토드 특성류 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''토드 특성류'''(Todd特性類, {{llang|en|Todd class}})는 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]] 및 [[아티야-싱어 지표 정리]]에 등장하는 [[특성류]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=지표이론|저자=조용승|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-622-9|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|언어=ko|확인날짜=2014-11-12|보존url=https://web.archive.org/web/20141112075225/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[파라콤팩트 공간]] <math>X</math>
* <math>X</math> 위의 [[복소수 벡터 다발]] <math>E</math>
** <math>\dim_{\mathbb C}E=n</math>이라고 하자.
[[분할 원리]]({{llang|en|splitting principle}})에 의하여, <math>E</math>의 특성류는 <math>E</math>가 복소수 선다발들의 직합 <math>L_1\oplus \dotsb \oplus L_n</math>인 것처럼 볼 때, 이들의 천 특성류 <math>x_i = \operatorname c_1(L_i)</math>에 대한 [[대칭 다항식]]으로 정의된다. (물론 이 ‘선다발’ <math>L_i</math>는 존재하지 않을 수 있다.)

'''토드 특성류''' <math>\operatorname{Td}(E)\in H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>는 <math>E</math>의 [[특성류]]의 하나로, [[유리수]] 계수의 [[코호몰로지|코호몰로지류]]이며, 구체적으로 다음과 같은 [[대칭 다항식]]으로 주어진다.
:<math>\operatorname{Td}(E)=\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}=\prod_{i=1}^n\left(1+\frac12x_i+\frac1{12}x_i^2-\frac1{720}x_i^4+\dotsb\right) \in \operatorname H^\bullet(M;\mathbb Q)</math>

[[천 특성류]] <math>c_i</math>는 이와 같이 다항식으로 정의하면 다음과 같다.
:<math>c=c_1+c_2+c_3+\dotsb=\prod_{i=1}^n(1+x_i)</math>
이를 사용하여 쓰면, 토드 특성류는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Td}(E)=1+\frac12\operatorname c_1(E)+\frac1{12}\left(\operatorname c_1(E)^2+\operatorname c_2(E)\right)+\frac1{24}\operatorname c_1(E)\operatorname c_2(E)+\frac1{720}\left(-\operatorname c_1(E)^4+4\operatorname c_1(E)^2\operatorname c_2(E)+\operatorname c_1(E)\operatorname c_3(E)+3\operatorname c_2(E)^2-\operatorname c_4(E)\right)+\dotsb</math>

== 성질 ==
벡터 다발의 [[직합]]의 토드 특성류는 각 성분의 토드 특성류의 [[합곱]]이다.
:<math>\operatorname{Td}(E\oplus F)=\operatorname{Td}(E)\smile\operatorname{Td}(F)</math>

== 역사 ==
[[영국]]의 수학자인 [[존 아서 토드]]({{llang|en|John Arthur Todd}})가 1937년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Todd|이름=J. A.|제목=The arithmetical theory of algebraic loci|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|권=43|호=1|날짜=1937|쪽=190–225|doi=10.1112/plms/s2-43.2.127}}</ref> 이는 최초로 발견된 [[특성류]]의 하나이며, [[천싱선]]이 [[천 특성류]]를 1946년 도입하기 오래 전에 발견되었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Todd class}}
* {{eom|title=Todd polynomials}}
* {{nlab|id=Todd class}}

[[분류:특성류]]