토리첼리의 정리 문서 원본 보기

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'''토리첼리의 정리'''(Torricelli's theorem)는 수조 측면 하부의 대기와 개방된 비교적 작은 구멍을 통하여 유출되는 유체(Fluid)의 속도(Velocity) 값을 계산하는 공식으로, 이 때 구멍이 작아 수조의 수위 하강 속도는 무시하고 계산한다. [[베르누이 정리]] 중 비압축성 흐름(incompressible flow) 방정식의 변형된 수식이다.

== 공식 ==
기본 공식:
:<math>\Rightarrow v=\sqrt{2gh}</math>
:v(m/s) - 유체 속도
:g(m/s<sup>2</sup>)- 중력가속도
:h(m) - 기준점에서의 높이
아래와 같은 공식에서 유도됩니다. (단, 위의 h는 아래의 z 와 같습니다. 기호만 다름)

:<math>{v^2 \over 2}+gz+{p\over\rho}=\text{constant}</math>

:<math>gz+{p_{atm}\over\rho}={v^2 \over 2}+{p_{atm}\over\rho}</math>
:<math>\Rightarrow v^2=2gz\,</math> :<math>\Rightarrow v=\sqrt{2gz}</math>

== 조건 ==
비압축성 유체(incompressible fluid), 비점성 유체(inviscid fluid), 대기(1atm : atmosphere)에 개방, 수위의 하강 속도를 무시할 정도의 작은 구멍(토출구)

[[파일:torricelli 1.jpg|400px|그림1]]

h<sub>1</sub>은 기준면(수조바닥)에서 수조 수위까지의 높이

h<sub>2</sub>는 기준면(수조바닥)에서 토출면(작은 구멍)까지의 높이

h는 토출면(작은 구멍)에서 수조 수위까지의 높이

== 베르누이 방정식에서의 유도 ==
ν<sub>1</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>1</sub> + p<sub>1</sub>/ρ = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>2</sub> + p<sub>2</sub>/ρ 에서

* p<sub>1</sub> 과 p<sub>2</sub>는 모두 대기압 상태이므로 같은 값을 가지고, ρ는 비압축성유체로 정의 되므로 p<sub>1</sub>/ρ 와 p<sub>2</sub>/ρ는 동일한 값을 가짐

→ ν<sub>1</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>1</sub> + <del>p<sub>1</sub>/ρ</del> = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>2</sub> + <del>p<sub>2</sub>/ρ</del> → ν<sub>1</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>1</sub> = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>2</sub>

* ν<sub>1</sub> 은 주어진 공식의 조건에서 수위의 하강 속도를 무시하므로 0으로 간주함

→ <del>ν<sub>1</sub><sup>2</sup>/2</del> + gh<sub>1</sub> = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>2</sub> → gh<sub>1</sub> = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 + gh<sub>2</sub> → gh<sub>1</sub> - gh<sub>2</sub> = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 → g(h<sub>1</sub>-h<sub>2</sub>) = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2

* h<sub>1</sub>-h<sub>2</sub>는 토출면(작은 구멍)에서 수조 수위까지의 높이이므로

→ g(h<sub>1</sub>-h<sub>2</sub>) = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 → gh = ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 → ν<sub>2</sub><sup>2</sup>/2 = gh

* 양변에 2를 곱하면

→ ν<sub>2</sub><sup>2</sup> = 2gh → ν = √2gh 로 유도됨.

== 같이 보기 ==
* [[다르시의 법칙]]
* [[동압]]
* [[푸아죄유의 법칙]]
* [[나비에-스토크스 방정식]]
* [[파스칼의 원리]]
* [[포텐셜 유동]]
* [[압력]]
* [[크리핑 유동]]
* [[스트로스 흐름 상수]]
* [[유동 함수]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=|판=초|출판사=한티미디어|쪽=|장=6.4 베르누이 방정식의 응용}}

{{위키공용분류|Torricelli's Law}}

[[분류:유체동역학]]
[[분류:수리학]]