통계역학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{통계역학}}
{{학문 정보
|학문명 = 통계역학
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|다른 이름 =통계물리학
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'''통계역학'''(統計力學, {{llang|en|statistical mechanics}}), 또는 '''통계물리학'''(統計物理學)은 [[통계학]]의 방법을 이용하여 역학의 문제를 푸는 [[물리학]]의 기초 이론 중 하나다. 통계역학은 입자가 무척 많거나, 대상의 운동이 무척 복잡하여 확률적 해석이 중요해지는 현상을 주로 다루며, [[핵반응]] 현상이나 [[생물학]], [[화학]] 등 여러 분야에 적용된다. 통계역학은 [[고전역학]]과 [[양자역학]]에서 다루는 물리계를 확률적, 통계적으로 해석한다. 다루는 대상에 따라서 [[고전 통계역학]] 또는 [[양자통계역학]]으로 구분한다.

== 통계역학의 연구 대상 ==
통계역학의 방법은 대상의 [[자유도 (통계학)|자유도]](혹은 변수의 개수)가 무척 커서 정확한 해를 구할 수 없을 때 유용하게 쓰인다. 통계역학의 세부 분야나 파생 분야로는 [[비선형 동역학]], [[혼돈 이론]], [[플라즈마 물리학]], [[열역학]], [[유체역학]] 등이 있다. 통계역학의 문제 중 간단한 것은 항의 [[무더기 전개]]나 [[근사]] 방법을 통해 해석적으로 해를 구할 수 있으나, 최근의 복잡한 문제들은 방정식의 수치적인 해를 구하거나 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 그 결과를 얻는다. [[복잡계]]의 문제를 푸는 방법 중 가장 널리 알려진 것으로 [[몬테카를로 방법|카를로스]]시뮬레이션이 있다. 통계 물리학의 연구자들이 최근에 많이 연구하는 주제로는 [[네트워크 이론]]이 있다.

== 고전 통계역학 ==
고전 통계역학은 [[볼츠만]]이 처음 정립했다. 이를 이해하기 위해서는 우선 [[엔트로피]]에 대한 개념이 필요하다. 엔트로피는 쉽게 말해서 어떠한 [[계 (물리학)|계]]의 무질서도 또는 [[거시상태]]에 대응되는 [[미시상태]]의 가지수라고 할 수 있다. 예를 들어 주사위 3개를 던지는 '''계'''를 생각해보자. 3 주사위 눈의 합이 3인 경우는 각각의 주사위가 모두 1의 눈인 경우만 가능하다. 하지만, 주사위 눈의 합이 6인 경우는 총 10가지 경우가 있다. 따라서 위의 정의에 따라 주사위 눈의 합이 3인 거시상태는 합이 6인 거시상태보다 엔트로피가 낮다고 볼 수 있다. 이렇게 엔트로피가 높을수록 해당하는 거시상태가 나타날 확률은 높아진다. 볼츠만은 물리적인 계의 엔트로피를 계산하여 해당하는 계가 어떤 특정한 거시상태에 있을 확률을 유도하였다. 이에 에너지와 계의 [[온도]]를 변수로하는 [[볼츠만 인자]]를 도입하였다.

=== 열역학과의 관계 ===
열역학의 이론들은 경험적으로 발전된 것에 반해, 통계역학에서는 이 이론들을 계의 구성요소의 물리학적 성질로부터 유도한다. 그렇지만 열역학의 접근 방법이 물리적으로 잘못된 것은 아니며, 이 둘의 관계는 고전역학과 양자역학의 관계와 같다고 해석할 수 있다.

=== 양자역학과의 관계 ===
통계역학은 19세기에 정립되었는데 이는 20세기 양자역학의 발전에 영향을 미쳤다. 통계역학이 계를 확률적으로 바라보는 관점과 계산 방법이 양자역학에 많이 사용되었다. 20세기 중반에 들어서는 통계역학의 [[경로적분]]의 개념이 [[양자장론]]에 영향을 미쳤고 1970년대 [[케네스 G. 윌슨]]의 [[재규격화]] 이론이 입자물리학에 큰 영향을 미쳤다.

== 양자 통계역학 ==
양자 통계역학에서는 고전적인 통계역학의 확률 분포인 [[볼츠만 분포]]에 양자역학적인 성질을 고려하여 확률 분포를 계산한다. 우선 [[페르미온]]과 [[보손]]이 보여주는 [[양자역학적 동일 입자]](identical particle)의 성질을 이해할 필요가 있다. 여러 개의 동일 입자들가 있을 때 이를 나타내는 [[확률파동함수]]를 <math> \psi(x_1, x_2, \dots x_n) </math> 이라고 할 때에 입자 1과 입자 2을 서로 맞바꾸어도 제3의 관찰자로서는 아무런 차이를 감지 할 수 없다. 즉 <math> \psi(x_1, x_2, \dots x_n) = \psi(x_2, x_1, \dots x_n) </math> 이라고 할 수 있다. 이제 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 [[고윳값]] r을 생각해 볼 수 있는데, <math> \chi^2 </math>는 두 번 맞바꾼 것이기 때문에 단순한 [[항등원|항등]]연산자이다. 그러므로 <math> \chi^2 </math>의 고윳값 <math> r^2 </math>는 1이 되고, <math>r</math>은 실수라 가정할 때에 당연히 +1 또는 -1이 될 것이다.

=== 페르미-디랙 통계 ===
{{본문|페르미-디랙 통계}}

[[페르미온]]은 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 고윳값 <math>r = -1</math>인 경우이다. 따라서 <math> \chi \psi(x_1, x_2, \dots x_n)= - \psi(x_1, x_2, \dots x_n) </math> 이고, 위에서 언급한대로 맞바꾸기를 한 이후의 확률파동함수는 그 이전과 비교해서 구분할 수 없다. 즉, <math> \psi(x_1, x_2, \dots x_n)= - \psi(x_1, x_2, \dots x_n)</math>이 된다. 따라서 앞의 식의 양변을 한쪽으로 옮기면 <math> \chi \psi(x_1, x_2, \dots x_n)= 0</math>을 확인할 수 있다. 이는 한 개 보다 많은 복수의 페르미온이 동일한 상태에 존재 할 수 없음을 나타낸다. 그러므로 특정한 에너지 <math> \epsilon </math>를 갖는 페르미온에 대한 확률분포를 볼츠만 분포를 확장하여 계산하면 다음과 같다.

;상태1: <math> \epsilon </math>의 에너지를 갖는 페르미온이 존재하지 않는 경우의 볼츠만 인자는 1이다.

;상태2: <math> \epsilon </math>의 에너지를 갖는 페르미온이 하나 존재하는 경우의 볼츠만 인자는 <math> e^{-\frac{\epsilon}{k T}} </math>이다.

이제 <math> \epsilon </math>의 에너지를 갖는 페르미온이 '하나' 존재할 확률을 계산해 보면 <math> \frac{e^{- \frac {\epsilon} {k T}}}{1+e^{- \frac {\epsilon}{k T}}} </math>이 된다.

=== 보스-아인슈타인 통계 ===
{{본문|보스-아인슈타인 통계}}

보손은 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 고윳값 r이 +1인 경우이다. 이때 기본 양자역학적인 대칭의 필요에서 어떤 두 알갱이를 바꿀 때, 총 파동함수 <math> \psi</math>가 대칭적이다(즉 바뀌지 않은 채로 남아 있다.). 기호로<math>\psi(x_1, x_2, \dots x_n)=  \psi(x_1, x_2, \dots x_n)</math>이다. 두 알갱이를 서로 바꾼다고 하여 전체 기체의 새로운 상태가 되는 것은 아니다. 그러므로 기체의 구별되는 상태를 셀 때, 알갱이들이 정말로 구별할 수 없다고 생각해야 한다. 대칭에 필요한 알갱이들은 보즈-아인쉬타인 통계를 따른다고 하며 그들을 보손이라 부른다.
여기에서 알갱이들은 구별할 수 없는 것으로 생각하므로 수 <math>\{n_1, n_2, n_3, \dots\}</math>의 단순한 명시는 기체상태를 충분히 설명한다.
모든 가능한 값은 각 r에 대해서
<math>n_r=0, 1, 2, 3, \dots</math>
에 대해 합하는 것만 필요하다.
즉 알갱이들이 구별이 안 되기 때문에 어떤 알갱이 수도 어떤 한 상태에 있을 수 있지만, 두 알갱이가 있을 때 들어가는 상태가 교환이 되지 않는 것을 의미한다.

=== [[애니온]] 통계 ===
애니온은 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 고윳값 r이 복소수로써 <math> r^2 = 1 </math>을 만족하는 경우이다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* {{서적 인용 | 제목=통계 열역학|저자=임경희|출판사=한티미디어|isbn=978-899118249-3|날짜=2008-03-03}}
* {{서적 인용 | 제목=응용과학 전공자를 위한 통계열역학|판=2판|저자= 최상돈 | 공저자 = 이연주, 강남룡 | 출판사= 청문각 | 날짜=2010-02-10|isbn=978-896364037-2}}
* {{서적 인용 | 이름=Kerson | 성=Huang | 제목=Statistical mechanics | 위치=New York | 출판사=Wiley | 판=2판 | 날짜=1987 | isbn=0-471-81518-7 | 언어=en | url=http://www.mit.edu/people/kerson/BookDescript/statmech.htm | 확인날짜=2014년 4월 6일 | 보존url=https://web.archive.org/web/20140407104003/http://www.mit.edu/people/kerson/BookDescript/statmech.htm | 보존날짜=2014년 4월 7일 | url-status=dead }}
* {{서적 인용 | 이름=Raj K.|성=Pathria | 공저자=Paul D. Beale| 제목=Statistical mechanics | 판=3판| 출판사=Academic Press | 날짜=2011-02 |isbn= 978-0-12-382188-1|doi= 10.1016/B978-0-12-382188-1.00020-7|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{서적 인용|chapterurl=http://www.kps.or.kr/home/kor/morgue/physicist/physicist_18.asp?globalmenu=6&localmenu=1&physicistpagenum=18|장=볼츠만과 통계역학의 출현|저자=임경순|제목=현대물리학의 선구자|출판사=다산|날짜=2001-02-15|isbn=978-897110170-4|access-date=2014-04-06|archive-date=2014-04-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20140407093153/http://www.kps.or.kr/home/kor/morgue/physicist/physicist_18.asp?globalmenu=6&localmenu=1&physicistpagenum=18}}
* {{웹 인용|url=http://chris.kias.re.kr/lectures_in_inha/lec-2001-1/eduthermal/kclee/dice/default.htm|제목=주사위만 던져도 열물리의 기본을 이해할 수 있어요|저자=이구철}}

== 같이 보기 ==
* [[앙상블 (물리학)|앙상블]]
* [[열역학]]
* [[퓨가시티]]
* [[양자적 상태수]]
* [[상전이]]
* [[임계현상]]

{{물리학 분야}}

{{전거 통제}}

[[분류:통계역학| ]]
[[분류:물리학]]
[[분류:물리학 개념]]