톰 공간 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''톰 공간'''(Thom空間, {{llang|en|Thom space}})은 실수 [[벡터 다발]]에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 이를 사용하여 [[미분위상수학]]의 일부 대상들을 [[호모토피 이론]]의 기법으로 다룰 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[파라콤팩트 공간]] <math>X</math>
* <math>n</math>차원 실수 [[벡터 다발]] <math>\mathbb R^n\hookrightarrow E\,\overset\pi\twoheadrightarrow\,X</math>
그렇다면, 각 올의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]를 취하여, [[초구]] <math>\mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}</math>를 올로 하는 [[올다발]] <math>\operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow X</math>을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 '''톰 공간''' <math>\operatorname{Th}(E)</math>이라고 한다.
:<math>\operatorname{Th}(E):=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(x,\infty_x)\colon x\in X\}}</math>

=== 내적을 통한 정의 ===
<math>E</math> 위에, 올별 임의의 연속 [[양의 정부호]] 내적
:<math>\eta \in \Gamma(E^* \otimes E^*)</math>
을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 올 <math>E_x</math>의 닫힌 공
:<math>\operatorname{Ball}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) \le 1\}</math>
및 초구
:<math>\operatorname{Sph}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) = 1\}</math>
을 정의할 수 있다. 이 둘은 <math>X</math> 위의 [[올다발]]을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:<math>\operatorname{Sph}(\pi)\subseteq \operatorname{Ball}(\pi) \subseteq E</math>
'''톰 공간'''은 다음과 같은 [[몫공간]]이다.
:<math>\operatorname{Th}(\pi) = \frac {\operatorname{Ball}(\pi)}{\operatorname{Sph}(\pi)}</math>
이는 자연스럽게 [[점을 가진 공간]]을 이루며, 그 밑점은 <math>\operatorname{Sph}(\pi)</math>의 [[동치류]]이다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 호환 ===
두 [[파라콤팩트 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>과 그 위의 두 유한 차원 [[벡터 다발]]
:<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>
:<math>\varpi\colon F\twoheadrightarrow Y</math>
가 주어졌다고 하자. [[곱공간]] <math>X\times Y</math>으로부터의 사영 사상
:<math>\operatorname{proj}_X\colon X\times Y\twoheadrightarrow X</math>
:<math>\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y</math>
을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 [[당김 (범주론)|당김]]
:<math>\operatorname{proj}_X^*\pi\colon E \twoheadrightarrow X\times Y</math>
:<math>\operatorname{proj}_X^*\varpi\colon F \twoheadrightarrow X\times Y</math>
을 구한다. 이들의 [[직합]]을 <math>\pi\boxtimes\varpi</math>로 표기하겠다.
: <math>\pi\boxtimes\varpi \colon \operatorname{proj}_X^* E \oplus \operatorname{proj}_X^* F \twoheadrightarrow X\times Y</math>
이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 <math>\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi)</math>는 각각의 톰 공간에 서로 [[분쇄곱]]을 취한 것과 [[위상 동형]]이다.
:<math>\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi) = \operatorname{Th}(\pi)\wedge \operatorname{Th}(\varpi)</math>
특히, 만약 <math>\varpi</math>가 [[한원소 공간]] 위의 (자명한) [[벡터 다발]]이라고 하자.
:<math>Y = \{\bullet\}</math>
:<math>F = Y \times\mathbb R^n</math>
그렇다면, <math>\varpi</math>의 톰 공간은 [[초구]]이므로, (<math>\operatorname{Th}(\varpi) = \mathbb S^n</math>) 다음을 얻는다.
:<math>\operatorname{Th}(E \oplus \mathbb R^n) = \operatorname{Th}(E) \wedge \mathbb S^n = \operatorname\Sigma^n(\operatorname{Th}(E))</math>
여기서 <math>\operatorname\Sigma^n</math>은 [[축소 현수]]를 <math>n</math>번 취한 것이다.

=== 함자성 ===
두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 [[벡터 다발]]
:<math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>
:<math>\varpi\colon F\twoheadrightarrow Y</math>
및 [[연속 함수]]
:<math>f\colon X\to Y</math>
위의 [[벡터 다발 사상]]
:<math>\phi\colon E \to F</math>
가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 [[연속 함수]]
:<math>\operatorname{Th}(f,\phi) \colon \operatorname{Th}(\pi) \to \operatorname{Th}(\varpi)</math>
:<math>\operatorname{Th}(f,\phi) \colon(x,e) \mapsto (f(x),\phi(e))\qquad(e\in E_x)</math>
:<math>\operatorname{Th}(f,\phi) \colon \infty \mapsto \infty</math>
가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 [[점을 가진 공간]]의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{VectBun_{fin}} \to \operatorname{Top}_\bullet</math>
를 정의한다.

=== 호몰로지 ===
초구 다발 <math>\operatorname{Sph}(E)</math>의 무한대 단면을 <math>s_\infty\colon B\to\operatorname{Sph}(E)</math>, 영단면을 <math>s_0\colon B\to E\subsetneq\operatorname{Sph}(E)</math>라고 적자.

톰 공간의 [[축소 코호몰로지]]는 다음과 같은 [[상대 호몰로지]]와 같다.
:<math>\operatorname{\tilde H}^\bullet(\operatorname{Th}(E))=\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_\infty(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_0(B)\right)\cong
\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),\operatorname{Sph}(E)\setminus s_0(B)\right)
\cong
\operatorname H^\bullet\left(E,E\setminus s_0(B)\right)
</math>

=== 톰 동형 ===
유한 차원 실수 벡터 다발 <math>E\twoheadrightarrow B</math> 및 음이 아닌 정수 <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여, 다음과 같은 <math>\mathbb F_2</math>-벡터 공간의 표준적인 [[동형 사상]]이 존재한다.
:<math>\operatorname H^k(B; \mathbb F_2)\cong\operatorname{\tilde H}^{k+n}(\operatorname{Th}(E); \mathbb F_2)</math>
여기서 우변은 [[축소 코호몰로지]]이다. 이를 '''톰 동형'''({{llang|en|Thom isomorphism}})이라고 한다.

톰 동형은 구체적으로 어떤 원소
:<math>\Phi\in\operatorname H^n(E,E\setminus s_0(B);\mathbb F_2)</math>
에 의한 [[합곱]]으로 주어진다.
:<math>\Phi\smile\colon\operatorname H^k(E;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);\mathbb F_2)</math>
만약 <math>E\twoheadrightarrow B</math>가 [[방향 (다양체)|유향 벡터 다발]]이라면, 이는 임의의 [[가환환]] <math>R</math> 계수에 대하여 존재한다.
:<math>\Phi\smile\pi^*(-)\colon\operatorname H^k(B;R)\to\operatorname H^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);R)</math>

== 예 ==
=== 자명한 벡터 다발 ===
[[파라콤팩트 공간]] <math>X</math> 위의 자명한 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon X\times\mathbb R^n</math>의 톰 공간을 생각하자. 이 경우
:<math>\operatorname{Ball}(\pi) = X\times \mathbb B^n</math>
:<math>\operatorname{Sph}(\pi) = X\times \mathbb S^{n-1}</math>
이며,
:<math>\operatorname{Th}(\pi) = X \times\mathbb S^n / (X \times \{\bullet_{\mathbb S^n}\})</math>
이다. 여기서 <math>\bullet_{\mathbb S^n} \in \mathbb S^n</math>은 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>에 부여한 임의의 [[점을 가진 공간|밑점]]으로, 공 <math>\mathbb B^n</math>의 경계에 속한다.

만약 <math>X_+ = X \sqcup \{\bullet_X\}</math>가 <math>X</math>에 분리된 밑점을 추가한 [[점을 가진 공간]]이라면, 이는
:<math>\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^n</math>
가 된다. 여기서 <math>\cong</math>은 [[위상 동형]]이며, <Math>\wedge</math>는 [[점을 가진 공간]]끼리의 [[분쇄곱]]이다.

특히, 만약 <math>n = 0</math>일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은
:<math>\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^0 \cong X_+</math>
이다.

=== 콤팩트 공간 위의 벡터 다발 ===
[[콤팩트 공간]] <math>X</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>의 톰 공간 <math>\operatorname{Th}(\pi)</math>은 <math>E</math>의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]와 [[위상 동형]]이다.
:<math>\operatorname{Th}(\pi) \cong E^+</math>

=== 톰 스펙트럼 ===
{{본문|톰 스펙트럼}}
[[분류 공간]]
:<math>\operatorname O(n)\hookrightarrow \operatorname{EO}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)</math>
위의 [[연관 벡터 다발]]
:<math>\mathbb R^n \hookrightarrow (\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)} \mathbb R^n) \twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)</math>
의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.
:<math>\operatorname{MO}(n) := \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n)</math>
이들 사이에는 자연스러운 사상
:<math>\Sigma\operatorname{MO}(n) \to \operatorname{MO}(n+1)</math>
이 존재하여, [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]] <math>\operatorname{MO}</math>를 정의하는데, 이를 '''[[톰 스펙트럼]]'''이라고 한다. 

== 역사 ==
[[르네 톰]]이 1954년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=René|성=Thom|저자링크=르네 톰|제목=Quelques propriétés globales des variétés différentiables|저널=Commentarii Mathematici Helvetici|권=28|날짜=1954|쪽=17–86|doi=10.1007/BF02566923|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002056259|mr=0061823|issn=0010-2571|언어=fr|확인날짜=2016-01-27|보존url=https://web.archive.org/web/20160203062228/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002056259|보존날짜=2016-02-03|url-status=dead}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[보충 경계]]
* [[코호몰로지 연산]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름1=Raoul|성1=Bott|저자링크1=라울 보트|이름2=Loring Wuliang|성2=Tu|저자링크2=로링 투|제목=Differential forms in algebraic topology |날짜=1982|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=82|issn=0072-5285|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-1-4419-2815-3 |doi=10.1007/978-1-4757-3951-0|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Thom space}}
* {{nlab|id=Thom space}}
* {{웹 인용|url=https://www.konradvoelkel.com/2012/06/thom-spaces/ | 제목=Thom spaces | 이름=Konrad|성=Thom | 날짜=2012-06-13|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/12/11/the-thom-isomorphism-theorem/|제목=The Thom isomorphism theorem|날짜=2010-12-11|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/7375/explanation-for-the-thom-pontryagin-construction-and-its-generalisations|제목=Explanation for the Thom-Pontryagin construction (and its generalisations)|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:대수적 위상수학]]