테이트 추측 문서 원본 보기

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[[정수론]]과 [[대수기하학]]에서 '''테이트 추측'''({{llang|en|Tate conjecture}})은 [[존 테이트]]가 1963년에 발표한 추측으로, 더 계산 가능한 불변량인 [[에탈 코호몰로지]]에 대한 [[갈루아 모듈|갈루아 표현]]의 관점에서 [[대수다양체|다형체]]에 대한 [[대수적 순환]]을 설명한다. 추측은 대수적 순환 이론의 핵심 문제이다. 이는 [[호지 추측]]의 산술 버전로 볼 수 있다.

== 추측의 진술 ==
<math>V</math>를 소체에서 유한 생성된 [[체 (수학)|체]] ''<math>k</math>''에 대한 매끄러운 [[사영 다형체]]라고 가정한다. ''<math>k_s</math>''를 [[대수적 폐포|분리 가능한 대수적 폐포]]라고 하고, ''<math>G</math>''를 ''<math>k</math>''의 [[절대 갈루아 군]] ''<math>\mathrm{Gal}(k_s:k)</math>''이라고 둔다. ''<math>k</math>''에서 단원인 [[소수 (수론)|소수]] ℓ를 고정한다. ''<math>V</math>''에서 ''<math>k_s</math>''로의 기본 확장의 [[에탈 코호몰로지|ℓ-진 코호몰로지]] 군([[P진수|ℓ-진 정수]] ''<math>\Z_\ell</math>'' 계수, 스칼라는 [[P진수|ℓ-진 수]] ''<math>\Q_\ell</math>''로 확장됨)을 고려하자. 이 군들은 ''<math>G</math>''의 [[군의 표현|표현]]들이다. ''<math>i\geq0</math>''인 임의의 경우, <math>V</math>의 [[여차원]] ''i''인 부분 다형체(''<math>k</math>''에 대해 정의되는 것으로 이해됨)가 코호몰로지 군의 원소를 결정한다.

: <math> H^{2i}(V_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell}(i)) = W </math>

이는 ''<math>G</math>''에 의해 고정된다. 여기서 ''<math>\Q_\ell(i)</math>''은 ''<math>i</math>''번째 테이트 꼬임를 나타내며, 이는 갈루아 군 ''<math>G</math>''의 표현이 원분 지표의 ''<math>i</math>''번째 거듭제곱으로 텐서링됨을 의미한다.

'''테이트 추측'''은 갈루아 군 ''<math>G</math>''에 의해 고정된 ''<math>W</math>''의 부분공간 ''<math>W^G</math>''가 ''<math>\Q_\ell</math>''벡터 공간으로서 <math>V</math>의 여차원 ''<math>i</math>''부분 다형체 클래스에 걸쳐 있음을 나타낸다. '''대수적 순환'''은 부분 다형체의 유한 선형 조합을 의미한다. 따라서 동등한 진술은 ''<math>W^G</math>''의 모든 원소가 ''<math>\Q_\ell</math>'' 계수를 갖는 <math>V</math>에 대한 대수적 순환의 클래스라는 것이다.

== 알려진 사례 ==
제수에 대한 테이트 추측(여차원 1의 대수적 순환)은 아직 해결되지 않은 주요 문제이다. 예를 들어 <math>f:X\rightarrow C</math>''는'' 매끄러운 사영 곡면에서 유한 체 위의 매끄러운 사영 곡선으로의 형태이다. [[유리 함수층|함수체]] <math>k(C)</math>에 대한 곡선인 ''f'' 의 일반 올 <math>F</math>가 <math>k(C)</math>에 대해 매끄러워진다고 가정한다. 그러면 <math>X</math>의 제수에 대한 테이트 추측은 <math>F</math>의 [[야코비 다양체|야코비 다형체]]에 대한 [[버치-스위너턴다이어 추측|버치 스위너톤다이어 추측]]과 동일하다.<ref>D. Ulmer. Arithmetic Geometry over Global Function Fields (2014), 283-337. Proposition 5.1.2 and Theorem 6.3.1.</ref> 대조적으로, 매끄러운 복소 사영 다형체에 대한 제수에 대한 호지 추측이 알려져 있다( 레프셰츠(1,1)-정리 ).

아마도 가장 중요하게 알려진 사례는 테이트 추측이 [[아벨 다양체|아벨 다형체]]의 제수에 대해 참이라는 것이다. 이것은 유한 체에 대한 아벨 다형체에 대한 테이트의 정리이고, [[팔팅스의 정리|모델 추측]]에 대한 팔팅스의 해의 일부인 [[수체]]에 대한 아벨 다형체에 대한 [[게르트 팔팅스|팔팅스]]의 정리이다. 자린은 이러한 결과를 유한 생성 기저 체로 확장했다. 아벨 다형체의 제수에 대한 테이트 추측은 임의의 곡선의 곱 <math>C_1\times\cdots\times C_n</math>에 대한 제수에 대한 테이트 추측을 의미한다.<ref>J. Tate. Motives (1994), Part 1, 71-83. Theorem 5.2.</ref>

아벨 다형체의 제수에 대한 (알려진) 테이트 추측은 아벨 다형체 준동형사상에 대한 강력한 진술과 동일하다. 즉, 유한하게 생성된 체 ''<math>k</math>''에 대한 임의의 아벨 다형체 ''<math>A</math>'' 및 ''<math>B</math>''에 대해 자연 사상은

: <math> \text{Hom}(A,B)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}_{\ell} \to \text{Hom}_G \left (H_1 \left (A_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell} \right), H_1 \left (B_{k_s},\mathbf{Q}_{\ell} \right) \right )</math>

동형이다.<ref>J. Tate. Arithmetical Algebraic Geometry (1965), 93-110. Equation (8).</ref> 특히, 아벨 다형체 ''<math>A</math>는'' 테이트 가군 ''<math>H_1(A_{k_s},\Z_\ell)</math>''의 갈루아 표현에 의해 [[동류 사상]]을 기준으로 유일하게 결정된다.

테이트 추측은 표수 2가 아닌 유한 생성 체에 대한 [[K3 곡면]]에도 적용된다.<ref>K. Madapusi Pera. Inventiones Mathematicae. Theorem 1.</ref>(곡면에서 추측의 중요한 부분은 제수에 관한 것이다. ) 표수 0인 체에서 K3 곡면에 대한 테이트 추측은 앙드레와 Tankeev에 의해 증명되었다. 표수 2가 아닌 유한체 위의 K3 곡면에 대해 니가르드, 오거스, Charles, Madapusi Pera 및 Maulik이 테이트 추측을 증명했다.

{{하버드 인용 본문|Totaro|2017}}는 테이트 추측의 알려진 예들을 조사하였다.

== 관련 추측 ==
''<math>X</math>''를 유한하게 생성된 체 ''<math>k</math>''에 대한 매끄러운 사영 다형체로 설정한다. '''반단순성 추측'''은 ''<math>X</math>''의 ℓ-진 코호몰로지에서 갈루아 군 ''<math>\mathrm{Gal}(k_s:k)</math>''의 표현이 반단순(즉, [[기약표현|기약 표현]]의 직합)이라고 예측한다. 표수 0인 ''<math>k</math>''에 대해 {{하버드 인용 본문|Moonen|2017}} 테이트 추측(위에서 언급한 대로)이 다음의 반단순성을 암시한다는 것을 보여주었다.

: <math>H^i \left (X \times_k \overline{k}, \mathbf{Q}_\ell(n) \right ).</math>

위수 ''<math>q</math>''인 유한체 ''<math>k</math>''에 대해 테이트는 테이트 추측에 반단순성 추측을 더하면 '''강한 테이트 추측''', 즉 ''<math>t=q^{-j}</math>''에서 [[하세-베유 제타 함수|제타 함수]] ''<math>Z(X,t)</math>''의 극의 차수는 수치적 동치를 법으로 여차원 ''j인'' 대수적 순환 군의 랭크과 같다는 것을 보여주었다.<ref>J. Tate. Motives (1994), Part 1, 71-83. Theorem 2.9.</ref>

호지 추측과 마찬가지로 테이트 추측은 [[대수적 순환에 대한 표준 추측|대수 순환에 대한 그로텐디크의 표준 추측]]의 대부분을 암시한다. 즉, 이는 레프셰츠 표준 추측(레프셰츠 동형의 역이 대수적 대응으로 정의됨)을 의미한다. 대각선의 퀴네스 성분은 대수적이다. 그리고 대수적 순환의 수치적 동치성과 호몰로지 동치성은 동일하다는 것이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{인용|last=André|first=Yves|year=1996|title=On the Shafarevich and Tate conjectures for hyper-Kähler varieties|journal=Mathematische Annalen|volume=305|pages=205–248|doi=10.1007/BF01444219|mr=1391213|s2cid=122949797}}
* {{인용|last=Faltings|first=Gerd|authorlink=Gerd Faltings|year=1983|title=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern|journal=Inventiones Mathematicae|volume=73|issue=3|pages=349–366|doi=10.1007/BF01388432|mr=0718935|bibcode=1983InMat..73..349F|s2cid=121049418}}
* {{인용|doi=10.1007/s00222-014-0557-5|last1=Madapusi Pera|first1=K.|title=The Tate conjecture for K3 surfaces in odd characteristic|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|arxiv=1301.6326|year=2013|bibcode=2013arXiv1301.6326M|volume=201|issue=2|pages=625–668|s2cid=253746655}}
* {{인용|last=Moonen|first=Ben|author-link=Ben Moonen|title=A remark on the Tate conjecture|arxiv=1709.04489v1|year=2017}}
* {{인용|authorlink=John Tate (mathematician)|first=John|last=Tate|chapter=Algebraic cycles and poles of zeta functions|title=Arithmetical Algebraic Geometry|year=1965|editor-first=O. F. G.|editor-last=Schilling|pages=93–110|location=New York|publisher=Harper and Row|mr=0225778}}
* {{인용|authorlink=John Tate (mathematician)|first=John|last=Tate|title=Endomorphisms of abelian varieties over finite fields|journal=Inventiones Mathematicae|volume=2|year=1966|issue=2|pages=134–144|mr=0206004|doi=10.1007/bf01404549|bibcode=1966InMat...2..134T|s2cid=245902}}
* {{인용|authorlink=John Tate (mathematician)|last1=Tate|first1=John|chapter=Conjectures on algebraic cycles in ℓ-adic cohomology|title=Motives|series=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|volume=55|pages=71–83|year=1994|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-1636-5|mr=1265523}}
* {{인용|last=Ulmer|first=Douglas|authorlink=Douglas Ulmer|chapter=Curves and Jacobians over function fields|title=Arithmetic Geometry over Global Function Fields|year=2014|pages=283–337|publisher=Birkhäuser|doi=10.1007/978-3-0348-0853-8|isbn=978-3-0348-0852-1|series=Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona}}
* {{인용|last=Totaro|first=Burt|author-link=Burt Totaro|title=Recent progress on the Tate conjecture|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|series=New Series|volume=54|issue=4|pages=575–590|year=2017|doi=10.1090/bull/1588|doi-access=free}}

== 외부 링크 ==
* James Milne, [http://www.jmilne.org/math/articles/2007e.pdf 유한체에 대한 테이트 추측(AIM 강연)] .

[[분류:수론의 미해결 문제]]
[[분류:추측]]
[[분류:디오판토스 기하학]]