테일러 급수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Sintay SVG.svg|섬네일|오른쪽|[[사인 함수]]의 테일러 급수의 수렴. 검은 선은 사인 함수의 그래프이며, 색이 있는 선들은 테일러 급수를 각각 1차(<span style="color:red;">빨강</span>), 3차(<span style="color:orange;">주황</span>), 5차(<span style="color:yellow;">노랑</span>), 7차(<span style="color:green;">초록</span>), 9차(<span style="color:blue;">파랑</span>), 11차(<span style="color:indigo;">남색</span>), 13차(<span style="color:violet;">보라</span>) 항까지 합한 것이다.]]
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''테일러 급수'''(Taylor級數, {{llang|en|Taylor series}})는 [[미분|도함수]]들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 [[급수 (수학)|무한합]]으로 [[해석함수]]를 나타내는 방법이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 함수]] <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math> 및 실수 <math>a\in\mathbb R</math> (또는 [[정칙 함수]] <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math> 및 복소수 <math>a\in\mathbb C</math>)가 주어졌을 때, <math>f</math>의 '''테일러 급수'''는 다음과 같은 [[멱급수]]이다.
:<math>T_f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^n=f(a) + f'(a)(x-a) + \frac12f''(a)(x-a)^2 + \frac16f'''(a)(x-a)^3 + \cdots</math>
여기서 <math>n!</math>은 <math>n</math>의 [[계승 (수학)|계승]]을, <math>f^{(n)}(a)</math>는 <math>f</math>의 <math>a</math>에서의 <math>n</math>계 [[도함수]]를 말한다. 특히 0계 도함수는 원래 함수 자신이다. <math>a=0</math>일 때의 테일러 급수를 '''매클로린 급수'''({{llang|en|Maclaurin series}})라고 부른다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|2013|p=15}}

=== 다변수 테일러 급수 ===
테일러 급수는 또한 둘 이상의 변수의 함수로 일반화될 수 있다. <math>d</math>개의 변수를 갖는 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon\mathbb R^d\to\mathbb R</math>의 '''테일러 급수'''는 다음과 같다.
:<math> \begin{align} & T_f(x_1,\dots,x_d)\\ &= \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d) \\ &= f(a_1, \dots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) \\ &\qquad + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ &\qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots \end{align} </math>

예를 들어, 두 개의 변수 x, y에 의존하는 함수에 대해 점 (a, b)에 관한 2차식을 위한 테일러 급수는 다음과 같다.
:<math>\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\frac{(x-a)^{k-i}(y-b)^i}{(k-i)!i!}\left.\frac{\partial^kf}{\partial x^{k-i}\partial y^i}\right|_{(a,b)}=f(a,b) +(x-a)f_x(a,b)+(y-b)\, f_y(a,b)+ \frac12\left((x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2f_{yy}(a,b) \right)+\cdots</math>
여기서 첨자는 각각의 편미분을 나타낸다.

== 성질 ==
=== 수렴성 ===
[[매끄러운 함수]]의 경우, 일반적으로 테일러 급수는 수렴할 필요가 없고, 설사 수렴하더라도 원래 함수와 다를 수 있다. 예를 들어,
:<math>x\mapsto\begin{cases}\exp(-1/x^2)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math>
는 [[매끄러운 함수]]이며, 0에서의 모든 차수의 도함수들이 0이다. 따라서 0에서의 테일러 급수는 (모든 항이 0이므로) 수렴하지만, 원래 함수와 다르다. 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하는 경우를 '''[[해석 함수]]'''라고 한다.

반면, 복소 함수의 경우, 모든 [[정칙 함수]]는 테일러 급수가 항상 원래 함수로 수렴한다. 즉, 모든 [[정칙 함수]]는 [[해석 함수]]이다.

=== 오차 ===
{{본문|테일러 정리}}
테일러 급수를 다음 식으로 나타낸다고 할 때,
:<math>f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_{n+1}(x)</math>
마지막 항인 <math>R_{n+1}(x)</math>을 f의 '''나머지 항''' 또는 '''절단오차'''라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|2013|p=15}}

* <math>R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.</math>

== 증명 ==
[[미적분학의 제2 기본정리]]로부터
:<math>\int_{a}^{x} f'(t)dt=f(x)-f(a)</math>
이다.

이때 위 식을 다음과 같이 변형하자.
:<math>\int_{a}^{x} f'(t)dt=\int_{a}^{x} (-1){(-f'(t))}dt</math>
이제, 이를 이용하여 [[부분적분]]을 시행하자.
<math>-1</math>을 적분할 함수, <math>-f'(t)</math>를 미분할 함수로 잡자. 이때 <math>f(t)</math>가 무한하게 미분가능하면 부분적분을 무한하게 할 수 있으므로 다음과 같이 무한히 시행하여 보면
:<math>\int_{a}^{x} (-1)(-f'(t))dt</math>
:<math>=\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}</math>
단, 여기서 -1을 계속 적분할 때 -1의 한 부정적분을 구해서 써주면 되는데, 적분변수 t와 관계없는 값 x를 상수취급하여 x-t를 부정적분으로서 구했다.

이제 위 식을 풀면
:<math>\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}</math>
:<math>=(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots=f(x)-f(a)</math>
그러므로, [[매끄러운 함수]] f(x)에 대하여
:<math>f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots</math>
이 된다.

== 예 ==
모든 [[다항식]]의 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이다.

대표적인 테일러 급수의 예로는 다음이 있다.{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|2013|p=15, 16}} 테일러 급수가 수렴할 조건을 괄호에 제시하였다.
:<math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\qquad(|x|<1)</math>
:<math>\exp x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots\qquad\forall x</math>
:<math>\sin x = \sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots  \qquad\forall x</math>
:<math>\cos x = \sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots  \qquad\forall x</math>
:<math>\tan x =\sum^\infty_{n=1}  { {B_{2n}(-1)^n2^{2n}(1-(2^{2n}))}x^{2n-1} \over  {(2n)!}}= {x^1 \over 1} +{x^3 \over 3} +{{2 \cdot x^5}\over {15}}+{{17 \cdot x^7}\over {315}} + \cdots \;\;\; \left( \left| x \right| < {\frac{\pi}{2}} \right)</math> (단, <math>B</math>는 베르누이 수)
:<math>\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}n=-x-\frac12x^2-\frac13x^3-\frac14x^4-\cdots\qquad(|x|<1)</math>
:<math>\ln (1+x) = \sum^\infty_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\qquad(|x|<1)</math>

=== 다변수 테일러 급수의 예 ===
다음과 같은 함수의 원점에서의 테일러 급수를 계산해 보자.
:<math>f(x,y) = e^x\log{(1+y)}.</math>
먼저, 우리가 필요한 편미분을 계산하면,
:<math>f_x(0,0)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,</math>
:<math>f_y(0,0)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1,</math>
:<math>f_{xx}(0,0)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,</math>
:<math>f_{yy}(0,0)=-\frac{e^x}{(1+y)^2}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=-1,</math>
:<math>f_{xy}(0,0)=f_{yx}(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1.</math>
따라서 테일러 급수는 다음과 같다.
:<math>T_f(x,y) = y+xy-\frac12y^2+\cdots</math>

== 역사 ==
테일러 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리({{llang|en|James Gregory}})가 발견했고, 1715년에 영국의 수학자 [[브룩 테일러]]({{llang|en|Brook Taylor}})가 공식적으로 발표했다. 0인 지점에서의 테일러 급수를 특별히 '''매클로린 급수'''(Maclaurin series)라 하는데,{{Sfn|Abdelwahab Kharab|Ronald B. Guenther|2013|p=15}} 18세기에 테일러 급수의 이 특별한 경우를 광범위하게 사용되도록 만든 [[콜린 매클로린]]({{llang|en|Colin Maclaurin}})의 이름에서 유래됐다.

테일러급수는 많은 분야에 활용되고 있다. 일례로 머신러닝의 최적화 과정을 수행할 때 쓰이기도 한다.{{출처|날짜=2021-01-13}}


== 같이 보기 ==
* [[테일러 정리]]
* [[급수 (수학)|급수]]
* [[로랑 급수]]
* [[퓌죄 급수]]
* [[형식적 멱급수]]
* [[파데 근사]]
* [[베르누이 수]]
* [[그레고리 급수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8|ref=harv}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Taylor series}}
* {{매스월드|id=TaylorSeries|title=Taylor series}}
* {{매스월드|id=MaclaurinSeries|title=Maclaurin series}}

{{급수}}

{{전거 통제}}

[[분류:급수]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:복소해석학]]