토렐리 정리 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''토렐리 정리'''(Torelli定理, {{llang|en|Torelli theorem}})는 [[리만 곡면]]이 그 [[야코비 다양체]]에 의하여 결정된다는 정리다. 즉, 리만 곡면의 [[모듈라이 공간]]에서 [[야코비 다양체]]로의 사상은 [[단사 함수]]이다. [[K3 곡면]]<ref>{{저널 인용|이름=Robert|성=Friedman|제목=A new proof of the global Torelli theorem for K3 surfaces|저널=Annals of Mathematics|권=120|호=2|쪽= 237–269 |zbl=0559.14004|jstor=2006942|doi=10.2307/2006942|언어=en}}</ref>과 [[칼라비-야우 다양체]]<ref>{{저널 인용|arxiv=1112.1163|언어=en}}</ref>의 경우에도 유사한 정리가 존재한다.

== 정의 ==
종수가 <math>g</math>인 [[리만 곡면]]들의 [[타이히뮐러 공간|모듈러스 공간]] <math>\mathcal M_g</math>는 (<math>g>1</math>인 경우) <math>3g-3</math>차원 복소 공간이다. <math>g</math>차원 복소 [[주극성화 아벨 다양체]]의 모듈러스 공간
:<math>\mathcal A_g\cong\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)</math>
은 <math>g(g+1)/2</math>차원 복소 공간이다. 주기 사상(period mapping)에 의하여, 주어진 종수 <math>g</math>의 [[리만 곡면]] <math>\Sigma_g</math>로부터 그 [[야코비 다양체]]
:<math>J(\Sigma_g)=H^1(\Sigma_g;\mathbb C)/H^1(\Sigma_g;\mathbb Z)</math>
를 정의할 수 있다. 야코비 다양체는 <math>g</math>차원 [[아벨 다양체]]이므로, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간 <math>\mathcal M_g</math>에서 아벨 다양체 모듈러스 공간 <math>\mathcal A_g</math>로 가는 사상
:<math>\iota\colon\mathcal M_g\to\mathcal A_g</math>
를 정의한다. '''토렐리 정리'''에 따르면, 이는 [[단사 함수]]이다.

== 예 ==
종수가 <math>g=0</math>인 경우, <math>\mathcal M_0</math>와 <math>\mathcal A_0</math> 둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

<math>g=1</math>인 경우,
:<math>\mathcal M_0\cong\mathcal A_1\cong\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>
이다. (종수 1의 [[리만 곡면]]과 1차원 [[아벨 다양체]] 둘 다 [[타원 곡선]]이다.) 이 경우 주기 사상은 [[단사 함수]]일 뿐만 아니라 [[전단사 함수]]이다.

종수가 <math>g=2,3</math>인 경우에도 <math>\dim\mathcal M_g=\dim\mathcal A_g</math>이다. 이 경우, <math>\iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 <math>\mathcal A_g</math> 전체이다.<ref name="Debarre"/>

종수가 <math>g\ge4</math>인 경우 <math>\dim\mathcal M_g<\dim\mathcal A_g</math>이다. 이 경우, <math>\iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g</math>는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 '''숏키 문제'''({{llang|en|Schottky problem}})라고 한다.<ref name="Debarre">{{저널 인용|제목=The Schottkey problem: an update|이름=Olivier|성=Debarre|url=http://library.msri.org/books/Book28/files/debarre.pdf|access-date=2013-11-02|archive-date=2013-11-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20131103060323/http://library.msri.org/books/Book28/files/debarre.pdf|url-status=}}</ref>

== 역사 ==
루제로 토렐리({{llang|it|Ruggiero Torelli}})가 1913년 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ruggiero|성=Torelli|제목=Sulle varietà di Jacobi|저널=Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti|권=22|호=2|날짜=1913|쪽=98–103|jfm=44.0655.03|issn=0001-4435|언어=it}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=A simple proof of the theorem of Torelli based on Torelli’s approach|mr=883393|이름=Alberto|성=Collino|doi=10.1090/S0002-9939-1987-0883393-4|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=100|날짜=1987|쪽=16–20|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Torelli theorems|first= Val. S.|last=Kulikov}}
{{토막글|수학}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:복소기하학 정리]]