톰 스펙트럼 문서 원본 보기

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[[보충 경계]] 이론에서, '''톰 스펙트럼'''({{llang|en|Thom spectrum}})은 [[직교군]]의 [[분류 공간]]의 [[톰 공간]]들로 구성된 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]이다. 이 스펙트럼에 대응하는 호몰로지 이론은 [[보충 경계환]]이다.

== 정의 ==
[[분류 공간]]
:<math>\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname{EO}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)</math>
위의 [[연관 벡터 다발]]
:<math>\mathbb R^n \hookrightarrow (\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)} \mathbb R^n) \twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)</math>
의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.
:<math>\operatorname{MO}(n) = \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n)</math>

[[리 군]]의 포함 관계
:<math>\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname O(n+1)</math>
로부터 유도되는 [[분류 공간]]의 포함 관계
:<math>g_n\colon \operatorname{BO}(n)\hookrightarrow\operatorname{BO}(n+1)</math>
로부터, [[벡터 다발]]의 [[당김 올다발]]
:<math>g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n)
\twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n) </math>
을 정의할 수 있다. 이 경우,
:<math>g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n) = \operatorname{EO}(n) \oplus_{\operatorname{BO}(n)} (\operatorname{BO}(n) \times\mathbb R)</math>
은 자명한 1차원 벡터 다발을 [[직합]]으로 더한 것이다. 톰 공간을 취했을 때, 이는 [[축소 현수]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{Th}\left(g_n^* (\operatorname{EO}(n+1)\times_{\operatorname O(n+1)}\mathbb R^n)\right)
= \Sigma \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n) = \Sigma\operatorname{MO}(n)
</math>
즉, 이는 사상
:<math>\Sigma\operatorname{MO}(n) \to \operatorname{MO}(n+1)</math>
을 정의한다. 이 사상들은 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]
:<math>\operatorname{MO}</math>
을 정의하는데, 이를 '''톰 스펙트럼'''({{llang|en|Thom spectrum}})이라고 한다. 

=== 복소수·사원수 톰 스펙트럼 ===
위와 유사하게, 실수와 [[직교군]] 대신 [[복소수]]와 [[유니터리 군]]을 사용하여 스펙트럼 <math>\operatorname{MU}</math>를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계
:<math>g_n\colon\operatorname{BU}(n) \hookrightarrow\operatorname{BU}(n+1)</math>
에 의하여, 
:<math>g_n^* (\operatorname{EU}(n+1)\times_{\operatorname U(n+1)}\mathbb C^n) = \operatorname{EU}(n) \oplus (\operatorname{BU}(n) \times\mathbb C)</math>
이므로,
:<math>\operatorname{Th}\left(g_n^* (\operatorname{EU}(n+1)\times_{\operatorname U(n+1)}\mathbb C^n)\right)
= \Sigma^2 \operatorname{Th}(\operatorname{EU}(n)\times_{\operatorname U(n)}\mathbb C^n) = \Sigma^2\operatorname{MU}(n)
</math>
이다. 그러나 [[복소평면]]은 ([[실수선]]과 달리) 2차원이므로, 이는 스펙트럼의 짝수차 성분만을 정의한다.

마찬가지로, [[사원수]]와 콤팩트 [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{USp}(2n)</math>을 사용하여 스펙트럼 <math>\operatorname{MUSp}</math>를 정의할 수 있다.
구체적으로, 포함 관계
:<math>g_n\colon\operatorname{BUSp}(2n) \hookrightarrow\operatorname{BUSp}(2n+2)</math>
에 의하여,
:<math>g_n^* (\operatorname{EUSp}(2n+2)\times_{\operatorname{USp}(2n+2)}\mathbb H^n) = \operatorname{EUSp}(2n) \oplus (\operatorname{BUSp}(2n) \times\mathbb H)</math>
이므로,
:<math>\operatorname{Th}\left(g_n^* (\operatorname{EUSp}(2n+2)\times_{\operatorname{USp}(2n+2)}\mathbb H^n)\right)
= \Sigma^4 \operatorname{Th}(\operatorname{EUSp}(2n)\times_{\operatorname{USp}(2n)}\mathbb H^n) = \Sigma^4\operatorname{MUSp}(4n)
</math>
이다. [[사원수]] 공간은 4차원이므로, 이는 스펙트럼의 4의 배수차 성분만을 정의한다.

== 역사 ==
[[르네 톰]]의 이름을 땄다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Thom spectrum}}
* {{nlab|id=Thom spectrum}}

[[분류:대수적 위상수학]]