frac{n_f}{n_d}</math>
<math>k' = \sqrt{k_x \cdot k_z}</math>은 '''등가투수계수'''이다.

== 같이 보기 ==
* [[우물]]
* [[유선망]]

== 각주 ==
=== 내용주 ===
<references group=주/>

=== 참조주 ===
<references />

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자1=장병욱 |저자2=전우정 |저자3=송창섭 |저자4=유찬 |저자5=임성훈 |저자6=김용성 |날짜=2010 |제목=토질역학 |출판사=구미서관 |쪽=93-105, 113-114 |isbn=978-89-8225-697-4 }}
* {{서적 인용 |저자1=김도열 |저자2=김석환 |저자3=기완서 |저자4=정상국 |저자5=이병철 |날짜=2009 |제목=알기쉬운 토질역학 |출판사=구미서관 |쪽=153-155 |isbn=978-89-8225-688-2 }}
* {{서적 인용|저자1=이재수|제목=수문학|날짜=2018|출판사=구미서관|isbn=9788982252914|ref=harv|판=2}}
* {{서적 인용|제목=토목기사 필기 과년도 - 토질 및 기초|날짜=2015|성=임진근 외|이름=|출판사=성안당|쪽=|판=|장=}}

{{전거 통제}}

[[분류:수리공학]]
[[분류:수문학]]
[[분류:토질역학]]